金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|MATH5985

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利率模型是指一种对利率的运动和演变进行建模的数学方法。它是一种基于市场风险的单因素短利率模型。瓦西克利率模型常用于经济学中,以确定利率在未来的移动方向。

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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|MATH5985

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Heath-Jarrow-Morton Framework

We introduced a bond market $\mathcal{B}$ in Chapter 3 that did not admit a term structure of interest rates. If, instead, we assume a term structure in the bond market, it becomes possible to relate the bond price to the interest rate. We represent the dynamics of bond price by a stochastic process and use this to specify the corresponding interest rates. Such a system is referred to as a term structure model of interest rates (or put simply, an interest rate model).
A model specified by the dynamics of a short rate is referred to as a short rate model. A model specified by the dynamics of forward rates is referred to as a forward rate model. For management of interest rate risk, it is better to suppose various types of changes in the yield curve, and specifically to suppose changes in the forward rates. Because of this, the forward rate model is more useful in risk management than the short rate model is.

This section briefly introduces the HJM model, which is the most general forward rate model. For additional details, readers are recommended to consult Cairns (2004), Munk (2011), or Shreve (2004), among others. For details on calibration, readers are recommended to consult Wu (2009).
Forward rate process
Let $\left(\Omega, \mathcal{F}{t \in[0, \tau]}, \mathbf{P}\right)$ be a filtered probability space, where $\mathcal{F}{t \in[0, \tau]}$ is the augmented filtration and $\mathbf{P}$ denotes the real-world measure. The instantaneous forward rate with maturity $T$ observed at time $t$ is denoted by $f(t, T)$. When the usage is unambiguous, $f(t, T)$ will be called the forward rate. Typically $f(0, T)$ represents an initial forward rate.

We assume that the dynamics of $f(t, T)$ on $\left(\Omega, \mathcal{F}{t \in[0, \tau]}, \mathbf{P}\right)$ is represented by $$ d f(t, T)=\alpha(t, T) d t+\sigma(t, T) d W{t},
$$
where $W_{t}=\left(W_{t}^{1}, \cdots, W_{t}^{d}\right)^{T}$ is a $d$-dimensional P-Brownian motion, and $\alpha(t, T)$ and $\sigma(t, T)$ are predictable processes satisfying some technical conditions. Here, $\sigma(t, T)=\left(\sigma^{1}(t, T), \cdots, \sigma^{d}(t, T)\right)^{T}$ is a $d$-dimensional process. The second term, $\sigma(t, T) d W_{t}$ denotes the inner product of $\sigma(t, T)$ and $d W_{t}$ in $\mathbf{R}^{d}$, specifically
$$
\sigma(t, T) d W_{t}=\sum_{l=1}^{d} \sigma^{l}(t, T) d W_{t}^{l} .
$$

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Arbitrage Pricing and Market Price of Risk

This section briefly studies some fundamental subjects in the HJM model, specifically, forward rate process, arbitrage pricing, the market price of risk, and state price deflator.
Forward rate process
Here let us represent the forward rate process under the risk-neutral measure Q. Differentiating equation (4.9) with respect to $T$, we have
$$
-\alpha(s, T)-\sigma(s, T) \int_{s}^{T} \sigma(s, u) d u=\frac{\partial b(s, T)}{\partial T} .
$$
From equations (4.10) and (4.12), it follows that
$$
\begin{aligned}
-\alpha(s, T)-\sigma(s, T) \int_{s}^{T} \sigma(s, u) d u &=\frac{\partial v(s, T)}{\partial T} \varphi_{t} \
&=-\sigma(s, T) \varphi_{t}
\end{aligned}
$$
Substituting the above into equation (4.1), we obtain
$$
d f(t, T)={-\sigma(t, T) v(t, T)+\sigma(t, T) \varphi(t)} d t+\sigma(t, T) d W_{t}
$$
Recall the Q-Brownian motion $Z_{t}=\int_{0}^{t} \varphi_{s} d s+W_{t}$. Substituting this into the above, we have
$$
d f(t, T)=-\sigma(t, T) v(t, T) d t+\sigma(t, T) d Z_{t}
$$
where the drift under $\mathbf{Q}$ is completely determined by the volatility $\sigma(t, T)$. This form is the well-known forward rate process in the HJM model. For pricing interest rate derivatives, the dynamics of the forward rates are typically simulated by equation (4.18), and the bond pricing is performed by using this form. This method is essentially the same as used with short rate models.

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Volatility and Principal Components

This section introduces a method for constructing the volatility in the H.JM model. There are two major approaches to do so. One is a market approach; the other is a historical approach.

In the market approach, the volatility is estimated such that the model implies option prices consistent with their market prices. In the historical approach, the volatility is constructed to represent a historical dynamics of an interest rate, for example, the short rate or the forward rate. Experimentally, these two approaches result in quite different volatility structures.

