### 金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|ACTL20001

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## 金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Measures and σ-algebras

Let us start by reviewing the concept of a $\sigma$-algebra.

DEFINITION 1.1.-A subset $\mathcal{F}$ of $\mathcal{P}(\Omega)$ is a $\sigma$-algebra over $\Omega$ if
1) $\Omega \in \mathcal{F}$;
2) $\mathcal{F}$ is stable by complementarity: for any $A \in \mathcal{F}$, we have $A^{c} \in \mathcal{F}$, where $A^{c}$ denotes the complement of $A$ in $\Omega: A^{c}=\Omega \backslash A$;
3) $\mathcal{F}$ is stable under a countable union: for any sequence of elements $\left(A_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ of $\mathcal{F}$, we have $\bigcup{n \in \mathbb{N}} A_{n} \in \mathcal{F}$.
Elements of a $\sigma$-algebra are called events.
EXAMPLE 1.1.- The set $\mathcal{G}={\emptyset, \Omega}$ is a $\sigma$-algebra and is also the smallest $\sigma$-algebra over $\Omega$; it is called the trivial $\sigma$-algebra. Indeed, $\mathcal{G}$ is in fact a $\sigma$-algebra since $\Omega \in$ $\mathcal{G}, \emptyset^{c}=\Omega \in \mathcal{G}, \Omega^{c}=\emptyset \in \mathcal{G}, \Omega \cup \emptyset=\Omega \in \mathcal{G}$ and by creating unions of $\emptyset$ and $\Omega$ we always obtain $\emptyset \in \mathcal{G}$ or $\Omega \in \mathcal{G}$. Further, for any other $\sigma$-algebra $\mathcal{F}$, we clearly have $\mathcal{G} \in \mathcal{F}$.

EXAMPLE 1.2.-The set $\mathcal{P}(\Omega)$ is the largest $\sigma$-algebra over $\Omega$; it is called the largest $\sigma$-algebra. Indeed, by construction, $\mathcal{P}(\Omega)$ contains all the subsets of $\Omega$, and thus it contains in particular $\Omega$ and it is stable by complementarity and under countable unions. In addition, any other $\sigma$-algebra $\mathcal{F}$ over $\Omega$ is clearly included in $\mathcal{P}(\Omega)$.

DEFINITION 1.2.- Let $\Omega$ be a non-empty set and $\mathcal{F}$ be a $\sigma$-algebra over $\Omega$. The couple $(\Omega, \mathcal{F})$ is called a probabilizable space.

Among the elementary properties of $\sigma$-algebra, we can cite stability through any intersection (countable or not).

PROPOSITION 1.1.-Any intersection of $\sigma$-algebras over a set $\Omega$ is a $\sigma$-algebra over $\Omega$.

PROOF.- Let $\left(\mathcal{F}{i}\right){i \in I}$ be any family of $\sigma$-algebra indexed by a non-empty set $I$. Thus,

• first of all, for any $i, \Omega \in \mathcal{F}{i}$, thus $\Omega \in \cap{i \in I} \mathcal{F}_{i}$;
• secondly, if $A \in \cap_{i \in I} \mathcal{F}{i}$, then for any $i, A \in \mathcal{F}{i}$. As these are $\sigma$-algebras, we have that for any $i, A^{c} \in \mathcal{F}{i}$, thus $A^{c} \in \cap{i \in I} \mathcal{F}_{i}$;
• finally, if for any $n \in \mathbb{N}, A_{n} \in \cap_{i \in I} \mathcal{F}{i}$, then for any $i, n, A{n} \in \mathcal{F}{i}$. As these are $\sigma$-algebras, we have that for any $i, \cup{n \in \mathbb{N}} A_{n} \in \mathcal{F}{i}$, thus $$\cup{n \in \mathbb{N}} A_{n} \in \cap_{i \in I} \mathcal{F}_{i}$$
It is generally difficult to make explicit all the events in a $\sigma$-algebra. We often describe it using generating events.

