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金融数学是将数学方法应用于金融问题。(有时使用的同等名称是定量金融、金融工程、数学金融和计算金融）。它借鉴了概率、统计、随机过程和经济理论的工具。传统上，投资银行、商业银行、对冲基金、保险公司、公司财务部和监管机构将金融数学的方法应用于诸如衍生证券估值、投资组合结构、风险管理和情景模拟等问题。依赖商品的行业（如能源、制造业）也使用金融数学。 定量分析为金融市场和投资过程带来了效率和严谨性，在监管方面也变得越来越重要。
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金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|The Gambler’s ruin
To conclude this chapter and as an introduction to problems in financial mathematics, let us look at a problem of ruin. A gambler has an initial capital $x$.
They toss for heads or tails using a balanced coin and win 1 if they obtain tails and loses 1 if they obtain heads. The gambler has a fixed objective of a fortune $a \geq x$ and a baseline for losing, $b \leq x$. They play until their fortune reaches $a$ or $b$.
The gambler’s fortune is modeled using a random walk $\left(S_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$, with $S{0}=x$ and $S_{n}=S_{0}+\sum_{k=1}^{n} X_{k}$, where $X_{k}$ represents the winnings of the $k$-th toss.
It is known that arriving at $a$ or $b$, starting from $x$ is equivalent to arriving at $a-x$ or $b-x$ starting from 0 . The game then stops almost surely at the end of a finite time.
We use $p_{x}$ to denote the probability of ruin, starting from an initial capital of $x$, and $R_{x}$ to denote the event ruined after starting from $x$, that is,
$$
p_{x}=\mathbb{P}\left(T_{b}<T_{a}\right)=\mathbb{P}\left(R_{x}\right)
$$
It can be directly noted that $p_{a}=0$ and $p_{b}=1$ because in both these situations the game does not start; ruin is impossible in the first case and is certain in the second.
We will now obtain a recurrence over $p_{x}$. If $b<x<a$, then using the formula for total probabilities, we have
$$
\begin{aligned}
p_{x} &=\mathbb{P}\left(R_{x}\right) \
&=\mathbb{P}\left(R_{x}, \mid S_{1}=x+1\right) \mathbb{P}\left(S_{1}=x+1\right)+\mathbb{P}\left(R_{x} \mid S_{1}=x-1\right) \mathbb{P}\left(S_{1}=x-1\right) \
&=\mathbb{P}\left(R_{x+1}\right) \frac{1}{2}+\mathbb{P}\left(R_{x-1}\right) \frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
by using stationarity. We thus obtain that $\left(p_{x}\right){a{x}=\alpha+\beta x . \alpha$ and $\beta$ are identified with the extremal conditions $p_{a}=0$ and $p_{b}=1$
$$
\left{\begin{array} { l }
{ p _ { a } = 0 = \alpha + \beta a } \
{ p _ { b } = 1 = \alpha + \beta b }
\end{array} \Leftrightarrow \left{\begin{array}{l}
\alpha=\frac{a}{a-b} \
\beta=-\frac{1}{a-b}
\end{array}\right.\right.
$$
Thus, the probability of ruin, starting from $x$, is
$$
p_{x}=\frac{a-x}{a-b} .
$$
Using similar reasoning, it can be shown that the duration of the game $d_{x}$ starting from $x$ is the solution to the recurrent linear equation with the right-hand side ${ }^{2}$
$$
d_{x}=\frac{1}{2}\left(d_{x+1}+d_{x-1}\right)+1
$$
with $d_{a}=d_{b}=0$. Its unique solution is $d_{x}=-a b+x(a+b)-x^{2}$. In particular, if $x=0$ and $b$ tend towards $-\infty$, we obtain that $\mathbb{E}\left[T_{a}\right]=+\infty$. It is known that the walk starting from 0 will reach $a$ almost surely, in finite time. However, on average, this time is infinite.
金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Martingales
In all that follows, we will work on a filtered probability space $\left(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P},\left(\mathcal{F}{n}\right){n \in \mathbb{N}}\right)$.
