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金融数学是将数学方法应用于金融问题。(有时使用的同等名称是定量金融、金融工程、数学金融和计算金融）。它借鉴了概率、统计、随机过程和经济理论的工具。传统上，投资银行、商业银行、对冲基金、保险公司、公司财务部和监管机构将金融数学的方法应用于诸如衍生证券估值、投资组合结构、风险管理和情景模拟等问题。依赖商品的行业（如能源、制造业）也使用金融数学。 定量分析为金融市场和投资过程带来了效率和严谨性，在监管方面也变得越来越重要。
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- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
- Foundations of Data Science 数据科学基础
金融代写|金融数学作业代写Financial Mathematics代考|Assumptions
The main assumptions and specifications of the framework of Jarrow and Yu (2001) are as follows:
- Default is modeled using Cox-processes from which it follows that the default is triggered if the default process $H_{t}^{j}$ jumps. The stochastic intensity of the Coxprocesses is considered as being dependent on the $d$-dimensional state variable $Y_{t}$.
- Jarrow and Yu (2001) assume equivalent recovery after the default. $\ddagger$ This recovery rate expressed as $\delta^{j} \in[0 ; 1]$ depends on the obligor and is constant over time.
- Process of the short rate is not specified but every arbitrage free (riskless) term structure model can be drawn on.
Under the assumption that no default of the obligor has been occurred so far, the price of a default-free zero bond with maturity $T$ can be expressed at time $t$ as follows:
$$
D^{j}(t, T)=\delta^{j} B(t, T)+\left(1-\delta^{j}\right) E_{Q^{}}\left(\mathrm{e}^{-\int_{t}^{T}\left(r_{s}+\lambda_{s}^{j}\right) d s}\right), \quad T \geq t $$ Equation $2.5$ can only be used for debtors if their default probability is solely influenced by the macroeconomic state variables $Y_{t^{}}$ In cases in which the likelihood of the default of a debtor depends on his counterparties or another third party, Equation $2.5$ is not valid. To model firm-specific dependencies, two distinct methodologies are being discussed in the literature: unilateral or bilateral. In the latter case, $A$ influences the default probability of $B$, which itself influences the default probability of $A$ (i.e., looping default). One explanation for this would be if an interlocking participation exists between two counterparties. This kind of dependency in terms of modeling is rather difficult to handle but for the primary objective namely the modeling of a default of financial institutions not necessary. ${ }^{*}$ Given this, Jarrow and Yu (2001) focus in their analysis on a one-sided dependency, which they label primary-secondary framework.
For the above-described purpose, the set of firms $\mathbb{J}$ is being separated into two different subsets $S_{1}$ and $S_{2}$ :
- $\mathcal{S}{1} \subset \mathbb{J}$ contains all primary firms. The default probabilities of those companies depend solely on state variables $Y{t}$.
- $\mathcal{S}{2} \subset \mathbb{J}$ contains all secondary firms. The default probabilities of these companies are affected by $Y{t}$ as well as the default process of the above-described primary firms.
For the intensity of secondary firms, the following structure is assumed:
$$
\lambda_{t}^{j}=a_{0, t}^{j}+\sum_{k=1}^{m^{j}} a_{k, t}^{j} \mathbf{1}{\left[\tau{k} \leq t\right\rangle}, \quad \forall j \in \mathcal{S}{2} $$ where $i$ represents the index of primary firms $j$ stands for the index of secondary firms $m^{j}$ is the number of primary firms that influence the default probability of $j$ Thereby, it is assumed that the secondary firm $j$ influences the primary firms $i{1}, i_{2}, \ldots$, $i_{m}$, and therefore, for example, the secondary firm holds equity of debt stakes of the primary firm. The impact of the defaults of primary firms depends on the sign of $a_{k, t}^{j}$. In cases in which $a_{k, t}^{j}>0$, the default of the primary firm will increase the default probability of the secondary firms. On the other side in cases in which $a_{k, t}^{j}<0$, the probability of default is going to decrease given the dependency between both groups.
金融代写|金融数学作业代写Financial Mathematics代考|Valuation of Credit Default Swaps
Following Jarrow and Yu (2001), we consider for our analysis a CDS inheriting the following properties:
- Zero bond of the reference party $R$ with maturity $T^{\prime}$ and face value 1 is considered as reference bond of the swap. From $R \in S_{1}$ follows that the reference party is a primary firm.
- Maturity date of the swap is expressed as $T$, with $T<T^{\prime}$.
- Risk seller A pays a periodical fixed swap-rate $\dot{\kappa}^{\prime \prime}$ until the maturity of the swap. This payment has to be paid even if a default of the reference party or the risk buyer $B$ has occurred.
- If the reference party defaults till $T, B$ sets off the loss $A$. This payment is due at the maturity of the swap. Furthermore, zero recovery is assumed for $R$ as recovery rate. From this it follows that $R$ faces a loss of $100 \%$ of his claims in the event of default.
- If during the duration, the risk buyer defaults before or at the same time as $R, B$ does not pay in the event of the default of $R$, which is equivalent to a zero recovery rate of $B$. From $\mathrm{B} \in S_{2}$ follows that the risk buyer is a secondary firm.
- If the risk seller defaults during the duration, the payment of the swap rates is going to be suspended (i.e., zero recovery rate). For simplicity it is assumed that at the default of $A$, the swap is not going to be terminated. From this it follows that in cases in which $R$ defaults during the duration of the swap at a later stage, $B$ has to pay the agreed compensation.
