金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|MATH4513

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Vasicek利率模型一词是指一种对利率的运动和演变进行建模的数学方法。它是一种基于市场风险的单因素短利率模型。瓦西克利率模型常用于经济学中,以确定利率在未来的移动方向。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|MATH4513

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Yield to Maturity

In a free market, the price of a bond is determined by supply and demand. Due to discounting, the full price is normally smaller than the total notional value of coupons plus the principal. Denote the full price of a bullet bond as $B^{c}$. Suppose that all cash flows are discounted by a uniform rate, $y$, of compounding frequency $\omega$. Then $y$ should satisfy the following equation:
$$
B^{c}=\operatorname{Pr} \cdot\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{c \Delta T}{(1+y \Delta t)^{i \Delta T / \Delta t}}+\frac{1}{(1+y \Delta t)^{n \Delta T / \Delta t}}\right)
$$
where $n$ is the number of coupons and $\Delta t=1 / \omega$. In bond mathematics, the compounding frequency is taken to be $\omega=1 / \Delta T$ by default, when there is $\Delta t=\Delta T$. This discount rate, which can be easily solved by a trial-and-error procedure using Equation 3.12, is defined to be the yield to maturity (YTM), as well as the internal rate of return (IRR) of the bond, and it is often simply called the bond yield.

As the function of the yield (for $\omega=1 / \Delta T$ ), the formula for a general time, $t \leq T$, is
$$
B_{t}^{c}=\operatorname{Pr} \cdot\left(\sum_{i ; i \Delta T>t}^{n} \frac{c \Delta T}{(1+y \Delta T)^{(i \Delta T-t) / \Delta T}}+\frac{1}{(1+y \Delta T)^{(n \Delta T-t) / \Delta T}}\right)_{(3.13)}
$$

Assuming that $t \in\left(T_{j}, T_{j+1}\right]$, and introducing
$$
q=\frac{t-T_{j}}{T_{j+1}-T_{j}}=\frac{t-T_{j}}{\Delta T}
$$
we then can write
$$
t=T_{j}+\Delta T q=(j+q) \Delta T \text { and } i \Delta T-t=(i-j-q) \Delta T, \quad \forall i .
$$
It follows that
$$
\begin{aligned}
B_{t}^{c} &=\operatorname{Pr} \cdot\left(\sum_{i=j+1}^{n} \frac{c \Delta T}{(1+y \Delta T)^{i-j-q}}+\frac{1}{(1+y \Delta T)^{n-j-q}}\right) \
&=\operatorname{Pr} \cdot(1+y \Delta T)^{q}\left(\sum_{i=1}^{n-j} \frac{c \Delta T}{(1+y \Delta T)^{i}}+\frac{1}{(1+y \Delta T)^{n-j}}\right)
\end{aligned}
$$
Given the bond price at any time, $t$, the bond yield is implied by Equation 3.14. A rough way to compare the relative cheapness/richness of two bonds with the same coupon frequency is to compare their yields. Intuitively, a bond with a higher yield is cheaper and thus may be more attractive.

There is a one-to-one price-yield relationship, as shown in Figure 3.2. Because of this relationship, a bond price is also quoted using its yield in the industry. As we can see in Figure $3.2$, a bond price is a convex function of the yield. Such a feature will be used later for convexity adjustment related to futures trading.
The price-yield relationship of a zero-coupon bond simplifies to
$$
P=\operatorname{Pr} \cdot(1+y \Delta T)^{-(T-t) / \Delta T} .
$$

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Par Bonds, Par Yields, and the Par Yield Curve

The summation in Equation $3.12$ can be worked out so that
$$
\begin{aligned}
B^{c} &=\Delta T \cdot c \cdot \operatorname{Pr} \sum_{i=1}^{n}(1+y \Delta T)^{-i}+\operatorname{Pr}(1+y \Delta T)^{-n} \
&=\operatorname{Pr}\left[1-\left(1-\frac{c}{y}\right)\left(1-\frac{1}{(1+y \Delta T)^{n}}\right)\right]
\end{aligned}
$$
From the above expression, we can tell when the price is smaller, equal to, or larger than the principal value.