DEFINITION 4.1.-A sequence of random variables $\left(X_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ is an $\left(\mathcal{F}{n}\right){n \in \mathbb{N}}$-martingale [respectively a submartingale, supermartingale] if 1) for any $n \in \mathbb{N}, X{n}$ is integrable;
2) the sequence $\left(X_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ is $\left(\mathcal{F}{n}\right){n \in \mathbb{N} \text {-adapted; }}$ 3) $\forall n \in \mathbb{N}, \mathbb{E}\left[X{n+1} \mid \mathcal{F}{n}\right]=X{n}$ [respectively $\mathbb{E}\left[X_{n+1} \mid \mathcal{F}{n}\right] \geq X{n}$. $\left.\mathbb{E}\left[X_{n+1} \mid \mathcal{F}{n}\right] \leq X{n}\right]$
ReMARK 4.1.- To justify that a sequence of random variables $\left(X_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ is an Indeed, if for an $n \in \mathbb{N}$, we have $\mathbb{E}\left[X{n+1} \mid \mathcal{F}{n}\right]=X{n}$, then $X_{n}$ is the $\mathcal{F}{n}$-measurable. Consequently, the equality in statement 3 implies statement 2 . However, in practice, it is often useful to first demonstrate that $X{n}$ is $\mathcal{F}{n}$-measurable in order to calculate the conditional expectation $\mathbb{E}\left[X{n+1} \mid \mathcal{F}_{n}\right]$.
EXAMPLE 4.1.- The simple symmetric random walk is a martingale with respect to its natural filtration. Indeed, it must be recalled that $\left(X_{n}\right){n \geq 1}$ is a sequence of random independent variables and with the same Rademacher distribution with the parameter $1 / 2$ $$ \mathbb{P}\left(X{1}=1\right)=\mathbb{P}\left(X_{1}=-1\right)=1 / 2 .
$$
Let $S_{0}=0$ and let $S_{n}=\sum_{k=1}^{n} X_{k}$ for $n \geq 1$ be the simple symmetric random walk starting from 0 . Let $\left(\mathcal{F}{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ be the natural filtration of $S=\left(S_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ and $n \geq 0$. Then, for any $n,-n \leq S{n} \leq n$, therefore $S_{n}$ is integrable. By construction, $\left(S_{n}\right)$ is adapted with respect to its natural filtration and
$$
\mathbb{E}\left[S_{n+1} \mid \mathcal{F}{n}\right]=\mathbb{E}\left[S{n}+X_{n+1} \mid \mathcal{F}{n}\right]=S{n}+\mathbb{E}\left[X_{n+1}\right]=S_{n},
$$
because $S_{n}$ is the $\mathcal{F}{n}$-measurable, $X{n+1}$ is independent of $\mathcal{F}{n}$ and $\mathbb{E}\left[X{n+1}\right]=0$. We thus have a martingale. A martingale corresponds to an equitable game.
EXAMPLE 4.2.- Let us now study the simple random asymmetric walk. We thus have $\left(X_{n}\right){n \geq 1}$, a sequence of independent random variables and with the same Rademacher distribution with parameter $p \neq 1 / 2$ $$ \mathbb{P}\left(X{1}=1\right)=1-\mathbb{P}\left(X_{1}=-1\right)=p .
$$
Let $S_{0}=0$ and $S_{n}=\sum_{k=1}^{n} X_{k}$ for $n \geq 1$. Let $\left(\mathcal{F}{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ be the natural filtration of $S=\left(S_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ and $n \geq 0$. Then, for any $n,-n \leq S{n} \leq n$; therefore $S_{n}$ is integrable. By construction, $\left(S_{n}\right)$ is adapted with respect to its natural filtration and
$$
\begin{aligned}
\mathbb{E}\left[S_{n+1} \mid \mathcal{F}{n}\right] &=\mathbb{E}\left[S{n}+X_{n+1} \mid \mathcal{F}{n}\right] \ &=S{n}+\mathbb{E}\left[X_{n+1}\right] \
&=S_{n}+p-(1-p) \
&=S_{n}+2 p-1
\end{aligned}
$$
Therefore, $S=\left(S_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ is a supermartingale if $p \leq 1 / 2$, or a submartingale, if $p>1 / 2$. A supermartingale corresponds to a losing game, while a submartingale corresponds to a winning game.
