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金融数学是将数学方法应用于金融问题。(有时使用的同等名称是定量金融、金融工程、数学金融和计算金融）。它借鉴了概率、统计、随机过程和经济理论的工具。传统上，投资银行、商业银行、对冲基金、保险公司、公司财务部和监管机构将金融数学的方法应用于诸如衍生证券估值、投资组合结构、风险管理和情景模拟等问题。依赖商品的行业（如能源、制造业）也使用金融数学。 定量分析为金融市场和投资过程带来了效率和严谨性，在监管方面也变得越来越重要。
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金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Measures and σ-algebras
Let us start by reviewing the concept of a $\sigma$-algebra.
DEFINITION 1.1.-A subset $\mathcal{F}$ of $\mathcal{P}(\Omega)$ is a $\sigma$-algebra over $\Omega$ if
1) $\Omega \in \mathcal{F}$;
2) $\mathcal{F}$ is stable by complementarity: for any $A \in \mathcal{F}$, we have $A^{c} \in \mathcal{F}$, where $A^{c}$ denotes the complement of $A$ in $\Omega: A^{c}=\Omega \backslash A$;
3) $\mathcal{F}$ is stable under a countable union: for any sequence of elements $\left(A_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ of $\mathcal{F}$, we have $\bigcup{n \in \mathbb{N}} A_{n} \in \mathcal{F}$.
Elements of a $\sigma$-algebra are called events.
EXAMPLE 1.1.- The set $\mathcal{G}={\emptyset, \Omega}$ is a $\sigma$-algebra and is also the smallest $\sigma$-algebra over $\Omega$; it is called the trivial $\sigma$-algebra. Indeed, $\mathcal{G}$ is in fact a $\sigma$-algebra since $\Omega \in$ $\mathcal{G}, \emptyset^{c}=\Omega \in \mathcal{G}, \Omega^{c}=\emptyset \in \mathcal{G}, \Omega \cup \emptyset=\Omega \in \mathcal{G}$ and by creating unions of $\emptyset$ and $\Omega$ we always obtain $\emptyset \in \mathcal{G}$ or $\Omega \in \mathcal{G}$. Further, for any other $\sigma$-algebra $\mathcal{F}$, we clearly have $\mathcal{G} \in \mathcal{F}$.
EXAMPLE 1.2.-The set $\mathcal{P}(\Omega)$ is the largest $\sigma$-algebra over $\Omega$; it is called the largest $\sigma$-algebra. Indeed, by construction, $\mathcal{P}(\Omega)$ contains all the subsets of $\Omega$, and thus it contains in particular $\Omega$ and it is stable by complementarity and under countable unions. In addition, any other $\sigma$-algebra $\mathcal{F}$ over $\Omega$ is clearly included in $\mathcal{P}(\Omega)$.
DEFINITION 1.2.- Let $\Omega$ be a non-empty set and $\mathcal{F}$ be a $\sigma$-algebra over $\Omega$. The couple $(\Omega, \mathcal{F})$ is called a probabilizable space.
Among the elementary properties of $\sigma$-algebra, we can cite stability through any intersection (countable or not).
PROPOSITION 1.1.-Any intersection of $\sigma$-algebras over a set $\Omega$ is a $\sigma$-algebra over $\Omega$.
PROOF.- Let $\left(\mathcal{F}{i}\right){i \in I}$ be any family of $\sigma$-algebra indexed by a non-empty set $I$. Thus,
- first of all, for any $i, \Omega \in \mathcal{F}{i}$, thus $\Omega \in \cap{i \in I} \mathcal{F}_{i}$;
- secondly, if $A \in \cap_{i \in I} \mathcal{F}{i}$, then for any $i, A \in \mathcal{F}{i}$. As these are $\sigma$-algebras, we have that for any $i, A^{c} \in \mathcal{F}{i}$, thus $A^{c} \in \cap{i \in I} \mathcal{F}_{i}$;
- finally, if for any $n \in \mathbb{N}, A_{n} \in \cap_{i \in I} \mathcal{F}{i}$, then for any $i, n, A{n} \in \mathcal{F}{i}$. As these are $\sigma$-algebras, we have that for any $i, \cup{n \in \mathbb{N}} A_{n} \in \mathcal{F}{i}$, thus $$ \cup{n \in \mathbb{N}} A_{n} \in \cap_{i \in I} \mathcal{F}_{i}
$$
It is generally difficult to make explicit all the events in a $\sigma$-algebra. We often describe it using generating events.
金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Probabilities
A probability measure or probability distribution is a finite measure whose total mass is equal to 1 .