When we calibrate the model for derivatives pricing, the market approach should be employed. In this, it is understood that historical volatility cannot explain market prices because the option prices are determined mostly by traders’ forecasts for the future market rather than by historical volatility. Therefore, adopting a historical approach will result in a model that misprices major derivatives. Such a model is not valid for derivatives trading.

However, when we intend to calibrate a model for interest-risk-management, the historical approach is recommended, rather than the market approach. In the historical approach, principal component analysis (PCA) is a standard technique for reducing the dimensionality of the model. PCA will be repeatedly used in this book, and we introduce the construction of volatility by applying PCA. The fundamentals of PCA and the relevant linear algebra are given in Appendix B.

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|MATH5985

利率建模代考

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Heath-Jarrow-Morton Framework

我们引入了债券市场乙在第 3 章中没有承认利率的期限结构。相反,如果我们假设债券市场的期限结构,则可以将债券价格与利率联系起来。我们用随机过程来表示债券价格的动态,并用它来指定相应的利率。这样的系统被称为利率期限结构模型(或简单地说,利率模型)。
由短期利率动态指定的模型称为短期利率模型。由远期利率动态指定的模型称为远期利率模型。对于利率风险的管理,最好假设收益率曲线的各种变化,特别是假设远期利率的变化。因此,远期利率模型在风险管理中比短期利率模型更有用。

本节简单介绍 HJM 模型,它是最通用的远期利率模型。有关更多详细信息,建议读者查阅 Cairns (2004)、Munk (2011) 或 Shreve (2004) 等。有关校准的详细信息,建议读者参考 Wu (2009)。
远期汇率过程
Let(Ω,F吨∈[0,τ],磷)是一个过滤的概率空间,其中F吨∈[0,τ]是增强过滤和磷表示真实世界的度量。到期的瞬时远期利率吨当时观察到吨表示为F(吨,吨). 用法明确时,F(吨,吨)将被称为远期利率。通常F(0,吨)表示初始远期利率。

我们假设动态F(吨,吨)上(Ω,F吨∈[0,τ],磷)表示为

dF(吨,吨)=一个(吨,吨)d吨+σ(吨,吨)d在吨,
在哪里在吨=(在吨1,⋯,在吨d)吨是一个d维P-布朗运动,和一个(吨,吨)和σ(吨,吨)是满足某些技术条件的可预测过程。这里,σ(吨,吨)=(σ1(吨,吨),⋯,σd(吨,吨))吨是一个d维过程。第二学期,σ(吨,吨)d在吨表示的内积σ(吨,吨)和d在吨在Rd, 具体来说

σ(吨,吨)d在吨=∑l=1dσl(吨,吨)d在吨l.

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Arbitrage Pricing and Market Price of Risk

本节简要研究 HJM 模型中的一些基本主题,特别是远期利率过程、套利定价、风险的市场价格和国家价格平减指数。
远期利率过程
这里让我们表示在风险中性度量 Q 下的远期利率过程。微分方程(4.9)关于吨, 我们有

−一个(s,吨)−σ(s,吨)∫s吨σ(s,在)d在=∂b(s,吨)∂吨.
从方程 (4.10) 和 (4.12) 可以得出

−一个(s,吨)−σ(s,吨)∫s吨σ(s,在)d在=∂在(s,吨)∂吨披吨 =−σ(s,吨)披吨
将上述代入方程(4.1),我们得到

dF(吨,吨)=−σ(吨,吨)在(吨,吨)+σ(吨,吨)披(吨)d吨+σ(吨,吨)d在吨
回想一下 Q-布朗运动从吨=∫0吨披sds+在吨. 将其代入上述,我们有

dF(吨,吨)=−σ(吨,吨)在(吨,吨)d吨+σ(吨,吨)d从吨
漂流在哪里问完全由波动率决定σ(吨,吨). 这种形式是 HJM 模型中众所周知的远期利率过程。对于利率衍生品的定价,远期利率的动态通常由方程(4.18)模拟,债券定价采用这种形式。这种方法本质上与用于短期模型的方法相同。

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Volatility and Principal Components

本节介绍一种在 H.JM 模型中构建波动率的方法。有两种主要方法可以做到这一点。一是市场方法;另一种是历史方法。

在市场方法中,对波动率的估计使得模型暗示期权价格与其市场价格一致。在历史方法中,波动率被构建为代表利率的历史动态,例如短期利率或远期利率。在实验上,这两种方法导致了完全不同的波动率结构。

当我们校准衍生品定价模型时,应采用市场方法。在此,可以理解的是,历史波动率并不能解释市场价格,因为期权价格主要取决于交易者对未来市场的预测,而不是历史波动率。因此,采用历史方法将导致模型对主要衍生品进行错误定价。这种模型不适用于衍生品交易。

然而,当我们打算校准一个利率风险管理模型时,建议使用历史方法,而不是市场方法。在历史方法中,主成分分析 (PCA) 是降低模型维数的标准技术。本书将重复使用 PCA,我们将通过应用 PCA 来介绍波动率的构建。PCA 的基础知识和相关的线性代数在附录 B 中给出。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
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