金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Martingale transform
THEOREM 4.1.-Let $\left(K_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ be a positive and $\left(\mathcal{F}{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ be a predictable process. Consider $\left(X{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ an $\left(\mathcal{F}{n}\right){n \in \mathbb{N}}$-martingale [respectively submartingale, supermartingale]. If the process $\left(K{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ is bounded, then the process $\left(K \cdot X{n}\right){n \in \mathbb{N}}$, defined by $K \cdot X{0}=X_{0}$ and for any $n \geq 1$,
$$
K \cdot X_{n}:=\sum_{k=1}^{n} K_{k}\left(X_{k}-X_{k-1}\right),
$$
is an $\left(\mathcal{F}{n}\right){n \in \mathbb{N}}$-martingale [respectively submartingale, supermartingale]. The process $\left(K, X_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ is called a martingale transform of $\left(X{n}\right)$. $K \cdot X_{n}:=\sum_{k=1}^{n} K_{k}\left(X_{k}-X_{k-1}\right)$, is clearly $\mathcal{F}{n}$-measurable. On the contrary, because $\left(K{n}\right)$ is bounded, there exists $M>0$ such that
$$
\mathbb{E}\left[\left|K \cdot X_{n}\right|\right] \leq M \sum_{k=1}^{n} \mathbb{E}\left[\left|X_{k}-X_{k-1}\right|\right]<\infty
$$
because $\left(X_{n}\right)$ is an integrable.
Finally, for any $n \geq 1$, upon simplification we obtain:
$$
\begin{aligned}
\mathbb{E}\left[K \cdot X_{n}-K \cdot X_{n-1} \mid \mathcal{F}{n-1}\right] &=\mathbb{E}\left[K{n}\left(X_{n}-X_{n-1}\right) \mid \mathcal{F}{n-1}\right] \ &=K{n} \mathbb{E}\left[X_{n}-X_{n-1} \mid \mathcal{F}{n-1}\right] \end{aligned} $$ where the final equality is due to the fact that $\left(K{n}\right)$ is $\left(\mathcal{F}{n}\right){n \in \mathbb{N}}$-predictable. Now, when $\left(X_{n}\right)$ is an $\left(\mathcal{F}{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ martingale [respectively submartingale, supermartingale], we have
$$
\mathbb{E}\left[X_{n}-X_{n-1} \mid \mathcal{F}{n-1}\right]=0[\text { resp. } \geq 0, \leq 0] . $$ The result of the theorem follows from this. EXAMPLE 4.5.- The typical example of a martingale transform is the fortune of a gambler with a predictable betting strategy. Let $\left(X{n}\right)$ be a sequence of independent and identically distributed (i.i.d.) random variables representing the net winnings (positive or negative) of a given game. It is assumed that the game is equitable $\mathbb{E}\left[X_{1}\right]=0$, such that the gambler’s fortune $M_{n}=M_{0}+\sum_{k=1}^{n} X_{k}$ is a martingale. Let $\left(K_{n}\right)$ be its (predictable) betting strategy. For instance, the gambler begins with an initial stake of 1 . Each time they win, they continue with the same stake, each time they lose, they double the stakes for the next attempt.
$$
K_{n+1}=K_{n} \mathbb{1}{X{n}>0}+2 K_{n} \mathbb{1}{X{n}<0} .
$$
Therefore, the fortune of the gambler following this strategy
$$
M_{0}+\sum_{k=1}^{n} K_{n} X_{n}=M_{0}+\sum_{k=1}^{n} K_{n}\left(M_{n}-M_{n-1}\right)
$$
is the transform of the martingale $M$ using the betting process $K$.
The fact that a martingale transform remains a martingale means that if we start with an equitable game, then regardless of the (predictable) betting strategy adopted, it is not possible to increase (or to decrease) the expectation of a win and the game remains equitable.