DEFINITION 1.7.-A probability or probability measure, or law of probability or distribution over a probability space $(\Omega, \mathcal{F})$ is a measure with a total mass equal to 1. In other words, a probability over $(\Omega, \mathcal{F})$ is a mapping $\mathbb{P}: \mathcal{F} \longrightarrow \mathbb{R}$ such that
- for any $A \in \mathcal{F}, \mathbb{P}(A) \geq 0$,
$-\mathbb{P}(\Omega)=1$. - for any sequence of pairwise disjoint events in $\mathcal{F}$, denoted by $\left(A_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$, we have $$ \mathbb{P}\left(\bigcup{n=0}^{+\infty} A_{n}\right)=\sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}\left(A_{n}\right)
$$
The triplet $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ is then called a probability space.
EXAMPLE 1.7.- $\Omega$ is endowed with the coarse $\sigma$-algebra $\mathcal{F}={\emptyset, \Omega}$. Thus, the single probability measure on $(\Omega, \mathcal{F})$ is given by:
$$
\mathbb{P}: A \in \mathcal{F} \longmapsto \mathbb{P}(A)=\left{\begin{array}{l}
1 \text { if } A=\Omega \
0 \text { if } A=\emptyset .
\end{array}\right.
$$
EXAMPLE 1.8. $-$ Let $\Omega=[0,1]$ and $\mathcal{F}=\mathcal{B}([0,1])$ be the Borel $\sigma$-algebra of $[0,1]$. If $\lambda$ denotes the Lebesgue measure, then the mapping:
$$
\mathbb{P}: A \in \mathcal{F} \longmapsto \lambda(A)
$$
is a probability measure on $(\Omega, \mathcal{F})$.
EXAMPLE 1.9.- Let $\Omega$ be non-empty set such that $\operatorname{card}(\Omega)<\infty$, where card $(\Omega)$ denotes the cardinal of $\Omega$, that is, the number of elements in $\Omega$. Consider the mapping $\mathbb{P}$ from $\mathcal{P}(\Omega)$ onto $[0,1]$ such that for every $A \in \mathcal{P}(\Omega), \mathbb{P}(A)=\frac{\operatorname{card}(A)}{\operatorname{card}(\Omega)}$.
The mapping $\mathbb{P}$ is then a probability on $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega)$ ), said to be the uniform probability on $\Omega$.
We will only review those properties of a probability that will be useful for this book.
Proposition 1.2.-Let $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ be a probability space and $\left(A_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ be a sequence of events in $\mathcal{F}$.
- If $\left(A_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ is increasing (for the inclusion), then, $$ \mathbb{P}\left(\bigcup{i=0}^{\infty} A_{i}\right)=\lim {n \rightarrow+\infty} \mathbb{P}\left(A{n}\right)
$$ - If $\left(A_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ is decreasing (for the inclusion), then, $$ \mathbb{P}\left(\bigcap{i=0}^{\infty} A_{i}\right)=\lim {n \rightarrow+\infty} \mathbb{P}\left(A{n}\right)
$$
We will now review the concept of independent events and $\sigma$-algebras.
DEFINITION 1.8.-Let $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ be a probability space. - Two events, $A$ and $B$, are independent if $\mathbb{P}(A \cap B)=\mathbb{P}(A) \times \mathbb{P}(B)$.
- A family of events $\left(A_{i} \in \mathcal{F}{i}, i \in I\right)$ is said to be mutually independent if for any finite family $J \subset I$, we have $$ \mathbb{P}\left(\bigcap{j \in J} A_{j}\right)=\prod_{j \in J} \mathbb{P}\left(A_{j}\right) .
$$ - Two $\sigma$-algebras $\mathcal{F}$ and $\mathcal{G}$ are independent if for any $A \in \mathcal{F}$ and $B \in \mathcal{G}, A$ and $B$ are independent.
- A family of sub- $\sigma$-algebra $\mathcal{F}{i} \subset \mathcal{F}, i \in I$ is mutually independent if any family of events $\left(A{i} \in \mathcal{F}_{i}, i \in I\right)$ is mutually independent.
金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Random variables
Let us now recall the definition of a generic random variable, and then the specific case of discrete random variables.
DEFINITION 1.9.-Let $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ be a probabilizable space and $(E, \mathcal{E})$ be a measurable space. A random variable on the probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ taking values in the measurable space $(E, \mathcal{E})$, is any mapping $X: \Omega \longrightarrow E$ such that, for any $B$ in $\mathcal{E}, X^{-1}(B) \in \mathcal{F}$; in other words, $X: \Omega \longrightarrow E$ is a random variable if it is an $(\mathcal{F}, \mathcal{E})$-measurable mapping. We then write the event ” $\mathrm{X}$ belongs to $\mathrm{B}$ ” by
$$
X^{-1}(B)={\omega \in \Omega ; X(\omega) \in B}=(X \in B) .
$$
In the specific case where $E=\mathbb{R}$ and $\mathcal{E}=\mathcal{B}(\mathbb{R})$, the mapping $X$ is called a real random variable. If $E=\mathbb{R}^{d}$ with $d \geq 2$, and $\mathcal{E}=\mathcal{B}\left(\mathbb{R}^{d}\right)$, the mapping $X$ is said to be a real random vector.
