金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|MATH3075

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Vasicek利率模型一词是指一种对利率的运动和演变进行建模的数学方法。它是一种基于市场风险的单因素短利率模型。瓦西克利率模型常用于经济学中,以确定利率在未来的移动方向。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|MATH3075

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|The Black-Scholes Formula

Consider the pricing of a European call option on an asset, $S_{t}$, which has the payoff
$$
C_{T}=\left(S_{T}-K\right)^{+}
$$
at time $T$. Assume that the short rate is a constant, $r_{t}=r$. According to the Black-Scholes-Merton Equation $2.57$ and the terminal condition $2.58$, the value of the call option satisfies
$$
\left{\begin{array}{l}
\frac{\partial C_{t}}{\partial t}+\frac{1}{2} \sigma_{t}^{2} S^{2} \frac{\partial^{2} C_{t}}{\partial S^{2}}+r S \frac{\partial C_{t}}{\partial S}-r C_{t}=0 \
C_{T}=(S-K)^{+}
\end{array} .\right.
$$
By solving this terminal-value problem of the partial differential equation (PDE), we can obtain the price of the option.

Alternatively, we can derive the formula for the call options by working out the expectation in Equation $2.71$ directly. We write
$$
\begin{aligned}
C_{t} &=\mathrm{e}^{-r(T-t)} E_{t}^{\mathrm{Q}}\left[\left(S_{T}-K\right)^{+}\right] \
&=\mathrm{e}^{-r(T-t)}\left(E_{t}^{\mathrm{Q}}\left[S_{T} 1_{S_{T}>K}\right]-K E_{t}^{\mathrm{Q}}\left[1_{S_{T}>K}\right]\right)
\end{aligned}
$$
Since
$$
S_{T}=S_{t} \exp \left[\left(r-\frac{1}{2} \bar{\sigma}^{2}\right) \tau+\bar{\sigma} \sqrt{\tau} \cdot \varepsilon\right], \quad \varepsilon \sim N(0,1),
$$
where $\tau=T-t$ and $\bar{\sigma}$ is the mean volatility,
$$
\bar{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} \sigma_{s}^{2} \mathrm{~d} s,}
$$
we have
$$
E_{t}^{\mathrm{Q}}\left[1_{S_{T}>K}\right]=\operatorname{Prob}\left(\varepsilon>-\frac{\ln \left(S_{t} / K\right)+\left(r-(1 / 2) \bar{\sigma}^{2}\right) \tau}{\bar{\sigma} \sqrt{\tau}}\right)=\Phi\left(d_{2}\right),
$$
with
$$
d_{2}=\frac{\ln \left(S_{t} / K\right)+\left(r-(1 / 2) \bar{\sigma}^{2}\right) \tau}{\bar{\sigma} \sqrt{\tau}}
$$
Meanwhile,
$$
\begin{aligned}
E_{t}^{\mathrm{Q}}\left[S_{T} 1_{S_{T}>K}\right] &=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-d_{2}}^{\infty} S_{t} \exp \left[\left(r-\frac{1}{2} \bar{\sigma}^{2}\right) \tau+\bar{\sigma} \sqrt{\tau} x-\frac{1}{2} x^{2}\right] \mathrm{d} x \
&=\frac{S_{t} \mathrm{e}^{r \tau}}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-d_{2}-\bar{\sigma} \sqrt{\tau}}^{\infty} \exp \left(-\frac{1}{2} y^{2}\right) \mathrm{d} y \
&=S_{t} \mathrm{e}^{r \tau} \Phi\left(d_{1}\right),
\end{aligned}
$$
where
$$
d_{1}=d_{2}+\bar{\sigma} \sqrt{\tau} .
$$
By substituting Equations $2.77$ and $2.79$ into $2.74$, we arrive at the celebrated Black-Scholes formula:
$$
C_{t}=S_{t} \Phi\left(d_{1}\right)-\mathrm{e}^{-r(T-t)} K \Phi\left(d_{2}\right) .
$$
By direct verification, we can show that the hedge ratio, $\varphi_{t}$, is
$$
\frac{\partial C_{t}}{\partial S_{t}}=\Phi\left(d_{1}\right) .
$$
Next, we proceed to derive the formula for a put option, which has the payoff function
$$
P_{T}=\left(K-S_{T}\right)^{+} .
$$

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Short Rate and Money Market Accounts

The short rate is associated with a savings account in a bank. The short rate at time $t$ is conventionally denoted as $r_{t}$. Interest on a savings account is accrued daily, using the actual $/ 365$ convention. Let $B_{t}$ denote the account balance at time (or date) $t$, and let $\Delta t=1$ day $=1 / 365$ year. Then the new balance the next day at $t+\Delta t$ is
$$
B_{t+\Delta t}=B_{t}\left(1+r_{t} \Delta t\right)
$$