金融数学代考
金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|The Gambler’s ruin
结束本章并作为对金融数学问题的介绍，让我们来看一个破产问题。赌徒有初始资本X.
他们使用平衡的硬币掷正面或反面，如果他们获得反面则赢 1，如果他们获得正面则输 1。赌徒有一个固定的财富目标一个≥X和失败的基线，b≤X. 他们一直玩到他们的财富到达一个或者b.
赌徒的财富是使用随机游走建模的(小号n)n∈ñ， 和小号0=X和小号n=小号0+∑ķ=1nXķ， 在哪里Xķ代表中奖ķ-th 折腾。
据了解，到达一个或者b， 从…开始X相当于到达一个−X或者b−X从 0 开始。然后游戏几乎肯定会在有限时间结束时停止。
我们用pX表示破产的概率，从初始资本开始X， 和RX表示从开始后毁掉的事件X， 那是，
pX=磷(吨b<吨一个)=磷(RX)
可以直接注意到p一个=0和pb=1因为在这两种情况下游戏都没有开始；毁灭在第一种情况下是不可能的，而在第二种情况下是确定的。
我们现在将获得一个重复pX. 如果b<X<一个，然后使用总概率的公式，我们有
pX=磷(RX) =磷(RX,∣小号1=X+1)磷(小号1=X+1)+磷(RX∣小号1=X−1)磷(小号1=X−1) =磷(RX+1)12+磷(RX−1)12
通过使用平稳性。因此我们得到 $\left(p_{x}\right){a{x}=\alpha+\beta x 。\α一个nd\beta一个r和一世d和n吨一世F一世和d在一世吨H吨H和和X吨r和米一个lC○nd一世吨一世○nsp_{a}=0一个ndp_{b}=1$
\左{
p一个=0=一个+b一个 pb=1=一个+bb\左右箭头 \左{
一个=一个一个−b b=−1一个−b\是的是的。
$$
因此，破产的概率，从X， 是
pX=一个−X一个−b.
使用类似的推理，可以证明游戏的持续时间dX从…开始X是具有右手边的递归线性方程的解2
dX=12(dX+1+dX−1)+1
和d一个=db=0. 其独特的解决方案是dX=−一个b+X(一个+b)−X2. 特别是，如果X=0和b倾向于−∞，我们得到和[吨一个]=+∞. 已知从 0 开始的 walk 会到达一个几乎可以肯定，在有限的时间内。但是，平均而言，这个时间是无限的。
金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Martingales
在接下来的所有内容中，我们将处理过滤的概率空间(Ω,F,磷,(Fn)n∈ñ).
定义 4.1.-随机变量序列(Xn)n∈ñ是一个(Fn)n∈ñ-martingale [分别是 submartingale, supermartingale] 如果 1) 对任何n∈ñ,Xn是可积的；
2) 序列(Xn)n∈ñ是(Fn)n∈ñ-适应; 3) ∀n∈ñ,和[Xn+1∣Fn]=Xn[分别和[Xn+1∣Fn]≥Xn. 和[Xn+1∣Fn]≤Xn]
备注 4.1.- 证明一系列随机变量的合理性(Xn)n∈ñ是一个确实，如果对于一个n∈ñ， 我们有和[Xn+1∣Fn]=Xn， 然后Xn是个Fn- 可测量的。因此，陈述 3 中的相等意味着陈述 2。然而，在实践中，首先证明Xn是Fn- 可测量以计算条件期望和[Xn+1∣Fn].
例 4.1.- 简单的对称随机游走就其自然过滤而言是鞅。确实，必须记住的是(Xn)n≥1是随机自变量序列，具有与参数相同的 Rademacher 分布1/2
磷(X1=1)=磷(X1=−1)=1/2.
