### 金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|MATH3090

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## 金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Limits of functions

A vector function is a function $f$ of the form $f: A \rightarrow \mathbb{R}^{m}$, where $A \subset \mathbb{R}^{n}$. Since $f(\boldsymbol{x}) \in \mathbb{R}^{m}$ for each $\boldsymbol{x} \in A$, then there are $m$ functions $f_{j}: A \rightarrow \mathbb{R}$, calléd component functions ớ $f$, such that:
$$f(\boldsymbol{x})=\left(f_{1}(\boldsymbol{x}), \ldots, f_{m}(\boldsymbol{x})\right) \quad \text { for each } \quad \boldsymbol{x} \in A$$
When $m=1$, function $f$ has only one component and we call $f$ real-valued. If $f=\left(f_{1}, \ldots, f_{m}\right)$ is a vector function, where the components $f_{j}$ have intrinsic domains, then the maximal domain of $f$ is defined to be the intersection of the domains of all components $f_{j}$.

To set up a notation for the algebra of vector functions, let $E \subset \mathbb{R}^{n}$ and let $f, g: E \rightarrow \mathbb{R}^{m}$. For each $x \in E$, the following operations can be defined.
The scalar multiple of $\alpha \in \mathbb{R}$ by $f$ is given by:
$$(\alpha f)(\boldsymbol{x}):=\alpha f(\boldsymbol{x}) .$$
The sum of $f$ and $g$ is obtained as:
$$(f+g)(\boldsymbol{x}):=f(\boldsymbol{x})+g(\boldsymbol{x}) .$$
The (Euclidean) dot product of $f$ and $g$ is constructed as:
$$(f \cdot g)(\boldsymbol{x}):=f(\boldsymbol{x}) \cdot g(\boldsymbol{x}) .$$

## 金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Sequences and series of real or complex numbers

A sequence is a set of numbers $u_{1}, u_{2}, u_{3}, \ldots$, in a definite order of arrangement, that is, a map $u: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ or $u: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}$, formed according to a certain rule. Each number in the sequence is called term; $u_{n}$ is called the $n^{\text {th }}$ term. The sequence is called finite or infinite, according to the number of terms. The sequence $u_{1}, u_{2}, u_{3}, \ldots$, when considered as a function, is also designated as $\left(u_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ or briefly $\left(u{n}\right)$.

Definition 2.1. The real or complex number $\ell$ is called the limit of the infinite sequence $\left(u_{n}\right)$ if, for any positive number $\varepsilon$, there exists a positive number $n_{\varepsilon}$, depending on $\varepsilon$, such that $\left|u_{n}-\ell\right|<\varepsilon$ for all integers $n>n_{\varepsilon}$. In such a case, we denote:
$$\lim {n \rightarrow \infty} u{n}=\ell$$
Given a sequence $\left(u_{n}\right)$, we say that its associated infinite series $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ :
(i) converges, when it exists the limit:
$$\lim {n \rightarrow \infty} \sum{k=1}^{n} u_{k}:=S=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$$
(ii) diverges, when the limit of the partial sums $\sum_{k=1}^{n} u_{k}$ does not exist.

## 金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Limits of functions

$$f(\boldsymbol{x})=\left(f_{1}(\boldsymbol{x}), \ldots, f_{m}(\boldsymbol{x})\right) \quad \text { for each } \quad \boldsymbol{x} \in A$$

$$(\alpha f)(\boldsymbol{x}):=\alpha f(\boldsymbol{x})$$

$$(f+g)(\boldsymbol{x}):=f(\boldsymbol{x})+g(\boldsymbol{x}) .$$

$$(f \cdot g)(\boldsymbol{x}):=f(\boldsymbol{x}) \cdot g(\boldsymbol{x})$$

## 金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Sequences and series of real or complex numbers

$$\lim n \rightarrow \infty u n=\ell$$

(i) 收敛，当它存在极限时:
$$\lim n \rightarrow \infty \sum k=1^{n} u_{k}:=S=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$$
(ii) 发散，当部分和的限制 $\sum_{k=1}^{n} u_{k}$ 不存在。

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。