Because $\Delta t \leqslant 1$, daily compounding is very well approximated by continuous compounding: in the limit of $\Delta t \rightarrow 0$, Equation $3.1$ becomes
$$
\mathrm{d} B_{t}=r_{t} B_{t} \mathrm{~d} t
$$
Because $r_{t}$ is applied to $(t, t+d t)$, an infinitesimal interval of time, it is also called the instantaneous interest rate. As a mathematical approximation and idealization, continuous compounding is necessary to continuous-time finance. Suppose that a sum of money is deposited at $t=0$ into a savings account and that there has not been a deposit or withdrawal since. Then the balance at a later time, $t$, is
$$
B_{t}=B_{0} \mathrm{e}^{\int_{0}^{t} r_{s} \mathrm{~d} s}
$$
In the real world, the balance, $B_{t}$, is not known in advance due to the stochastic nature of the short rate. Nonetheless, the deposit in the savings account is considered a risk-free security, and its return is used as a benchmark to measure the profits and losses of other investments.

In reality, savings accounts for institutions and for individuals offer different interest rates, which reflect different overhead management costs for institutional and individual clients. To distinguish from an individual’s account, we call the savings account for an institution a money market account. Note that this is somewhat an abuse of terminology. In the United States, a money market account is also a type of savings account for retail customers, which offers higher interest rates under some restrictions, including minimum balances and limited numbers of monthly withdrawals. Its compounding rule is also different from continuous compounding. Hence, we need to emphasize here that, in fixed-income modeling, a money market account means a savings account for institutions that compounds continuously. Such a money market account plays an important role in continuous-time modeling of finance.

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Term Rates and Certificates of Deposit

Term rates are associated to certificates of deposit (CD). A CD is a deposit that is committed for a fixed period of time, and the interest rate applied to the CD is called a term rate. For retail customers, the available terms are typically one month, three months, six months, and one year. Usually, the longer the term, the higher the term rate, as investors are awarded a higher premium for committing their money for a longer period of time. The interest payments of CDs use simple compounding. Let $r_{t, \Delta t}$ be the interest rate for the term $\Delta t$ and $I_{t}$ be the value of the deposit at time $t$. Then the balance at the maturity of the CD is
$$
I_{t+\Delta t}=I_{t}\left(1+r_{t, \Delta t} \Delta t\right) .
$$
Investors of CDs often roll over their CDs, meaning that after a CD matures, the entire amount (principal plus interest) is deposited into another CD with

the same terms but with the prevailing term rate at the time when the rolling over takes place. Suppose that a CD is rolled over $n$ times. Then the terminal balance at time $t+n \Delta t$ is
$$
I_{t+n \Delta t}=I_{t} \cdot \prod_{i=1}^{n}\left(1+r_{t+(i-1)} \Delta t, \Delta t \Delta t\right) .
$$
If the $\Delta t$ term rate remains unchanged over the investment horizon, that is, $r_{t+(i-1) \Delta t, \Delta t}=r_{t, \Delta t}, i=1, \ldots, n$, then there is
$$
I_{t+n \Delta T}=I_{t}\left(1+r_{t, \Delta t} \Delta t\right)^{n},
$$
and we say that the deposit is compounded $n$ times with interest rate $r_{t, \Delta t}$. We call $\omega=1 / \Delta t$ the compounding frequency, which is the number of compoundings per year. For example, when $\Delta t=3$ months or $0.25$ year, we have $\omega=1 / \Delta t=4$, corresponding to the so-called quarterly compounding. By the way, a savings account is compounded daily, corresponding to $\omega=365$.

Different term rates often mean different rates of return. One way to compare CDs of different terms is to check their effective annual yields (EAY), defined as the dollar-value return over a year for a $\$ 1$ initial investment:
$$
\mathrm{EAY}=\left(1+r_{t, \Delta t} \Delta t\right)^{1 / \Delta t}-1
$$
Should interest rates stay constant over the investment horizon, then a higher EAY gives a higher return in value. In reality, term rates change in a correlated yet random way. Hence, for any fixed investment horizon when rolling over is needed, it is difficult to judge in advance which term is optimal to an investor. In fact, investors often choose terms based on cash flow considerations.

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|MATH3075

利率建模代考

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|The Black-Scholes Formula

考虑资产的欧式看涨期权的定价,小号吨, 有回报

C吨=(小号吨−ķ)+
有时吨. 假设短期利率是一个常数,r吨=r. 根据 Black-Scholes-Merton 方程2.57和终端条件2.58, 看涨期权的价值满足
$$
\left{

∂C吨∂吨+12σ吨2小号2∂2C吨∂小号2+r小号∂C吨∂小号−rC吨=0 C吨=(小号−ķ)+。\正确的。
$$
通过求解这个偏微分方程(PDE)的终值问题,我们可以得到期权的价格。

