金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|MATH3075

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Vasicek利率模型一词是指一种对利率的运动和演变进行建模的数学方法。它是一种基于市场风险的单因素短利率模型。瓦西克利率模型常用于经济学中,以确定利率在未来的移动方向。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|MATH3075

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Evaluation of Stochastic Integrals

We now consider the evaluation of stochastic integrals. Suppose that we know the anti-derivative of a function, $f(t)$, such that
$$
\frac{\mathrm{d} F(t)}{\mathrm{d} t}=f(t) .
$$
Could there be
$$
\int_{0}^{t} f(W(s)) \mathrm{d} W(s)=F(W(t))-F(W(0)) ?
$$
The answer to this question is no. Consider, for example, $f(t)=W(t)$. If Equation $1.30$ was correct, then there would be
$$
\int_{0}^{t} W(s) \mathrm{d} W(s)=\frac{1}{2}\left[W^{2}(t)-W^{2}(0)\right]=\frac{1}{2} W^{2}(t) .
$$
Taking expectations on both sides and applying the first property of the stochastic integrals, we would obtain
$$
0=E\left[\int_{0}^{t} W(s) \mathrm{d} W(s)\right]=E\left[\frac{1}{2} W^{2}(t)\right]=\frac{1}{2} t
$$
which is a contradiction. This result suggests that general rules in deterministic calculus is not applicable to stochastic integrals.

As a showcase of integral evaluation, we try to work out the integral of $f(t)=W(t)$ according to its definition. Let $t_{j}=j t / n$ and denote $W_{j}$ for $W\left(t_{j}\right), j=0, \ldots, n$. Start from the partial sum as follows:
$$
\begin{aligned}
S_{n} &=\sum_{j=0}^{n-1} W\left(t_{j}\right) \Delta W\left(t_{j}\right)=\sum_{j=0}^{n-1} W_{j}\left(W_{j+1}-W_{j}\right) \
&=\sum_{j=0}^{n-1} W_{j} W_{j+1}-W_{j}^{2} \
&=\sum_{j=0}^{n-1}-W_{j+1}^{2}+2 W_{j+1} W_{j}-W_{j}^{2}+W_{j+1}^{2}-W_{j+1} W_{j} \
&=\sum_{j=0}^{n-1}-\left(W_{j+1}-W_{j}\right)^{2}+W_{j+1}^{2}-W_{j}^{2}-W_{j} \Delta W_{j} \
&=-\left[\sum_{j=0}^{n-1}\left(\Delta W_{j}\right)^{2}\right]+W_{n}^{2}-W_{0}^{2}-S_{n}
\end{aligned}
$$

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Stochastic Differentials and Ito’s Lemma

In this section, we study the differentials of functions of other stochastic processes. In stochastic calculus, the so-called Ito’s process is most often used as the basic stochastic process.

Definition 1.3.1. Ito’s process is a continuous stochastic process of the form:
$$
X(t)=X_{0}+\int_{0}^{t} \sigma(s) d W(s)+\int_{0}^{t} \mu(s) d s,
$$

where $\sigma(s)$ and $\mu(s)$ are adaptive functions satisfying
$$
E\left[\int_{0}^{t}\left(\sigma^{2}(s)+|\mu(s)|\right) d s\right]<\infty, \quad \forall t .
$$
The corresponding differential of Ito’s process is
$$
d X(t)=\sigma(t) d W(t)+\mu(t) d t .
$$
We call $\sigma(t)$ and $\mu(t)$ the volatility and drift of the $S D E$, respectively.
We now consider a function of $X(t), Y(t)=F(X(t), t)$. The next lemma describes the SDE satisfied by $Y(t)$.