## 金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Probabilities

A probability measure or probability distribution is a finite measure whose total mass is equal to 1 .

DEFINITION 1.7.-A probability or probability measure, or law of probability or distribution over a probability space $(\Omega, \mathcal{F})$ is a measure with a total mass equal to 1. In other words, a probability over $(\Omega, \mathcal{F})$ is a mapping $\mathbb{P}: \mathcal{F} \longrightarrow \mathbb{R}$ such that

• for any $A \in \mathcal{F}, \mathbb{P}(A) \geq 0$,
$-\mathbb{P}(\Omega)=1$.
• for any sequence of pairwise disjoint events in $\mathcal{F}$, denoted by $\left(A_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$, we have $$\mathbb{P}\left(\bigcup{n=0}^{+\infty} A_{n}\right)=\sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}\left(A_{n}\right)$$
The triplet $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ is then called a probability space.
EXAMPLE 1.7.- $\Omega$ is endowed with the coarse $\sigma$-algebra $\mathcal{F}={\emptyset, \Omega}$. Thus, the single probability measure on $(\Omega, \mathcal{F})$ is given by:
$$\mathbb{P}: A \in \mathcal{F} \longmapsto \mathbb{P}(A)=\left{\begin{array}{l} 1 \text { if } A=\Omega \ 0 \text { if } A=\emptyset . \end{array}\right.$$
EXAMPLE 1.8. $-$ Let $\Omega=[0,1]$ and $\mathcal{F}=\mathcal{B}([0,1])$ be the Borel $\sigma$-algebra of $[0,1]$. If $\lambda$ denotes the Lebesgue measure, then the mapping:
$$\mathbb{P}: A \in \mathcal{F} \longmapsto \lambda(A)$$
is a probability measure on $(\Omega, \mathcal{F})$.

EXAMPLE 1.9.- Let $\Omega$ be non-empty set such that $\operatorname{card}(\Omega)<\infty$, where card $(\Omega)$ denotes the cardinal of $\Omega$, that is, the number of elements in $\Omega$. Consider the mapping $\mathbb{P}$ from $\mathcal{P}(\Omega)$ onto $[0,1]$ such that for every $A \in \mathcal{P}(\Omega), \mathbb{P}(A)=\frac{\operatorname{card}(A)}{\operatorname{card}(\Omega)}$.

The mapping $\mathbb{P}$ is then a probability on $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega)$ ), said to be the uniform probability on $\Omega$.

We will only review those properties of a probability that will be useful for this book.

Proposition 1.2.-Let $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ be a probability space and $\left(A_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ be a sequence of events in $\mathcal{F}$.

• If $\left(A_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ is increasing (for the inclusion), then, $$\mathbb{P}\left(\bigcup{i=0}^{\infty} A_{i}\right)=\lim {n \rightarrow+\infty} \mathbb{P}\left(A{n}\right)$$
• If $\left(A_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ is decreasing (for the inclusion), then, $$\mathbb{P}\left(\bigcap{i=0}^{\infty} A_{i}\right)=\lim {n \rightarrow+\infty} \mathbb{P}\left(A{n}\right)$$
We will now review the concept of independent events and $\sigma$-algebras.
DEFINITION 1.8.-Let $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ be a probability space.
• Two events, $A$ and $B$, are independent if $\mathbb{P}(A \cap B)=\mathbb{P}(A) \times \mathbb{P}(B)$.
• A family of events $\left(A_{i} \in \mathcal{F}{i}, i \in I\right)$ is said to be mutually independent if for any finite family $J \subset I$, we have $$\mathbb{P}\left(\bigcap{j \in J} A_{j}\right)=\prod_{j \in J} \mathbb{P}\left(A_{j}\right) .$$
• Two $\sigma$-algebras $\mathcal{F}$ and $\mathcal{G}$ are independent if for any $A \in \mathcal{F}$ and $B \in \mathcal{G}, A$ and $B$ are independent.
• A family of sub- $\sigma$-algebra $\mathcal{F}{i} \subset \mathcal{F}, i \in I$ is mutually independent if any family of events $\left(A{i} \in \mathcal{F}_{i}, i \in I\right)$ is mutually independent.

