金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|MATH3090

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金融数学是将数学方法应用于金融问题。(有时使用的同等名称是定量金融、金融工程、数学金融和计算金融)。它借鉴了概率、统计、随机过程和经济理论的工具。传统上,投资银行、商业银行、对冲基金、保险公司、公司财务部和监管机构将金融数学的方法应用于诸如衍生证券估值、投资组合结构、风险管理和情景模拟等问题。依赖商品的行业(如能源、制造业)也使用金融数学。 定量分析为金融市场和投资过程带来了效率和严谨性,在监管方面也变得越来越重要。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|MATH3090

金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|The Doob decomposition

It is possible to obtain a martingale starting from any process.
THEOREM $4.2$ (Doob decomposition theorem).-Let $X=\left(X_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ be a stochastic process that is adapted to the filtration $\left(\mathcal{F}{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ and integrable. It can then be uniquely decomposed in the form $$ X{n}=X_{0}+M_{n}+A_{n}
$$
with $M_{0}=A_{0}=0, M=\left(M_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ is a martingale, and $A=\left(A{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ is a predictable process, which is called the compensator of $X$.

PROOF.- Existence We write $A_{0}=0$,
$$
A_{n+1}=A_{n}+\mathbb{E}\left[X_{n+1}-X_{n} \mid \mathcal{F}{n}\right]=\sum{k=1}^{n} \mathbb{E}\left[X_{k+1}-X_{k} \mid \mathcal{F}{k}\right], $$ $M{0}=0$ and $M_{n}=X_{n}-A_{n}$ for $n \geq 1 .$
We then directly have that $\left(A_{n}\right)$ is predictable and $\left(M_{n}\right)$ is adapted. Since the $X_{n}$ are integrable, $A_{n}$ and $M_{n}$ are also adaptable. Furthermore
$$
\begin{aligned}
\mathbb{E}\left[M_{n+1} \mid \mathcal{F}{n}\right] &=\mathbb{E}\left[X{n+1}-A_{n+1} \mid \mathcal{F}{n}\right] \ &=\mathbb{E}\left[X{n+1} \mid \mathcal{F}{n}\right]-A{n+1} \
&=\mathbb{E}\left[X_{n+1} \mid \mathcal{F}{n}\right]-A{n}-\mathbb{E}\left[X_{n+1}-X_{n} \mid \mathcal{F}{n}\right] \ &=\mathbb{E}\left[X{n+1} \mid \mathcal{F}{n}\right]-A{n}-\mathbb{E}\left[X_{n+1} \mid \mathcal{F}{n}\right]+X{n} \
&=X_{n}-A_{n} \
&=M_{n}
\end{aligned}
$$
thus $M=\left(M_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ is a martingale. Unicity Let us assume that there are two such decompositions: $$ X{n}=X_{0}+M_{n}+A_{n}=X_{0}+M_{n}^{\prime}-A_{n}^{\prime} .
$$
Then, $A_{0}-A_{0}^{\prime}=0$ and since the processes are predictable
$$
\begin{aligned}
A_{n+1}-A_{n+1}^{\prime} &=\mathbb{E}\left[A_{n+1}-A_{n+1}^{\prime} \mid \mathcal{F}{n}\right] \ &=\mathbb{E}\left[M{n+1}-M_{n+1}^{\prime} \mid \mathcal{F}{n}\right] \ &=M{n}-M_{n}^{\prime} \
&=A_{n}-A_{n}^{\prime}
\end{aligned}
$$
because we have martingales. Therefore, $A_{n}=A_{n}^{\prime}$ for any $n$, and consequently, $M_{n}=M_{n}^{\prime}$ for any $n$. Thus, we do have unicity.
COROLLARY 4.1.- In the Doob decomposition of $X=\left(X_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$, $-\left(A{n}\right)$ is increasing if and only if $X=\left(X_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ is a submartingale; $-\left(A{n}\right)$ is decreasing if and only if $X=\left(X_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ is a supermartingale; $-\left(A{n}\right)$ is null if and only if $X=\left(X_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ is a martingale. ProOF.- The final point is a consequence of the first two. By definition, we have $A{n+1}=A_{n}+\mathbb{E}\left[X_{n+1}-X_{n} \mid \mathcal{F}{n}\right]$ and $\mathbb{E}\left[X{n+1}-X_{n} \mid \mathcal{F}_{n}\right]$ is positive for a submartingale, negative for a supermartingale.

