金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|STAT2032

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金融数学是将数学方法应用于金融问题。(有时使用的同等名称是定量金融、金融工程、数学金融和计算金融)。它借鉴了概率、统计、随机过程和经济理论的工具。传统上,投资银行、商业银行、对冲基金、保险公司、公司财务部和监管机构将金融数学的方法应用于诸如衍生证券估值、投资组合结构、风险管理和情景模拟等问题。依赖商品的行业(如能源、制造业)也使用金融数学。 定量分析为金融市场和投资过程带来了效率和严谨性,在监管方面也变得越来越重要。

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  • Advanced Probability Theory 高等概率论
  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|STAT2032

金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Financial assets

Let us consider a financial market comprising of a risk-free asset $\left(S_{n}^{0}\right){0 \leq n \leq N}$ and $d \geq 1$ risky assets $\left(S{n}^{0}\right){0 \leq n \leq N}$ for $1 \leq i \leq d$. The price of the risky assets is represented by stochastic processes. The risk-free asset dynamic is $$ \begin{aligned} &S{0}^{0}=1 \
&S_{n}^{0}=(1+r)^{n}, n \geq 1
\end{aligned}
$$
where $r$ is the interest rate on the market. The risky assets have a random dynamic that is unspecified for the moment. As we need to compare the prices of the assets on different dates, we may sometimes wish to ignore the effect of the depreciation of currency, which is considered to be linked to the risk-free rate of interest.

DEFINITION 5.1.-The discounted prices of assets are the prices divided by the current value of the risk-free asset
$$
\widetilde{S}{n}^{i}=\frac{S{n}^{i}}{S_{n}^{0}}=\frac{S_{n}^{i}}{(1+r)^{n}}, \quad n \geq 0
$$
In mathematical terms, discounting prices is equivalent to considering that the risk-free interest rate is zero.

金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Investment strategies

Let us now consider an investor who wishes to invest money in the market. In order to define their investment strategy, they must know, at each instant, the number of shares invested in each asset.

DEFINITION 5.2.-An investment strategy is a process $\Phi=\left(\Phi_{n}\right){1 \leq n \leq N}$ that corresponds to the quantities $\Phi{n}=\left(\phi_{n}^{0}, \phi_{n}^{1}, \ldots, \phi_{n}^{d}\right) \in \mathbb{R}^{d+1}$ of each asset held by an investor between the instant $n-1$ and the instant $n$. It is a predictable process: for any $1 \leq n \leq N$, and $0 \leq i \leq d, \phi_{n}^{i}$ is the $\mathcal{F}_{n-1}$ measurable.

An investment strategy must be predictable, since decisions on how to distribute the portfolio between the instants $n-1$ and $n$ can be based only on the information available up to the instant $n-1$. In other words, there is no insider trading and the investor has no information on the future of the market.

Given the current prices of assets and an investment strategy, it is possible to calculate the value of the investor’s portfolio at every instant.

DEFINITION 5.3.- The value, at an instant $n$, of a portfolio that applies the investment strategy $\Phi$ is
$$
V_{n}(\Phi)=\sum_{i=1}^{d} \phi_{n}^{i} S_{n}^{i}=<\Phi_{n}, S_{n}>
$$
where $$ is the scalar product of $x$ and $y$, and $S_{n}=\left(S_{n}^{0}, S_{n}^{1}, \ldots, S_{n}^{d}\right)$.
The above notation may be ambiguous. Indeed, using our notations, $V_{n}(\Phi)$ represents the wealth at time $n$, just after the asset prices have been updated and before the portfolio is redistributed for the next period. We may also wish to consider the wealth at the instant $n$ after the redistribution of the portfolio. In fact, in most cases that we will consider, these two quantities are equal.

DEFINITION 5.4.-An investment strategy $\Phi$ is said to be self-financed if for any $1 \leq$ $n \leq N-1$, we have
$$
\sum_{i=1}^{d} \phi_{n}^{i} S_{n}^{i}=\sum_{i=1}^{d} \phi_{n+1}^{i} S_{n}^{i},
$$
or $\left\langle\Phi_{n}, S_{n}\right\rangle=\left\langle\Phi_{n+1}, S_{n}\right\rangle$, using condensed notation.
A self-financed strategy is, therefore, a strategy where at each step, the entire wealth is reinvested without withdrawal or an exogenous infusion of money.

We will now describe self-financing strategies through a specific decomposition of the realized wealth.