或者,我们可以通过计算公式中的期望来推导出看涨期权的公式2.71直接地。我们写

C吨=和−r(吨−吨)和吨问[(小号吨−ķ)+] =和−r(吨−吨)(和吨问[小号吨1小号吨>ķ]−ķ和吨问[1小号吨>ķ])
自从

小号吨=小号吨经验⁡[(r−12σ¯2)τ+σ¯τ⋅e],e∼ñ(0,1),
在哪里τ=吨−吨和σ¯是平均波动率,

σ¯=1τ∫0τσs2 ds,
我们有

和吨问[1小号吨>ķ]=概率⁡(e>−ln⁡(小号吨/ķ)+(r−(1/2)σ¯2)τσ¯τ)=披(d2),

d2=ln⁡(小号吨/ķ)+(r−(1/2)σ¯2)τσ¯τ
同时,

和吨问[小号吨1小号吨>ķ]=12圆周率∫−d2∞小号吨经验⁡[(r−12σ¯2)τ+σ¯τX−12X2]dX =小号吨和rτ2圆周率∫−d2−σ¯τ∞经验⁡(−12是2)d是 =小号吨和rτ披(d1),
在哪里

d1=d2+σ¯τ.
通过代入方程2.77和2.79进入2.74,我们得出著名的 Black-Scholes 公式:

C吨=小号吨披(d1)−和−r(吨−吨)ķ披(d2).
通过直接验证,我们可以证明对冲比率,披吨, 是

∂C吨∂小号吨=披(d1).
接下来,我们继续推导出具有收益函数的看跌期权的公式

磷吨=(ķ−小号吨)+.

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Short Rate and Money Market Accounts

短期利率与银行的储蓄账户相关联。短期利率吨通常表示为r吨. 储蓄账户的利息是每天累积的,使用实际的/365惯例。让乙吨表示当时(或日期)的账户余额吨, 然后让Δ吨=1天=1/365年。然后第二天在新余额吨+Δ吨是

乙吨+Δ吨=乙吨(1+r吨Δ吨)

因为Δ吨⩽1,每日复利非常近似于连续复利:在Δ吨→0, 方程3.1变成

d乙吨=r吨乙吨 d吨
因为r吨应用于(吨,吨+d吨),一个无限小的时间间隔,也称为瞬时利率。作为一种数学近似和理想化,连续复利是连续时间金融所必需的。假设有一笔钱存入吨=0存入储蓄账户,此后没有存款或取款。然后在稍后的时间余额,吨, 是

乙吨=乙0和∫0吨rs ds
在现实世界中,平衡,乙吨, 由于短期利率的随机性,事先不知道。尽管如此,储蓄账户中的存款被认为是无风险的证券,其回报被用作衡量其他投资损益的基准。

实际上,机构和个人的储蓄账户提供不同的利率,这反映了机构和个人客户的不同管理费用。为了与个人账户区分开来,我们将机构的储蓄账户称为货币市场账户。请注意,这有点滥用术语。在美国,货币市场账户也是零售客户的一种储蓄账户,在某些限制下提供更高的利率,包括最低余额和有限的每月取款次数。它的复利规则也不同于连续复利。因此,我们需要在此强调,在固定收益模型中,货币市场账户是指机构的储蓄账户,可以持续复利。

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Term Rates and Certificates of Deposit

定期利率与存款证 (CD) 相关联。CD 是在固定期限内承诺的存款,适用于 CD 的利率称为定期利率。对于零售客户,可用期限通常为一个月、三个月、六个月和一年。通常,期限越长,期限利率越高,因为投资者在较长时间内投入资金会获得更高的溢价。CD 的利息支付使用简单的复利。让r吨,Δ吨是该期限的利率Δ吨和我吨是当时存款的价值吨. 那么 CD 到期时的余额为

我吨+Δ吨=我吨(1+r吨,Δ吨Δ吨).
CD 的投资者经常将他们的 CD 展期,这意味着在 CD 到期后,全部金额(本金加利息)将存入另一张 CD

相同的条款,但采用展期时的现行条款利率。假设一张 CD 被翻转n次。然后是当时的终端余额吨+nΔ吨是

我吨+nΔ吨=我吨⋅∏一世=1n(1+r吨+(一世−1)Δ吨,Δ吨Δ吨).
如果Δ吨长期利率在投资期限内保持不变,即r吨+(一世−1)Δ吨,Δ吨=r吨,Δ吨,一世=1,…,n, 那么有

我吨+nΔ吨=我吨(1+r吨,Δ吨Δ吨)n,
我们说存款是复利的n与利率的倍数r吨,Δ吨. 我们称之为ω=1/Δ吨复利频率,即每年复利的次数。例如,当Δ吨=3月或0.25年,我们有ω=1/Δ吨=4,对应于所谓的季度复利。顺便说一句,储蓄账户每天复利,对应于ω=365.

不同的期限利率通常意味着不同的回报率。比较不同期限 CD 的一种方法是检查它们的有效年收益率 (EAY),定义为一年内的美元价值回报$1初始投资:

和一个是=(1+r吨,Δ吨Δ吨)1/Δ吨−1
如果利率在投资期限内保持不变,那么较高的 EAY 会带来更高的价值回报。实际上,期限利率以一种相关但随机的方式变化。因此,对于任何需要展期的固定投资期限,很难提前判断哪个期限对投资者来说是最优的。事实上,投资者通常会根据现金流的考虑来选择条款。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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