Lemma 1.3.1 (Ito’s Lemma). Let $X(t)$ be Ito’s process with drift $\mu(t)$ and volatility $\sigma(t)$, and let $F(x, t)$ be a smooth function with bounded second-order derivatives. Then $Y(t)=F(X(t), t)$ is also Ito’s process with drift
$$
N(t)=\frac{\partial F}{\partial t}+\frac{1}{2} \sigma^{2}(t) \frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}}+\mu(t) \frac{\partial F}{\partial x}
$$
and volatility
$$
\Sigma(t)=\sigma(t) \frac{\partial F}{\partial x} .
$$
Proof: By Taylor’s expansion,
$$
\begin{aligned}
\Delta Y\left(t_{i}\right)=& F\left(X\left(t_{i}+\Delta t\right), t_{i}+\Delta t\right)-F\left(X\left(t_{i}\right), t_{i}\right) \
=& F_{x} \Delta X+F_{t} \Delta t+\frac{1}{2} F_{x x}(\Delta X)^{2}+F_{x t} \Delta X \Delta t+\frac{1}{2} F_{t t}(\Delta t)^{2} \
&+\text { higher order terms. }
\end{aligned}
$$
Because
$$
\Delta W(t)=\sqrt{\Delta t} \cdot \varepsilon, \quad \varepsilon \sim N(0,1)
$$
we generally have
$$
E\left[|\Delta W|^{p} \Delta t^{q}\right] \propto \Delta t^{(p / 2)+q} .
$$
Here ” $\propto$ ” means “of the order of.” Based on Equation 1.46, we know that the order of magnitude of both the cross term and the higher-order terms in Equation $1.45$ is $O\left(\Delta t^{3 / 2}\right)$, and thus we can rewrite Equation $1.43$ as
$$
\begin{aligned}
\Delta Y\left(t_{i}\right)=& F_{x} \Delta X+F_{t} \Delta t+\frac{1}{2} F_{x x} \sigma^{2}\left(t_{i}\right)\left(\Delta W\left(t_{i}\right)\right)^{2}+O\left(\Delta t^{3 / 2}\right) \
=& F_{x} \Delta X+F_{t} \Delta t+\frac{1}{2} F_{x x} \sigma^{2}\left(t_{i}\right) \Delta t \
&+\frac{1}{2} F_{x x} \sigma^{2}\left(t_{i}\right)\left(\Delta W^{2}\left(t_{i}\right)-\Delta t\right)+O\left(\Delta t^{3 / 2}\right) .
\end{aligned}
$$

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Multi-Factor Ito’s Process

A multiple-factor Ito’s process takes the form
$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} X_{i}(t) &=\mu_{i}(t) \mathrm{d} t+\sum_{j=1}^{n} \sigma_{i j}(t) \mathrm{d} W_{j}(t) \
&=\mu_{i}(t) \mathrm{d} t+\sigma_{i}^{\mathrm{T}}(t) \mathrm{d} \mathbf{W}{t} \end{aligned} $$ where $$ \mathbf{W}(t)=\left(\begin{array}{c} W{1}(t) \
W_{2}(t) \
\vdots \
W_{n}(t)
\end{array}\right)
$$
is a vector of independent Brownian motion, and
$$
\boldsymbol{\sigma}{i}(t)=\left(\begin{array}{c} \sigma{i 1}(t) \
\sigma_{i 2}(t) \
\vdots \
\sigma_{i n}(t)
\end{array}\right)
$$
is called the volatility vector. Let $\mathbf{X}(t)=\left(X_{1}(t), X_{2}(t), \ldots, X_{n}(t)\right)^{\mathrm{T}}$. In integral form, the multi-factor Ito’s process is
$$
\mathbf{X}{t}=\mathbf{X}{0}+\int_{0}^{t} \boldsymbol{\mu}{s} \mathrm{~d} s+\int{0}^{t} \boldsymbol{\Sigma}(s) \mathrm{d} \mathbf{W}{s}, $$ where $$ \boldsymbol{\mu}{t}=\left(\begin{array}{c}
\mu_{1}(t) \
\mu_{2}(t) \
\vdots \
\mu_{n}(t)
\end{array}\right)
$$

is the vector of drifts, and
$$
\boldsymbol{\Sigma}(t)=\left(\begin{array}{c}
\boldsymbol{\sigma}{1}^{\mathrm{T}}(t) \ \boldsymbol{\sigma}{2}^{\mathrm{T}}(t) \
\vdots \
\boldsymbol{\sigma}{n}^{\mathrm{T}}(t) \end{array}\right) $$ is the volatility matrix. Note that both $\boldsymbol{\mu}(t)$ and $\sigma{i}(t), i=1, \ldots, n$ are $\mathcal{F}{t^{-}}$ adaptive processes, and they satisfy $$ E\left[\int{0}^{t}\left(\sum_{j=1}^{n}\left|\boldsymbol{\sigma}{j}(s)\right|^{2}+\left|\boldsymbol{\mu}{s}\right|{1}\right) \mathrm{d} s\right]<\infty, \quad \forall t $$ Namely, $\sigma{j}(s), j=1, \ldots, n$ are square integrable and $\mu_{s}$ has bounded variation.

