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- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
- Foundations of Data Science 数据科学基础
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Black-Scholes Model for Several Assets
In many cases, an option’s payoff may depend on several assets, e.g., swap options, quantos, basket options, etc. Therefore one has to model the dynamical behavior of several assets.
Definition 2.1.1 $W=\left(W_{1}, \ldots, W_{d}\right)$ is a d-dimensional Brownian motion with correlation matrix $R$ if it is a continuous random vector starting at 0 , with independent increments, and such that $W(t)-W(s) \sim N_{d}(0, R(t-s))$, whenever $0 \leq s \leq t$.
Note that it follows that the components $W_{1}, \ldots, W_{d}$ are correlated Brownian motions with
$$
\operatorname{Cov}\left{W_{j}(s), W_{k}(t)\right}=R_{j k} \min (s, t), \quad s, t, \geq 0, \quad j, k \in{1, \ldots, d}
$$
One can now state the extension of the Black-Scholes model to several assets.
Definition 2.1.2 The values $S_{1}, \ldots, S_{d}$ of assets are modeled by geometric Brownian motions if
$$
S_{j}(t)=S_{j}(0) e^{\left(\mu_{j}-\frac{\sigma_{j}^{2}}{2}\right) t+\sigma_{j} W_{j}(t)}, \quad t \geq 0, \quad j \in{1, \ldots, d},
$$
where the Brownian motions $W_{i}$ are correlated, with correlation matrix $R$. One can also say that $S=\left(S_{1}, \ldots, S_{d}\right)$ are correlated geometric Brownian
motions with parameters $\mu$ and $\Sigma$, where the covariance matrix $\Sigma$ is defined $b y$
$$
\Sigma_{j k}=\sigma_{j} \sigma_{k} R_{j k}, \quad j, k \in{1, \ldots, d}
$$
Remark 2.1.1 As in the one-dimensional case, the geometric Brownian motions satisfy the following system of stochastic differential equations:
$$
d S_{j}(t)=\mu_{j} S_{j}(t) d t+\sigma_{j} S_{j}(t) d W_{j}(t), \quad j \in{1, \ldots, d} .
$$
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Representation of a Multivariate Brownian Motion
Using the properties of Gaussian random vectors (Section A.6.18), a $d-$ dimensional Brownian motion $W$ with correlation matrix $R$ can be constructed as a linear combination of $d$ independent univariate Brownian motions $Z=$ $\left(Z_{1}, \ldots, Z_{d}\right)^{\top}$ by setting $W(t)=b^{\top} Z(t)$, where $b^{\top} b=R$. We can then rewrite (2.1) as
$$
\frac{S_{j}(t)}{S_{j}(0)}=e^{\left(\mu_{j}-\frac{\sigma_{1}^{2}}{2}\right) t+\sigma_{j} \sum_{k=1}^{d} b_{k j} Z_{k}(t)}, \quad t \geq 0, \quad j \in{1, \ldots, d}
$$
An interesting decomposition of $R=b^{\top} b$ is when $b$ is an upper triangular matrix, as in Cholesky decomposition. In this case,
$$
\frac{S_{j}(t)}{S_{j}(0)}=e^{\left(\mu_{j}-\frac{\Sigma_{j j}}{2}\right) t+\sum_{k=1}^{j} a_{k j} Z_{k}(t)}, \quad t \geq 0, \quad j \in{1, \ldots, d},
$$
where the Brownian motions $Z_{1}, \ldots, Z_{d}$ are independent, and $a_{j k}=\sigma_{k} b_{j k}$. The matrix $a$ is upper triangular, contains all the information on the dependence, and is uniquely determined by the Cholesky decomposition $a^{\top} a=\Sigma$, i.e..
$$
\Sigma_{j k}=\left(a^{\top} a\right){j k}=\sum{l=1}^{\min (j, k)} a_{l j} a l k=\sigma_{j} \sigma_{k} R_{j k}, \quad j, k \in{1, \ldots, d}
$$
under the constraints $a_{j j}>0, j \in{1, \ldots, d}$. In the bivariate case, one can check that $a=\left(\begin{array}{cc}\sigma_{1} & R_{12} \sigma_{2} \ 0 & \sigma_{2} \sqrt{1-R_{12}^{2}}\end{array}\right)$.
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Numerical Method
In general, we cannot compute explicitly the maximum likelihood estimates of a model, so we have to rely on numerical methods for optimization. One of the main problems encountered with numerical methods for optimization is the problem of constraints on the parameters.
For example, for model (2.1), the matrix $R$ must be positive definite and symmetric. In two dimensions, this condition is simple since the correlation matrix $R$ is determined by the unique number $\rho=R_{12}$. In this case, one needs to assume that the correlation coefficient $\rho$ is in the interval $(-1,1)$. To get rid of this constraint, we can set $\rho=\tanh (\alpha)$. Its inverse, called the Fisher transformation, is $\alpha=\frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+\rho}{1-\rho}\right)$. See Figure $2.1$.