PROPOSITION 5.1.-An investment strategy $\Phi$ is self-financed if and only if, for any $1 \leq n \leq N-1$, we have
$$
\widetilde{V}{n}(\Phi)=\widetilde{V}{0}(\Phi)+\sum_{k=1}^{n}<\Phi_{k},\left(\widetilde{S}{k}-\widetilde{S}{k-1}\right)>.
$$
PROOF.- We proceed using double implication.
Let us first assume that $\Phi$ is self-financed. We then have, by definition, $\left\langle\Phi_{n}, S_{n}>\right.$ $=\left\langle\Phi_{n+1}, S_{n}\right\rangle$. Upon dividing by $S_{n}^{0}$, we obtain $\left\langle\Phi_{n}, S_{n}\right\rangle=\left\langle\Phi_{n+1}, \widetilde{S}{n}\right\rangle$. Therefore, using the self-financing relation, we obtain $$ \begin{aligned} \tilde{V}{n}(\Phi) &=\left\langle\Phi_{n}, \tilde{S}{n}>\right.\ &=\left\langle\Phi{0}, \widetilde{S}{0}>+\sum{k=1}^{n}<\Phi_{k}, \widetilde{S}{k}>-<\Phi{k-1}, \tilde{S}_{k-1}>\right.
\end{aligned}
$$

金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Arbitrage

We will now establish a link between viable financial markets and martingales. The term viable is used here to signify the impossibility of a definite increase in wealth with an initial investment of zero. Let us formalize this.

DEFINITION 5.6.-An investment strategy is said to be an arbitrage strategy or arbitrage opportunity if it is an admissible strategy, with an initial value of zero and a final, non-zero value:
$-V_{0}(\Phi)=0$ $-V_{n}(\Phi) \geq 0$ for any $0 \leq n \leq N$ $-$ there exist $n$ and $\omega \in \Omega$ such that $V_{n}(\omega)>0$
Let us note that the last condition would simply translate to $\mathbb{P}\left(V_{n}>0\right)>0$ if the universe $\Omega$ was not finite.

DEFINITION 5.7.-A financial market is said to be viable if there are no arbitrage opportunities.

We will now see that the absence of an arbitrage opportunity translates into the fact that discounted risky assets are martingales, except for a suitably changed probability.
DEFINITION 5.8. – A probability $\mathbb{P}^{*}$ on $(\Omega, \mathcal{F})$ is a risk-neutral probability if, under this probability, all discounted risky assets are martingales.

THEOREM 5.1.- A financial market is viable if and only if there exists a risk-neutral probability $\mathbb{P}^{*}$ equivalent ${ }^{l}$ to $\mathbb{P}$.

PROOF. – It is assumed that $\mathbb{P}^{}$ exists and that there exists an admissible strategy $\Phi$ such that $V_{0}(\Phi)=0$. Under $\mathbb{P}^{},\left(\widetilde{S}{\mathrm{r}}\right)$ is a martingale and since $\Phi$ is self-financed, we have $$ \tilde{V}{n}(\Phi)=\tilde{V}{0}(\Phi)+\sum{k=1}^{n}<\Phi_{k},\left(\widetilde{S}{k}-\widetilde{S}{k-1}\right)>
$$
It can thus be seen that $\left(V_{n}(\Phi)\right)$ is a martingale transform, since $\Phi$ is predictable; therefore, it is a martingale under $\mathbb{P}^{*}$. In particular, we have
$$
\mathbb{E}\left[\tilde{V}{n}(\Phi)\right]=\mathbb{E}\left[\tilde{V}{0}(\Phi)\right]=0
$$
for any $n$. In addition, since $\widetilde{V}{n}(\Phi) \geq 0$ for any $n$, because $\Phi$ is admissible, we necessarily have that $\widetilde{V}{n}(\Phi(\omega)=0$ for all $\omega \in \Omega$. Thus, no arbitrage opportunity exists.