金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Stopping time

We now introduce the concept of stopping time. Informally, a stopping time corresponds to a random date, thus a date that is unknown in advance, but such that at any instant it is possible to say whether or not the date has passed.

DEFINITION 4.2.- Let $T: \Omega \longrightarrow \mathbb{N} \cup{+\infty}$ be a random variable. It is said that $T$
EXAMPLE 4.7.- Let $T$ be a constant positive random variable. Then, $T$ is an $n$, we have
$$
(T \leq n)=\left{\begin{array}{l}
\emptyset \text { if } T>n \
\Omega \text { if } T \leq n
\end{array}\right.
$$
As any $\sigma$-algebra contains the empty set and $\Omega$, we have $(T \leq n) \in \mathcal{F}{n}$. EXAMPLE 4.8.-Let $\left(X{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ be a sequence of real random variables. Let $A$ be a Borel set in $\mathbb{R}$ and consider the random variable $$ T=\inf \left{k \in \mathbb{N} ; X{k} \in A\right},
$$

using the convention $\inf \emptyset=+\infty$. Thus, $T$ is a stopping time with respect to the natural filtration of $\left(X_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$, called the hitting time of the set $A$. Indeed, for any $n \in \mathbb{N}$, we have $$ (T \leq n)=\left(X{0} \in A\right) \cup \ldots \cup\left(X_{n-1} \in A\right) \cup\left(X_{n} \in A\right) \in \mathcal{F}{n} $$ because $\left(\mathcal{F}{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ is the natural filtration of $\left(X{n}\right){n \in \mathbb{N}}$. Proposition 4.3.-A random variable $T: \Omega \longrightarrow \mathbb{N} \cup{+\infty}$ is an PROOF.- Let us assume that $T$ is an $\left(\mathcal{F}{n}\right){n \in \mathbb{N}^{-s t o p p i n g}}$ time. Then, for any $n \in \mathbb{N}^{*}$, we have: $(T \leq n) \in \mathcal{F}{\mathrm{n}}$ and $(T \leq n-1) \in \mathcal{F}{\mathrm{n}-1} \subset \mathcal{F}{\mathrm{n}}$, and consequently,
$$
(T=n)=(T \leq n) \cap(T \leq n-1)^{c} \in \mathcal{F}{n}, $$ because a $\sigma$-algebra is closed under finite intersection and complements. It is now assumed that for any $k \in \mathbb{N},(T=k) \in \mathcal{F}{k}$. Therefore, for any fixed $n$, we have
$$
(T \leq n)=\bigcup_{k=0}^{n}(T=k) \in \bigcup_{k=0}^{n} \mathcal{F}{k}=\mathcal{F}{n},
$$
because a filtration is an increasing sequence of $\sigma$-algebras. Consequently, $T$ is indeed an $\left(\mathcal{F}{n}\right){n \in \mathbb{N}}$-stopping time
DEFINITION 4.3.- Consider an $\left(\mathcal{F}{n}\right){n \in \mathbb{N}^{-s t o p p}}$-sime, T. The set
$$
\mathcal{F}{T}=\left{A \in \mathcal{F} ; \forall n \in \mathbb{N}, A \cap(T \leq n) \in \mathcal{F}{n}\right}
$$
is called the $\sigma$-algebra of events observable up until time $T$

金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Stopped martingales

Let us now see how to combine the concept of a martingale and that of stopping time.