  1. When $c<y, B^{c}<$ Pr. In such a case, we say that the bond is sold at discount (of the par value).
  2. When the coupon rate is $c=y$, then $B^{c}=\operatorname{Pr}$, that is, the bond price equals the par value of the bond. In such a case, we call the bond a par bond, and the corresponding coupon rate a par yield.
  3. When $c>y, B^{c}>\operatorname{Pr}$. In such a case, we call the bond a premium bond (it is traded at a premium to par).

Par yields play an important role in today’s interest-rate derivatives market. As we shall see later, there are many derivatives based on the par yields.

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Yield Curves for U.S. Treasuries

A bond issuer may routinely issue bonds of various maturities, and, in a market, there can be many bonds of the same issuer being traded. For various reasons, some bonds are more liquid than others. The most liquid ones are often called benchmark bonds for the issuer. Their yields reflect the level of borrowing costs the market demands from the issuer. Moreover, the prices of the benchmark bonds imply a discount curve for cash flows from the issuer, and the discount curve can be used to gauge the relative cheapness/expensiveness of the issuer’s other bonds. If a relatively cheaper or more expensive bond is found, one may trade against this bond using the benchmark bonds and thus take an arbitrage profit. Hence, the prices or yields of the benchmark bonds carry essential information for the arbitrage pricing of the issuer’s other bonds, and they are treated as a summary of the status quo of all bonds offered by the same issuer.

In the U.S. Treasury market, newly issued bills and notes/bonds are called on-the-run Treasury securities. Traditionally, the on-the-run issues enjoy higher liquidity and are thus treated as benchmarks. Table $3.1$ provides the closing price quotes of the on-the-run issues for July 3 , 2008. As can be seen in the table, the on-the-run issues have maturities of 3 months, 6 months, 2 years, 3 years, 5 years, 10 years, and 30 years. When we connect the yields of the benchmark bonds through interpolation, we obtain a so-called yield curve. Since bond yields vary from day-to-day so does the yield curve. Figure $3.3$ shows the yield curves for the U.S. Treasuries constructed by linear interpolation for April 28 and May 1, 2006 , two consecutive trading days.
A yield curve is constructed based on yields of on-the-run issues using the interpolation technique. It provides a rough idea of the level of yields for various maturities. Further, the Treasury yield curve implies a discount curve, namely, the collection of prices of all zero-coupon bonds. The discount curve is used for pricing off-the-run Treasury securities, or marking to market Treasury portfolios. Moreover, the discount curve is also essential for pricing future cash flows of any security, either deterministic or stochastic. To price a portfolio of interest-rate derivatives, we may model the dynamics of the entire yield curve, in contrast to modeling the dynamics of a stock price for stock options. In the next section, we describe the technique for “backing” out the discount curve from the yield curve.

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|MATH4513

利率建模代考

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Yield to Maturity

在自由市场中,债券的价格由供求关系决定。由于贴现,全价通常小于票面总价值加上本金。将子弹债券的全价表示为乙C. 假设所有现金流都以统一的利率贴现,是, 的复利频率ω. 然后是应满足以下等式:

乙C=公关⋅(∑一世=1nCΔ吨(1+是Δ吨)一世Δ吨/Δ吨+1(1+是Δ吨)nΔ吨/Δ吨)
在哪里n是优惠券的数量和Δ吨=1/ω. 在债券数学中,复合频率被认为是ω=1/Δ吨默认情况下,当有Δ吨=Δ吨. 这个贴现率可以很容易地通过使用公式 3.12 的试错法求解,定义为到期收益率 (YTM) 以及债券的内部收益率 (IRR),并且它通常简称为债券收益率。

作为产量的函数(对于ω=1/Δ吨),一般时间的公式,吨≤吨, 是

乙吨C=公关⋅(∑一世;一世Δ吨>吨nCΔ吨(1+是Δ吨)(一世Δ吨−吨)/Δ吨+1(1+是Δ吨)(nΔ吨−吨)/Δ吨)(3.13)