让小号0=0然后让小号n=∑ķ=1nXķ为了n≥1是从 0 开始的简单对称随机游走。让(Fn)n∈ñ成为自然过滤小号=(小号n)n∈ñ和n≥0. 那么，对于任何n,−n≤小号n≤n， 所以小号n是可积的。通过施工，(小号n)适应于其自然过滤和
和[小号n+1∣Fn]=和[小号n+Xn+1∣Fn]=小号n+和[Xn+1]=小号n,
因为小号n是个Fn- 可测量的，Xn+1独立于Fn和和[Xn+1]=0. 因此，我们有一个鞅。鞅对应于公平游戏。
例 4.2.- 现在让我们研究简单的随机不对称游走。因此我们有(Xn)n≥1, 一系列独立随机变量，具有相同的 Rademacher 分布和参数p≠1/2
磷(X1=1)=1−磷(X1=−1)=p.
让小号0=0和小号n=∑ķ=1nXķ为了n≥1. 让(Fn)n∈ñ成为自然过滤小号=(小号n)n∈ñ和n≥0. 那么，对于任何n,−n≤小号n≤n; 所以小号n是可积的。通过施工，(小号n)适应于其自然过滤和
和[小号n+1∣Fn]=和[小号n+Xn+1∣Fn] =小号n+和[Xn+1] =小号n+p−(1−p) =小号n+2p−1
所以，小号=(小号n)n∈ñ如果是超鞅p≤1/2，或亚鞅，如果p>1/2. 上鞅对应于失败的游戏，而下鞅对应于获胜的游戏。
金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Martingale transform
定理 4.1.-让(ķn)n∈ñ做一个积极的和(Fn)n∈ñ是一个可预测的过程。考虑(Xn)n∈ñ一个(Fn)n∈ñ-martingale [分别是submartingale，supermartingale]。如果过程(ķn)n∈ñ是有界的，那么过程(ķ⋅Xn)n∈ñ， 被定义为ķ⋅X0=X0并且对于任何n≥1,
ķ⋅Xn:=∑ķ=1nķķ(Xķ−Xķ−1),
是一个(Fn)n∈ñ-martingale [分别是submartingale，supermartingale]。过程(ķ,Xn)n∈ñ称为鞅变换(Xn). ķ⋅Xn:=∑ķ=1nķķ(Xķ−Xķ−1), 很明显Fn- 可测量的。相反，因为(ķn)有界，存在米>0这样
和[|ķ⋅Xn|]≤米∑ķ=1n和[|Xķ−Xķ−1|]<∞
因为(Xn)是一个可积的。
最后，对于任何n≥1，简化后我们得到：
和[ķ⋅Xn−ķ⋅Xn−1∣Fn−1]=和[ķn(Xn−Xn−1)∣Fn−1] =ķn和[Xn−Xn−1∣Fn−1]最终的相等是由于以下事实(ķn)是(Fn)n∈ñ-可预见。现在，当(Xn)是一个(Fn)n∈ñmartingale [分别为submartingale，supermartingale]，我们有
和[Xn−Xn−1∣Fn−1]=0[ 分别 ≥0,≤0].定理的结果由此而来。示例 4.5.- 鞅变换的典型示例是具有可预测投注策略的赌徒的财富。让(Xn)是一系列独立且同分布 (iid) 的随机变量，表示给定游戏的净赢利（正或负）。假设游戏是公平的和[X1]=0, 这样赌徒的财富米n=米0+∑ķ=1nXķ是鞅。让(ķn)成为其（可预测的）投注策略。例如，赌徒以 1 的初始赌注开始。每次他们获胜时，他们都会继续使用相同的赌注，每次失败时，他们都会将赌注加倍以进行下一次尝试。
$$
K_{n+1}=K_{n} \mathbb{1} {X {n}>0}+2 K_{n} \mathbb{1}{X{n}<0} 。
吨H和r和F○r和,吨H和F○r吨在n和○F吨H和G一个米bl和rF○ll○在一世nG吨H一世ss吨r一个吨和G是
M_{0}+\sum_{k=1}^{n} K_{n} X_{n}=M_{0}+\sum_{k=1}^{n} K_{n}\left(M_{ n}-M_{n-1}\right)
$$
是鞅的变换米使用投注流程ķ.
鞅变换仍然是鞅的事实意味着，如果我们从一个公平的游戏开始，那么无论采用何种（可预测的）投注策略，都不可能增加（或减少）获胜的预期并且游戏仍然存在公平。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。