EXAMPLE 1.12.-Let us return to the experiment where a six-sided die is rolled, where the set of possible outcomes is $\Omega={1,2,3,4,5,6}$, which is endowed with the uniform probability. Consider the following game:
- if the result is even, you win $10 €$;
- if the result is odd, you win $20 €$.
This game can be modeled using the random variable $X: \Omega \longmapsto{10,20}$, defined by:
$$
X(\omega)=\left{\begin{array}{l}
10 \text { if } \omega \in{2,4,6} \
20 \text { if } \omega \in{1,3,5} .
\end{array}\right.
$$
This mapping is a random variable, since for any $B \in \mathcal{P}({10,20})$, we have
$$
(X \in B)=X^{-1}(B)=\left{\begin{aligned}
{2,4,6} & \text { if } B={10} \
{1,3,5} & \text { if } B={20} \
\Omega & \text { if } B={10,20} \
\emptyset & \text { if } B=\emptyset .
\end{aligned}\right.
$$
and all these events are in $\mathcal{P}(\Omega)$.
DEFINITION 1.10.- The distribution of a random variable $X$ defined on $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ taking values in $(E, \mathcal{E})$ is the mapping $\mathbb{P}{X}: \mathcal{E} \longrightarrow[0,1]$ such that, for any $B \in \mathcal{E}$, $$ \mathbb{P}{X}(B)=\mathbb{P}(X \in B) .
$$
The distribution of $X$ is a probability distribution on $(E, \mathcal{E})$; it is also called the image distribution of $P$ by $X$.
金融数学代考
金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Measures and σ-algebras
让我们从回顾 a 的概念开始σ-代数。
定义 1.1.-一个子集F的磷(Ω)是一个σ-代数结束Ω如果
1)Ω∈F;
2) F互补稳定：对于任何一个∈F， 我们有一个C∈F， 在哪里一个C表示的补码一个在Ω:一个C=Ω∖一个;
3) F在可数联合下是稳定的：对于任何元素序列(一个n)n∈ñ的F， 我们有⋃n∈ñ一个n∈F.
一个元素σ-代数称为事件。
示例 1.1.- 集合G=∅,Ω是一个σ-代数，也是最小的σ-代数结束Ω; 它被称为琐碎σ-代数。的确，G实际上是一个σ- 代数因为Ω∈ G,∅C=Ω∈G,ΩC=∅∈G,Ω∪∅=Ω∈G并通过建立工会∅和Ω我们总是得到∅∈G或者Ω∈G. 此外，对于任何其他σ-代数F，我们显然有G∈F.
示例 1.2.-集合磷(Ω)是最大的σ-代数结束Ω; 它被称为最大的σ-代数。事实上，通过建筑，磷(Ω)包含所有子集Ω, 因此它特别包含Ω它在互补性和可数联合下是稳定的。此外，任何其他σ-代数F超过Ω明确包含在磷(Ω).
定义 1.2.- 让Ω是一个非空集并且F做一个σ-代数结束Ω. 夫妇(Ω,F)称为概率空间。
在基本属性中σ-代数，我们可以通过任何交集（可数或不可数）引用稳定性。
命题 1.1.-任何交集σ- 集合上的代数Ω是一个σ-代数结束Ω.
证明-让(F一世)一世∈我成为任何家庭σ-由非空集索引的代数我. 因此，
- 首先，对于任何一世,Ω∈F一世， 因此Ω∈∩一世∈我F一世;
- 其次，如果一个∈∩一世∈我F一世，那么对于任何一世,一个∈F一世. 因为这些是σ-代数，我们有任何一世,一个C∈F一世， 因此一个C∈∩一世∈我F一世;
- 最后，如果有的话n∈ñ,一个n∈∩一世∈我F一世，那么对于任何一世,n,一个n∈F一世. 因为这些是σ-代数，我们有任何一世,∪n∈ñ一个n∈F一世， 因此∪n∈ñ一个n∈∩一世∈我F一世
通常很难明确说明一个事件中的所有事件σ-代数。我们经常使用生成事件来描述它。
金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Probabilities
概率测度或概率分布是总质量等于 1 的有限测度。
定义 1.7.-概率或概率度量，或概率法则或概率空间上的分布(Ω,F)是总质量等于 1 的量度。换句话说，超过(Ω,F)是一个映射磷:F⟶R这样
- 对于任何一个∈F,磷(一个)≥0,
−磷(Ω)=1. - 对于任何成对不相交的事件序列F，表示为(一个n)n∈ñ， 我们有磷(⋃n=0+∞一个n)=∑n=0+∞磷(一个n)
三胞胎(Ω,F,磷)则称为概率空间。
示例 1.7.-Ω被赋予粗σ-代数F=∅,Ω. 因此，单一概率测度(Ω,F)由以下公式给出：
$$
\mathbb{P}: A \in \mathcal{F} \longmapsto \mathbb{P}(A)=\left{1 如果 一个=Ω 0 如果 一个=∅.\正确的。
和X一个米磷大号和1.8.$−$大号和吨$Ω=[0,1]$一个nd$F=乙([0,1])$b和吨H和乙○r和l$σ$−一个lG和br一个○F$[0,1]$.我F$λ$d和n○吨和s吨H和大号和b和sG在和米和一个s在r和,吨H和n吨H和米一个pp一世nG:
\mathbb{P}: A \in \mathcal{F} \longmapsto \lambda(A)
$$
是关于(Ω,F).