Proposition 4.5.-Let $\left(Z_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ be an $\left(\mathcal{F}{n}\right){n \in \mathbb{N}}$-martingale and let $T$ be an $$ Z{n}^{T}=Z_{T \wedge n}=Z_{n} \mathbb{1}{{T>n}}+Z{T} \mathbb{1}{{T \leq n}} ; n \in \mathbb{N} . $$ Then, $\left(Z{n}^{T}\right){n \in \mathbb{N}}$ is an $\left(\mathcal{F}{n}\right){n \in \mathbb{N}}-$ martingale. PROOF.- We have $$ Z{T \wedge n}=Z_{0}+\sum_{l=1}^{T \wedge n}\left(Z_{l}-Z_{l-1}\right)=Z_{0}+\sum_{l \geq 1} \mathbb{1}{{l \leq T \wedge \wedge}}\left(Z{l}-Z_{l-1}\right) .
$$
Since $\mathbb{1}{{l \leq T \wedge n}}=\mathbb{1}{{l \leq T}} \mathbb{1}{{l \leq n}}$ and $\mathbb{1}{{l \leq n}}=1$ if and only if $l=1, \ldots ., n$, and 0 if $l>n$, it follows that
$$
Z_{T \wedge n}=Z_{0}+\sum_{l=1}^{n} \mathbb{1}{{l \leq T}}\left(Z{l}-Z_{l-1}\right) .
$$
On the contrary, for $k \leq n$, we have:
$$
\begin{aligned}
&\mathbb{E}\left[Z_{T \wedge n} \mid \mathcal{F}{k}\right] \ &=\mathbb{E}\left[Z{0} \mid \mathcal{F}{k}\right]+\sum{l=1}^{n} \mathbb{E}\left[\mathbb{1}{{l \leq T}}\left(Z{l}-Z_{l-1}\right) \mid \mathcal{F}{k}\right] \ &=\mathbb{E}\left[Z{0} \mid \mathcal{F}{k}\right]+\sum{l=1}^{k} \mathbb{E}\left[\mathbb{1}{{l \leq T}}\left(Z{l}-Z_{l-1}\right) \mid \mathcal{F}{k}\right] \ &=\sum{l=k+1}^{n} \mathbb{E}\left[\mathbb{1}{{l \leq T}}\left(Z{l}-Z_{l-1}\right) \mid \mathcal{F}_{k}\right]
\end{aligned}
$$

For the first two terms, because the random variables $Z_{0}$ and $\mathbb{1}{{l \leq T}}\left(Z{l}-Z_{l-1}\right)$ are $\mathcal{F}{k}$-measurable, for any $l \leq k$, we have $$ \mathbb{E}\left[Z{0} \mid \mathcal{F}{k}\right]=Z{0} \text { et } \sum_{l=1}^{k} \mathbb{E}\left[\mathbb{1}{{l \leq T}}\left(Z{l}-Z_{l-1}\right) \mid \mathcal{F}{k}\right]=\sum{l=1}^{k} \mathbb{1}{{l \leq T}}\left(Z{l}-Z_{l-1}\right)
$$
For the third term, it can be written,
$$
\begin{aligned}
\sum_{l=k+1}^{n} \mathbb{E}\left[\mathbb{1}{{l \leq T}}\left(Z{l}-Z_{l-1}\right) \mid \mathcal{F}{k}\right] &=\sum{l=k+1}^{n} \mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[\mathbb{1}{{l \leq T}}\left(Z{l}-Z_{l-1}\right) \mid \mathcal{F}{l-1}\right] \mid \mathcal{F}{k}\right] \
&=\sum_{l=k+1}^{n} \mathbb{E}\left[\mathbb{1}{{l \leq T}} \mathbb{E}\left[\left(Z{l}-Z_{l-1}\right) \mid \mathcal{F}{l-1}\right] \mid \mathcal{F}{k}\right] \
&=0,
\end{aligned}
$$
because, as $\left(Z_{n}\right)$ is an $\left(\mathcal{F}{n}\right){n \in \mathbb{N}}$-martingale, we have $\mathbb{E}\left[\left(Z_{l}-Z_{l-1}\right) \mid \mathcal{F}{l-1}\right]=0$, for any $l \geq 1$. It follows from this that $$ \mathbb{E}\left[Z{T \wedge n} \mid \mathcal{F}{k}\right]=Z{0}+\sum_{l=1}^{k} \mathbb{1}{{l \leq T}}\left(Z{l}-Z_{l-1}\right)
$$
and consequently, for any $k \leq n$, we have
$$
\mathbb{E}\left[Z_{T \wedge n} \mid \mathcal{F}{k}\right]=Z{T \wedge k} .
$$