假如说吨∈(吨j,吨j+1], 并引入

q=吨−吨j吨j+1−吨j=吨−吨jΔ吨
然后我们可以写

吨=吨j+Δ吨q=(j+q)Δ吨 和 一世Δ吨−吨=(一世−j−q)Δ吨,∀一世.
它遵循

乙吨C=公关⋅(∑一世=j+1nCΔ吨(1+是Δ吨)一世−j−q+1(1+是Δ吨)n−j−q) =公关⋅(1+是Δ吨)q(∑一世=1n−jCΔ吨(1+是Δ吨)一世+1(1+是Δ吨)n−j)
给定任何时候的债券价格,吨,债券收益率由公式 3.14 暗示。比较具有相同票息频率的两种债券的相对便宜/丰富程度的粗略方法是比较它们的收益率。直观地说,收益率较高的债券更便宜,因此可能更具吸引力。

价格与收益之间存在一对一的关系,如图 3.2 所示。由于这种关系,债券价格也使用其在行业中的收益率进行报价。如图所示3.2,债券价格是收益率的凸函数。稍后将使用此功能进行与期货交易相关的凸性调整。
零息债券的价格-收益关系简化为

磷=公关⋅(1+是Δ吨)−(吨−吨)/Δ吨.

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Par Bonds, Par Yields, and the Par Yield Curve

方程式中的求和3.12可以这样计算

乙C=Δ吨⋅C⋅公关⁡∑一世=1n(1+是Δ吨)−一世+公关⁡(1+是Δ吨)−n =公关⁡[1−(1−C是)(1−1(1+是Δ吨)n)]
从上面的表达式中,我们可以判断价格何时小于、等于或大于本金价值。

  1. 什么时候C<是,乙C<公关。在这种情况下,我们说债券以(面值的)折扣价出售。
  2. 当票面利率为C=是, 然后乙C=公关,即债券价格等于债券面值。在这种情况下,我们称该债券为面值债券,相应的票面利率为面值收益率。
  3. 什么时候C>是,乙C>公关. 在这种情况下,我们称该债券为溢价债券(以面值溢价交易)。

面值收益率在当今的利率衍生品市场中发挥着重要作用。正如我们稍后将看到的,有许多基于面值收益率的衍生品。

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Yield Curves for U.S. Treasuries

债券发行人可能会定期发行各种期限的债券,并且在一个市场上,可以有许多同一发行人的债券在交易。由于各种原因,一些债券比其他债券更具流动性。流动性最强的债券通常被称为发行人的基准债券。它们的收益率反映了市场要求发行人的借贷成本水平。此外,基准债券的价格暗示了发行人现金流的贴现曲线,而贴现曲线可用于衡量发行人其他债券的相对便宜/昂贵。如果发现相对便宜或更昂贵的债券,则可以使用基准债券与该债券进行交易,从而获得套利利润。因此,基准债券的价格或收益率为发行人其他债券的套利定价提供了重要信息,

在美国国债市场上,新发行的票据和票据/债券被称为流通国库券。传统上,在运行的问题享有更高的流动性,因此被视为基准。桌子3.1提供 2008 年 7 月 3 日在售股的收盘价。从表中可以看出,在售股的到期日为 3 个月、6 个月、2 年、3 年、5年、10 年和 30 年。当我们通过插值连接基准债券的收益率时,我们得到了一条所谓的收益率曲线。由于债券收益率每天都在变化,因此收益率曲线也是如此。数字3.3显示了 2006 年 4 月 28 日和 5 月 1 日连续两个交易日通过线性插值构建的美国国债收益率曲线。
收益率曲线是使用插值技术根据运行中问题的收益率构建的。它提供了不同期限的收益率水平的粗略概念。此外,国债收益率曲线意味着一条贴现曲线,即所有零息债券价格的集合。贴现曲线用于对非流通国库券进行定价,或将国库券投资组合标记为市场。此外,贴现曲线对于任何证券的未来现金流定价也是必不可少的,无论是确定性的还是随机的。为了给利率衍生品投资组合定价,我们可以对整个收益率曲线的动态进行建模,这与对股票期权的股价动态进行建模形成对比。在下一节中,我们将描述从收益率曲线中“退出”贴现曲线的技术。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
STATA代写机器学习/统计学习代写
SPSS代写计量经济学代写
EVIEWS代写时间序列分析代写
EXCEL代写深度学习代写
SQL代写各种数据建模与可视化代写

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