例 1.9.- 让Ω是非空集使得卡片(Ω)<∞, 哪里卡(Ω)表示基数Ω，也就是元素的个数Ω. 考虑映射磷从磷(Ω)到[0,1]这样对于每个一个∈磷(Ω),磷(一个)=卡片(一个)卡片(Ω).
映射磷那么是一个概率(Ω,磷(Ω))，称其为一致概率Ω.
我们只会回顾那些对本书有用的概率属性。
命题 1.2.-让(Ω,F,磷)是一个概率空间并且(一个n)n∈ñ是一系列事件F.
- 如果(一个n)n∈ñ正在增加（对于包含），那么，磷(⋃一世=0∞一个一世)=林n→+∞磷(一个n)
- 如果(一个n)n∈ñ正在减少（对于包含），那么，磷(⋂一世=0∞一个一世)=林n→+∞磷(一个n)
我们现在将回顾独立事件的概念和σ-代数。
定义 1.8.-让(Ω,F,磷)是一个概率空间。 - 两个事件，一个和乙, 是独立的，如果磷(一个∩乙)=磷(一个)×磷(乙).
- 一系列事件(一个一世∈F一世,一世∈我)如果对于任何有限族，则称它们是相互独立的Ĵ⊂我， 我们有磷(⋂j∈Ĵ一个j)=∏j∈Ĵ磷(一个j).
- 二σ-代数F和G是独立的，如果有的话一个∈F和乙∈G,一个和乙是独立的。
- 一个子家族σ-代数F一世⊂F,一世∈我如果任何事件系列是相互独立的(一个一世∈F一世,一世∈我)是相互独立的。
金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Random variables
现在让我们回顾一下通用随机变量的定义，然后是离散随机变量的具体情况。
定义 1.9.-让(Ω,F,磷)是一个概率空间并且(和,和)成为一个可测量的空间。概率空间上的随机变量(Ω,F,磷)在可测量空间中取值(和,和), 是任何映射X:Ω⟶和这样，对于任何乙在和,X−1(乙)∈F; 换句话说，X:Ω⟶和是一个随机变量，如果它是(F,和)- 可测量的映射。然后我们写事件”X属于乙“ 经过
X−1(乙)=ω∈Ω;X(ω)∈乙=(X∈乙).
在具体情况下和=R和和=乙(R), 映射X称为实随机变量。如果和=Rd和d≥2， 和和=乙(Rd), 映射X称为实随机向量。
示例 1.12.-让我们回到掷六面骰子的实验，其中可能的结果集是Ω=1,2,3,4,5,6，具有均匀概率。考虑以下游戏：
- 如果结果是偶数，你赢了€10€;
- 如果结果是奇数，你赢了€20€.
这个游戏可以使用随机变量建模X:Ω⟼10,20，定义为：
$$
X(\omega)=\left{10 如果 ω∈2,4,6 20 如果 ω∈1,3,5.\正确的。
吨H一世s米一个pp一世nG一世s一个r一个nd○米在一个r一世一个bl和,s一世nC和F○r一个n是$乙∈磷(10,20)$,在和H一个在和
(X \in B)=X^{-1}(B)=\left{2,4,6 如果 乙=10 1,3,5 如果 乙=20 Ω 如果 乙=10,20 ∅ 如果 乙=∅.\正确的。
一个nd一个ll吨H和s和和在和n吨s一个r和一世n$磷(Ω)$.D和F我ñ我吨我○ñ1.10.−吨H和d一世s吨r一世b在吨一世○n○F一个r一个nd○米在一个r一世一个bl和$X$d和F一世n和d○n$(Ω,F,磷)$吨一个ķ一世nG在一个l在和s一世n$(和,和)$一世s吨H和米一个pp一世nG$磷X:和⟶[0,1]$s在CH吨H一个吨,F○r一个n是$乙∈和$,\mathbb{P}{X}(B)=\mathbb{P}(X \in B) 。
$$
的分布X是一个概率分布(和,和); 也称为图像分布磷经过X.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。