金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|MATH3090

金融数学代考

金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|The Doob decomposition

可以从任何过程开始获得鞅。
定理4.2(Doob 分解定理).-让X=(Xn)n∈ñ是一个适应过滤的随机过程(Fn)n∈ñ且可积。然后它可以被唯一地分解为形式

Xn=X0+米n+一个n
和米0=一个0=0,米=(米n)n∈ñ是鞅,并且一个=(一个n)n∈ñ是一个可预测的过程,称为补偿器X.

证明-存在我们写一个0=0,

一个n+1=一个n+和[Xn+1−Xn∣Fn]=∑ķ=1n和[Xķ+1−Xķ∣Fķ],米0=0和米n=Xn−一个n为了n≥1.
然后我们直接有(一个n)是可预测的并且(米n)被改编。由于Xn是可积的,一个n和米n也具有适应性。此外

和[米n+1∣Fn]=和[Xn+1−一个n+1∣Fn] =和[Xn+1∣Fn]−一个n+1 =和[Xn+1∣Fn]−一个n−和[Xn+1−Xn∣Fn] =和[Xn+1∣Fn]−一个n−和[Xn+1∣Fn]+Xn =Xn−一个n =米n
因此米=(米n)n∈ñ是鞅。单一性让我们假设有两种这样的分解:

Xn=X0+米n+一个n=X0+米n′−一个n′.
然后,一个0−一个0′=0并且由于过程是可预测的

一个n+1−一个n+1′=和[一个n+1−一个n+1′∣Fn] =和[米n+1−米n+1′∣Fn] =米n−米n′ =一个n−一个n′
因为我们有鞅。所以,一个n=一个n′对于任何n, 因此,米n=米n′对于任何n. 因此,我们确实具有唯一性。
推论 4.1.- 在 Doob 分解中X=(Xn)n∈ñ, −(一个n)增加当且仅当X=(Xn)n∈ñ是亚鞅;−(一个n)当且仅当X=(Xn)n∈ñ是超鞅;−(一个n)为空当且仅当X=(Xn)n∈ñ是鞅。证明。- 最后一点是前两个的结果。根据定义,我们有一个n+1=一个n+和[Xn+1−Xn∣Fn]和和[Xn+1−Xn∣Fn]对下鞅为正,对上鞅为负。

金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Stopping time

我们现在介绍停止时间的概念。非正式地,停止时间对应于随机日期,因此是一个预先未知的日期,但是在任何时刻都可以说该日期是否已经过去。

定义 4.2.- 让吨:Ω⟶ñ∪+∞是一个随机变量。据说吨
例 4.7.- 让吨是一个恒定的正随机变量。然后,吨是一个n, 我们有
$$
(T \leq n)=\left{

∅ 如果 吨>n Ω 如果 吨≤n\正确的。

一个s一个n是$σ$−一个lG和br一个C○n吨一个一世ns吨H和和米p吨是s和吨一个nd$Ω$,在和H一个在和$(吨≤n)∈Fn$.和X一个米磷大号和4.8.−大号和吨$(Xn)n∈ñ$b和一个s和q在和nC和○Fr和一个lr一个nd○米在一个r一世一个bl和s.大号和吨$一个$b和一个乙○r和ls和吨一世n$R$一个ndC○ns一世d和r吨H和r一个nd○米在一个r一世一个bl和T=\inf \left{k \in \mathbb{N} ; X{k} \in A\right},
$$