金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|STAT2032

金融数学代考

金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Financial assets

让我们考虑一个由无风险资产组成的金融市场(小号n0)0≤n≤ñ和d≥1风险资产(小号n0)0≤n≤ñ为了1≤一世≤d. 风险资产的价格由随机过程表示。无风险资产动态是

小号00=1 小号n0=(1+r)n,n≥1
在哪里r是市场上的利率。风险资产具有随机动态,目前未指定。由于我们需要比较不同日期的资产价格,我们有时可能希望忽略货币贬值的影响,这被认为与无风险利率有关。

定义 5.1.-资产的折现价格是价格除以无风险资产的现值

小号~n一世=小号n一世小号n0=小号n一世(1+r)n,n≥0
在数学上,贴现价格等同于考虑无风险利率为零。

金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Investment strategies

现在让我们考虑一位希望在市场上投资的投资者。为了定义他们的投资策略,他们必须在每一刻都知道投资于每种资产的股票数量。

定义 5.2.-投资策略是一个过程披=(披n)1≤n≤ñ对应于数量披n=(φn0,φn1,…,φnd)∈Rd+1投资者持有的每项资产在瞬间之间n−1和瞬间n. 这是一个可预测的过程:对于任何1≤n≤ñ, 和0≤一世≤d,φn一世是个Fn−1可衡量的。

投资策略必须是可预测的,因为决定如何在瞬间分配投资组合n−1和n只能基于当前可用的信息n−1. 换句话说,没有内幕交易,投资者也没有关于市场未来的信息。

给定当前的资产价格和投资策略,可以计算出投资者每时每刻的投资组合价值。

定义 5.3.- 瞬间的价值n, 应用投资策略的投资组合披是

在n(披)=∑一世=1dφn一世小号n一世=<披n,小号n>
其中 $$ 是的标量积X和是, 和小号n=(小号n0,小号n1,…,小号nd).
上面的符号可能是模棱两可的。事实上,使用我们的符号,在n(披)代表当时的财富n,就在资产价格更新之后和投资组合重新分配到下一个时期之前。我们也不妨考虑一下当下的财富n投资组合重新分配后。事实上,在我们将考虑的大多数情况下,这两个量是相等的。

定义 5.4.-投资策略披据说是自筹资金,如果有的话1≤ n≤ñ−1, 我们有

∑一世=1dφn一世小号n一世=∑一世=1dφn+1一世小号n一世,
或者⟨披n,小号n⟩=⟨披n+1,小号n⟩,使用压缩符号。
因此,自筹资金策略是这样一种策略,在该策略中,每一步都将全部财富进行再投资,而无需撤出或外来资金注入。

我们现在将通过对已实现财富的具体分解来描述自筹资金策略。

命题 5.1.-一种投资策略披当且仅当,对于任何1≤n≤ñ−1, 我们有

在~n(披)=在~0(披)+∑ķ=1n<披ķ,(小号~ķ−小号~ķ−1)>.
证明-我们继续使用双重暗示。
我们首先假设披是自筹资金。然后,根据定义,我们有,⟨披n,小号n> =⟨披n+1,小号n⟩. 除以小号n0, 我们获得⟨披n,小号n⟩=⟨披n+1,小号~n⟩. 因此,利用自筹资金关系,我们得到

在~n(披)=⟨披n,小号~n> =⟨披0,小号~0>+∑ķ=1n<披ķ,小号~ķ>−<披ķ−1,小号~ķ−1>

金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Arbitrage

我们现在将在可行的金融市场和鞅之间建立联系。这里使用的术语“可行”表示在初始投资为零的情况下不可能明确增加财富。让我们将其形式化。

定义 5.6.-如果投资策略是可接受的策略,其初始值为 0,最终值为非零值,则该投资策略被称为套利策略或套利机会:
−在0(披)=0 −在n(披)≥0对于任何0≤n≤ñ −存在n和ω∈Ω这样在n(ω)>0
让我们注意,最后一个条件将简单地转换为磷(在n>0)>0如果宇宙Ω不是有限的。

定义 5.7.-如果没有套利机会,金融市场被认为是可行的。

我们现在将看到,没有套利机会会转化为这样一个事实,即贴现的风险资产是鞅,除了适当改变的概率。
定义 5.8。– 一个概率磷∗上(Ω,F)是风险中性概率,如果在此概率下,所有贴现的风险资产都是鞅。

定理 5.1.- 当且仅当存在风险中性概率时,金融市场才是可行的磷∗相等的l至磷.

证明。– 假设磷存在并且存在可接受的策略披这样在0(披)=0. 在下面磷,(小号~r)是鞅,因为披是自筹资金,我们有

在~n(披)=在~0(披)+∑ķ=1n<披ķ,(小号~ķ−小号~ķ−1)>
由此可以看出(在n(披))是鞅变换,因为披是可预测的;因此,它是一个鞅磷∗. 特别是,我们有

和[在~n(披)]=和[在~0(披)]=0
对于任何n. 此外,由于在~n(披)≥0对于任何n, 因为披是可以接受的,我们必然有在~n(披(ω)=0对所有人ω∈Ω. 因此,不存在套利机会。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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