For higher dimensions, it is impossibly difficult to find explicit constraints on a matrix coefficients to ensure that it is positive definite. This is where representation (2.4) becomes interesting. The only constraint on the upper triangular matrix $a$ is that its diagonal is positive. As parameters are expressed by vectors, it is therefore natural to work with the volatility vector $v$.
In addition, as we will see later, it is relatively easy to compute the estimator error on option prices in terms of the error on $v$.
金融工程代写
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Black-Scholes Model for Several Assets
在许多情况下，期权的收益可能取决于多种资产，例如掉期期权、Quantos、篮子期权等。因此必须对多种资产的动态行为进行建模。
定义 2.1.1在=(在1,…,在d)是具有相关矩阵的 d 维布朗运动R如果它是一个从 0 开始的连续随机向量，具有独立的增量，并且使得在(吨)−在(s)∼ñd(0,R(吨−s)), 每当0≤s≤吨.
请注意，组件在1,…,在d是相关的布朗运动
\operatorname{Cov}\left{W_{j}(s), W_{k}(t)\right}=R_{j k} \min (s, t), \quad s, t, \geq 0, \四边形 j, k \in{1, \ldots, d}\operatorname{Cov}\left{W_{j}(s), W_{k}(t)\right}=R_{j k} \min (s, t), \quad s, t, \geq 0, \四边形 j, k \in{1, \ldots, d}
现在可以将 Black-Scholes 模型扩展到多种资产。
定义 2.1.2 值小号1,…,小号d的资产由几何布朗运动建模，如果
小号j(吨)=小号j(0)和(μj−σj22)吨+σj在j(吨),吨≥0,j∈1,…,d,
布朗运动在哪里在一世是相关的，具有相关矩阵R. 也可以这么说小号=(小号1,…,小号d)是相关的几何布朗
带参数的运动μ和Σ, 其中协方差矩阵Σ被定义为b是
Σjķ=σjσķRjķ,j,ķ∈1,…,d
备注 2.1.1 与一维情况一样，几何布朗运动满足以下随机微分方程组：
d小号j(吨)=μj小号j(吨)d吨+σj小号j(吨)d在j(吨),j∈1,…,d.
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Representation of a Multivariate Brownian Motion
使用高斯随机向量的特性（第 A.6.18 节），一个d−维布朗运动在有相关矩阵R可以构造为的线性组合d独立的单变量布朗运动从= (从1,…,从d)⊤通过设置在(吨)=b⊤从(吨)， 在哪里b⊤b=R. 然后我们可以将（2.1）重写为
小号j(吨)小号j(0)=和(μj−σ122)吨+σj∑ķ=1dbķj从ķ(吨),吨≥0,j∈1,…,d
一个有趣的分解R=b⊤b那时候b是一个上三角矩阵，如在 Cholesky 分解中。在这种情况下，
小号j(吨)小号j(0)=和(μj−Σjj2)吨+∑ķ=1j一种ķj从ķ(吨),吨≥0,j∈1,…,d,
布朗运动在哪里从1,…,从d是独立的，并且一种jķ=σķbjķ. 矩阵一种是上三角函数，包含所有依赖信息，由 Cholesky 分解唯一确定一种⊤一种=Σ， IE。
Σjķ=(一种⊤一种)jķ=∑l=1分钟(j,ķ)一种lj一种lķ=σjσķRjķ,j,ķ∈1,…,d
在约束下一种jj>0,j∈1,…,d. 在双变量情况下，可以检查一种=(σ1R12σ2 0σ21−R122).
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Numerical Method
一般来说，我们无法明确计算模型的最大似然估计，因此我们必须依靠数值方法进行优化。数值优化方法遇到的主要问题之一是参数约束问题。
例如，对于模型 (2.1)，矩阵R必须是正定且对称的。在二维中，这个条件很简单，因为相关矩阵R由唯一编号确定ρ=R12. 在这种情况下，需要假设相关系数ρ是在区间(−1,1). 为了摆脱这个约束，我们可以设置ρ=腥(一种). 它的逆，称为 Fisher 变换，是一种=12ln(1+ρ1−ρ). 见图2.1.
对于更高的维度，很难找到对矩阵系数的显式约束以确保它是正定的。这就是表示（2.4）变得有趣的地方。上三角矩阵的唯一约束一种是它的对角线是正的。由于参数由向量表示，因此使用波动率向量是很自然的在.
此外，正如我们稍后将看到的，根据期权价格的误差计算期权价格的估计误差相对容易在.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。