使用约定信息∅=+∞. 因此,吨是关于自然过滤的停止时间(Xn)n∈ñ,称为该组的击球时间一个. 的确,对于任何n∈ñ, 我们有

(吨≤n)=(X0∈一个)∪…∪(Xn−1∈一个)∪(Xn∈一个)∈Fn因为(Fn)n∈ñ是自然过滤(Xn)n∈ñ. 命题 4.3.-一个随机变量吨:Ω⟶ñ∪+∞是一个证明。-让我们假设吨是一个(Fn)n∈ñ−s吨○pp一世nG时间。那么,对于任何n∈ñ∗, 我们有:(吨≤n)∈Fn和(吨≤n−1)∈Fn−1⊂Fn, 因此,

(吨=n)=(吨≤n)∩(吨≤n−1)C∈Fn,因为一个σ-代数在有限交集和补集下是封闭的。现在假设对于任何ķ∈ñ,(吨=ķ)∈Fķ. 因此,对于任何固定n, 我们有

(吨≤n)=⋃ķ=0n(吨=ķ)∈⋃ķ=0nFķ=Fn,
因为过滤是一个递增的序列σ-代数。最后,吨确实是一个(Fn)n∈ñ- 停止时间
定义 4.3.- 考虑一个(Fn)n∈ñ−s吨○pp-sime, T. 集合

\mathcal{F}{T}=\left{A \in \mathcal{F} ; \forall n \in \mathbb{N}, A \cap(T \leq n) \in \mathcal{F}{n}\right}\mathcal{F}{T}=\left{A \in \mathcal{F} ; \forall n \in \mathbb{N}, A \cap(T \leq n) \in \mathcal{F}{n}\right}
被称为σ- 直到时间可观察到的事件的代数吨

金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Stopped martingales

现在让我们看看如何将鞅的概念和停止时间的概念结合起来。

命题 4.5.-让(从n)n∈ñ豆(Fn)n∈ñ-鞅并让吨豆

从n吨=从吨∧n=从n1吨>n+从吨1吨≤n;n∈ñ.然后,(从n吨)n∈ñ是一个(Fn)n∈ñ−鞅。证明-我们有

从吨∧n=从0+∑l=1吨∧n(从l−从l−1)=从0+∑l≥11l≤吨∧∧(从l−从l−1).
自从1l≤吨∧n=1l≤吨1l≤n和1l≤n=1当且仅当l=1,….,n, 如果是 0l>n, 它遵循

从吨∧n=从0+∑l=1n1l≤吨(从l−从l−1).
相反,对于ķ≤n, 我们有:

和[从吨∧n∣Fķ] =和[从0∣Fķ]+∑l=1n和[1l≤吨(从l−从l−1)∣Fķ] =和[从0∣Fķ]+∑l=1ķ和[1l≤吨(从l−从l−1)∣Fķ] =∑l=ķ+1n和[1l≤吨(从l−从l−1)∣Fķ]

对于前两项,因为随机变量从0和1l≤吨(从l−从l−1)是Fķ- 可测量的,适用于任何l≤ķ, 我们有

和[从0∣Fķ]=从0 和 ∑l=1ķ和[1l≤吨(从l−从l−1)∣Fķ]=∑l=1ķ1l≤吨(从l−从l−1)
对于第三项,可以写成,

∑l=ķ+1n和[1l≤吨(从l−从l−1)∣Fķ]=∑l=ķ+1n和[和[1l≤吨(从l−从l−1)∣Fl−1]∣Fķ] =∑l=ķ+1n和[1l≤吨和[(从l−从l−1)∣Fl−1]∣Fķ] =0,
因为,作为(从n)是一个(Fn)n∈ñ-马丁格尔,我们有和[(从l−从l−1)∣Fl−1]=0, 对于任何l≥1. 由此可知

和[从吨∧n∣Fķ]=从0+∑l=1ķ1l≤吨(从l−从l−1)
因此,对于任何ķ≤n, 我们有

和[从吨∧n∣Fķ]=从吨∧ķ.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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