## 金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Random variables

Let us now recall the definition of a generic random variable, and then the specific case of discrete random variables.

DEFINITION 1.9.-Let $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ be a probabilizable space and $(E, \mathcal{E})$ be a measurable space. A random variable on the probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ taking values in the measurable space $(E, \mathcal{E})$, is any mapping $X: \Omega \longrightarrow E$ such that, for any $B$ in $\mathcal{E}, X^{-1}(B) \in \mathcal{F}$; in other words, $X: \Omega \longrightarrow E$ is a random variable if it is an $(\mathcal{F}, \mathcal{E})$-measurable mapping. We then write the event ” $\mathrm{X}$ belongs to $\mathrm{B}$ ” by
$$X^{-1}(B)={\omega \in \Omega ; X(\omega) \in B}=(X \in B) .$$
In the specific case where $E=\mathbb{R}$ and $\mathcal{E}=\mathcal{B}(\mathbb{R})$, the mapping $X$ is called a real random variable. If $E=\mathbb{R}^{d}$ with $d \geq 2$, and $\mathcal{E}=\mathcal{B}\left(\mathbb{R}^{d}\right)$, the mapping $X$ is said to be a real random vector.

EXAMPLE 1.12.-Let us return to the experiment where a six-sided die is rolled, where the set of possible outcomes is $\Omega={1,2,3,4,5,6}$, which is endowed with the uniform probability. Consider the following game:

• if the result is even, you win $10 €$;
• if the result is odd, you win $20 €$.
This game can be modeled using the random variable $X: \Omega \longmapsto{10,20}$, defined by:
$$X(\omega)=\left{\begin{array}{l} 10 \text { if } \omega \in{2,4,6} \ 20 \text { if } \omega \in{1,3,5} . \end{array}\right.$$
This mapping is a random variable, since for any $B \in \mathcal{P}({10,20})$, we have
(X \in B)=X^{-1}(B)=\left{\begin{aligned} {2,4,6} & \text { if } B={10} \ {1,3,5} & \text { if } B={20} \ \Omega & \text { if } B={10,20} \ \emptyset & \text { if } B=\emptyset . \end{aligned}\right.
and all these events are in $\mathcal{P}(\Omega)$.
DEFINITION 1.10.- The distribution of a random variable $X$ defined on $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ taking values in $(E, \mathcal{E})$ is the mapping $\mathbb{P}{X}: \mathcal{E} \longrightarrow[0,1]$ such that, for any $B \in \mathcal{E}$, $$\mathbb{P}{X}(B)=\mathbb{P}(X \in B) .$$
The distribution of $X$ is a probability distribution on $(E, \mathcal{E})$; it is also called the image distribution of $P$ by $X$.

## 金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Measures and σ-algebras

1)Ω∈F;
2) F互补稳定：对于任何一个∈F， 我们有一个C∈F， 在哪里一个C表示的补码一个在Ω:一个C=Ω∖一个;
3) F在可数联合下是稳定的：对于任何元素序列(一个n)n∈ñ的F， 我们有⋃n∈ñ一个n∈F.