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|MATH3075

利率建模代考

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Evaluation of Stochastic Integrals

我们现在考虑随机积分的评估。假设我们知道一个函数的反导数,F(吨), 这样

dF(吨)d吨=F(吨).
有没有可能

∫0吨F(在(s))d在(s)=F(在(吨))−F(在(0))?
这个问题的答案是否定的。例如,考虑F(吨)=在(吨). 如果方程1.30是正确的,那么会有

∫0吨在(s)d在(s)=12[在2(吨)−在2(0)]=12在2(吨).
取两边的期望并应用随机积分的第一个性质,我们将得到

0=和[∫0吨在(s)d在(s)]=和[12在2(吨)]=12吨
这是一个矛盾。这一结果表明,确定性微积分中的一般规则不适用于随机积分。

作为积分评估的展示,我们尝试计算出积分F(吨)=在(吨)根据其定义。让吨j=j吨/n并表示在j为了在(吨j),j=0,…,n. 从部分和开始如下:

小号n=∑j=0n−1在(吨j)Δ在(吨j)=∑j=0n−1在j(在j+1−在j) =∑j=0n−1在j在j+1−在j2 =∑j=0n−1−在j+12+2在j+1在j−在j2+在j+12−在j+1在j =∑j=0n−1−(在j+1−在j)2+在j+12−在j2−在jΔ在j =−[∑j=0n−1(Δ在j)2]+在n2−在02−小号n

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Stochastic Differentials and Ito’s Lemma

在本节中,我们研究其他随机过程的函数微分。在随机演算中,所谓的伊藤过程最常被用作基本随机过程。

定义 1.3.1。伊藤过程是一个连续随机过程,形式如下:

X(吨)=X0+∫0吨σ(s)d在(s)+∫0吨μ(s)ds,

在哪里σ(s)和μ(s)是满足的自适应函数

和[∫0吨(σ2(s)+|μ(s)|)ds]<∞,∀吨.
伊藤过程的对应微分是

dX(吨)=σ(吨)d在(吨)+μ(吨)d吨.
我们称之为σ(吨)和μ(吨)的波动性和漂移小号D和, 分别。
我们现在考虑一个函数X(吨),是(吨)=F(X(吨),吨). 下一个引理描述了满足的 SDE是(吨).

引理 1.3.1(伊藤引理)。让X(吨)be Ito 的漂移过程μ(吨)和波动性σ(吨), 然后让F(X,吨)是具有有界二阶导数的平滑函数。然后是(吨)=F(X(吨),吨)也是伊藤的漂移过程

ñ(吨)=∂F∂吨+12σ2(吨)∂2F∂X2+μ(吨)∂F∂X
和波动性

Σ(吨)=σ(吨)∂F∂X.
证明:由泰勒展开式,

Δ是(吨一世)=F(X(吨一世+Δ吨),吨一世+Δ吨)−F(X(吨一世),吨一世) =FXΔX+F吨Δ吨+12FXX(ΔX)2+FX吨ΔXΔ吨+12F吨吨(Δ吨)2 + 高阶项。 
因为

Δ在(吨)=Δ吨⋅e,e∼ñ(0,1)
我们一般有

和[|Δ在|pΔ吨q]∝Δ吨(p/2)+q.
这里 ”∝”的意思是“的顺序”。根据方程 1.46,我们知道方程中的交叉项和高阶项的数量级1.45是○(Δ吨3/2),因此我们可以重写方程1.43作为

Δ是(吨一世)=FXΔX+F吨Δ吨+12FXXσ2(吨一世)(Δ在(吨一世))2+○(Δ吨3/2) =FXΔX+F吨Δ吨+12FXXσ2(吨一世)Δ吨 +12FXXσ2(吨一世)(Δ在2(吨一世)−Δ吨)+○(Δ吨3/2).

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Multi-Factor Ito’s Process

多因素 Ito 的过程采用以下形式

dX一世(吨)=μ一世(吨)d吨+∑j=1nσ一世j(吨)d在j(吨) =μ一世(吨)d吨+σ一世吨(吨)d在吨在哪里

在(吨)=(在1(吨) 在2(吨) ⋮ 在n(吨))
是独立布朗运动的向量,并且

σ一世(吨)=(σ一世1(吨) σ一世2(吨) ⋮ σ一世n(吨))
称为波动率向量。让X(吨)=(X1(吨),X2(吨),…,Xn(吨))吨. 在积分形式中,多因子 Ito 过程为

X吨=X0+∫0吨μs ds+∫0吨Σ(s)d在s,在哪里

μ吨=(μ1(吨) μ2(吨) ⋮ μn(吨))

是漂移的向量,并且

Σ(吨)=(σ1吨(吨) σ2吨(吨) ⋮ σn吨(吨))是波动率矩阵。请注意,两者μ(吨)和σ一世(吨),一世=1,…,n是F吨−自适应过程,它们满足

和[∫0吨(∑j=1n|σj(s)|2+|μs|1)ds]<∞,∀吨即,σj(s),j=1,…,n是平方可积的并且μs有界变化。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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