• 首先，对于任何一世,Ω∈F一世， 因此Ω∈∩一世∈我F一世;
• 其次，如果一个∈∩一世∈我F一世，那么对于任何一世,一个∈F一世. 因为这些是σ-代数，我们有任何一世,一个C∈F一世， 因此一个C∈∩一世∈我F一世;
• 最后，如果有的话n∈ñ,一个n∈∩一世∈我F一世，那么对于任何一世,n,一个n∈F一世. 因为这些是σ-代数，我们有任何一世,∪n∈ñ一个n∈F一世， 因此∪n∈ñ一个n∈∩一世∈我F一世
通常很难明确说明一个事件中的所有事件σ-代数。我们经常使用生成事件来描述它。

## 金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Probabilities

• 对于任何一个∈F,磷(一个)≥0,
−磷(Ω)=1.
• 对于任何成对不相交的事件序列F，表示为(一个n)n∈ñ， 我们有磷(⋃n=0+∞一个n)=∑n=0+∞磷(一个n)
三胞胎(Ω,F,磷)则称为概率空间。
示例 1.7.-Ω被赋予粗σ-代数F=∅,Ω. 因此，单一概率测度(Ω,F)由以下公式给出：
$$\mathbb{P}: A \in \mathcal{F} \longmapsto \mathbb{P}(A)=\left{1 如果 一个=Ω 0 如果 一个=∅.\正确的。 和X一个米磷大号和1.8.−大号和吨Ω=[0,1]一个ndF=乙([0,1])b和吨H和乙○r和lσ−一个lG和br一个○F[0,1].我Fλd和n○吨和s吨H和大号和b和sG在和米和一个s在r和,吨H和n吨H和米一个pp一世nG: \mathbb{P}: A \in \mathcal{F} \longmapsto \lambda(A)$$
是关于(Ω,F).

• 如果(一个n)n∈ñ正在增加（对于包含），那么，磷(⋃一世=0∞一个一世)=林n→+∞磷(一个n)
• 如果(一个n)n∈ñ正在减少（对于包含），那么，磷(⋂一世=0∞一个一世)=林n→+∞磷(一个n)
我们现在将回顾独立事件的概念和σ-代数。
定义 1.8.-让(Ω,F,磷)是一个概率空间。
• 两个事件，一个和乙, 是独立的，如果磷(一个∩乙)=磷(一个)×磷(乙).
• 一系列事件(一个一世∈F一世,一世∈我)如果对于任何有限族，则称它们是相互独立的Ĵ⊂我， 我们有磷(⋂j∈Ĵ一个j)=∏j∈Ĵ磷(一个j).
• 二σ-代数F和G是独立的，如果有的话一个∈F和乙∈G,一个和乙是独立的。
• 一个子家族σ-代数F一世⊂F,一世∈我如果任何事件系列是相互独立的(一个一世∈F一世,一世∈我)是相互独立的。

## 金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Random variables

X−1(乙)=ω∈Ω;X(ω)∈乙=(X∈乙).

• 如果结果是偶数，你赢了€10€;
• 如果结果是奇数，你赢了€20€.
这个游戏可以使用随机变量建模X:Ω⟼10,20，定义为：
$$X(\omega)=\left{10 如果 ω∈2,4,6 20 如果 ω∈1,3,5.\正确的。 吨H一世s米一个pp一世nG一世s一个r一个nd○米在一个r一世一个bl和,s一世nC和F○r一个n是乙∈磷(10,20),在和H一个在和 (X \in B)=X^{-1}(B)=\left{2,4,6 如果 乙=10 1,3,5 如果 乙=20 Ω 如果 乙=10,20 ∅ 如果 乙=∅.\正确的。 一个nd一个ll吨H和s和和在和n吨s一个r和一世n磷(Ω).D和F我ñ我吨我○ñ1.10.−吨H和d一世s吨r一世b在吨一世○n○F一个r一个nd○米在一个r一世一个bl和Xd和F一世n和d○n(Ω,F,磷)吨一个ķ一世nG在一个l在和s一世n(和,和)一世s吨H和米一个pp一世nG磷X:和⟶[0,1]s在CH吨H一个吨,F○r一个n是乙∈和,\mathbb{P}{X}(B)=\mathbb{P}(X \in B) 。$$
的分布X是一个概率分布(和,和); 也称为图像分布磷经过X.

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。