Each participating party $(A, B$, and $R$ ) is assumed to be inheriting a likelihood of default. The expected value of the premium payments can be calculated as follows:
$$
E_{Q^{}}\left(\int_{0}^{T} \dot{\kappa}^{\prime \prime} \mathbf{1}{[\tau \mathcal{\tau}>s}} \mathrm{e}^{-\int{0}^{\mu} r_{u} \mathrm{~d} u} \mathrm{~d} s\right)=\dot{\kappa}^{\prime \prime} \int_{0}^{T} D^{\mathrm{A}}(0, s) \mathrm{d} s
$$
From the risk seller’s perspective (i.e., $A$ ), the price of the swap is equivalent to the expected rate of return of the discounted payment stream received by $A$ at $t=0$ :
$$
\ddot{\boldsymbol{w}}{0}^{\prime \prime}=E{Q^{}}\left(\mathbf{1}{\left[\tau^{\tilde{n}} \leq T\right}} \mathbf{1}{\left{\tau^{\mathrm{B}}>T\right}} \mathrm{e}^{-\int_{0}^{\mathrm{T}} r_{u} \mathrm{~d} u}\right)
$$
This leads to the following solution for the expected rate of return:*
$$
\ddot{\varpi}{0}^{\prime \prime}=D^{\mathrm{B}}(0, T)-\mathrm{e}^{-\int{0}^{T}\left(r_{s}+\lambda_{s}^{\mathrm{B}}+\lambda_{s}^{\mathrm{B}}\right) \mathrm{ds}}
$$
金融代写|金融数学作业代写Financial Mathematics代考|Assumptions and Valuation
The rating-based model, which is described further in this section, is based on Huge and Lando (1999) as well as Lando (1998a,b). For the joint development of the rating of two obligors, a two-dimensional stochastic process described by $A_{t}=\left(A_{t}^{\mathrm{B}}, A_{t}^{R}\right)$ is assumed. The state space with a continuous-time process is given by
$$
\mathbb{K}^{K}={1, \ldots, K} \times{1, \ldots, K}
$$
Denote $K$ as default state. The intensity of the joint rating-transition from pair $\left(i^{\mathscr{B}}, i^{\mathbb{R}}\right) \in$ $\mathbb{K}$ to pair $\left(j^{\mathbb{B}}, j^{\mathscr{R}}\right) \in \mathbb{K}$ is denoted by $\lambda\left[\left(i^{\mathcal{B}}, i^{\mathbb{R}}\right),\left(j^{\mathbb{B}}, j^{\mathscr{R}}\right)\right]$. These intensities are combined in the $K^{2} \times K^{2}$-intensity matrix $\Lambda$. Furthermore, the subset of the state space is denoted as $\mathbb{D}=\mathbb{K}^{K} / \mathbb{K}^{K-1}$, in which at least one of the two firms is subject to default.
The price of a financial security is denoted by $S\left(t, r_{b}, A_{t}\right)$. This financial security consists of a stream of payments, which are due to at fixed dates $T_{n}$ or at those points of times where transitions in the Markov-chain take place. The maturity of the security is $T_{N}=T$. It is imperative that $A_{t} \in \mathbb{D}: S\left(t, r_{t}, A_{t}\right)=0$ because in the case of default, a final payment ensues and the contract will be ceased prematurely.
Assume a point of time just before maturity with $t \in\left[T_{N-1} ; T\right)$ but after the last fixed payment. The $K^{2}$-dimensional vector $S\left(t, r_{t}\right)$ consists of all $S\left(t, r_{t}, i\right), i \in \mathbb{K}^{K}$ and can be given by the solution of the subsequent stochastic differential equation:
$$
\frac{\partial \mathbf{S}\left(t, r_{t}\right)}{\partial t}+\mu_{r} \frac{\partial \mathbf{S}\left(t, r_{t}\right)}{\partial r}+\frac{1}{2} \sigma_{r} \frac{\partial^{2} \mathbf{S}\left(t, r_{t}\right)}{\partial r^{2}}+\boldsymbol{\Lambda} \mathbf{S}\left(t, r_{t}\right)+\operatorname{diag}\left(\boldsymbol{\Lambda} \Xi_{t}^{\mathrm{T}}\right)-r_{t} \mathbf{S}\left(t, r_{t}\right)=0
$$
where
diag(•) represents the vector of the diagonal elements
$\Lambda$ is an intensity matrix
$\Xi$ stands for a $K^{2} \times K^{2}$ matrix
The side condition of the stochastic differential equation (Equation 2.8) is $S\left(T, r_{t}, i\right)=$ $d\left(T, r_{T}, i\right), i \in \mathbb{K}^{K}$. The elements of the matrix $\Xi$ correspond to the payments $\hat{\boldsymbol{\omega}}\left(t, r_{t}, \mathrm{~A}{t-}, \mathrm{A}{t}\right)$ which are going to be paid at the time of rating-transitions from $\mathrm{A}{t-}$ to $\mathrm{A}{t}$. The valuation at time $t<T_{N-1}$ is based on Equation $2.8$ and was done by Lando (2000) in a recursive way. Equation $2.8$ is the basis for a numerical valuation of defaultable CDSs.
金融数学代写
金融代写|金融数学作业代写Financial Mathematics代考|Assumptions
Jarrow and Yu (2001) 框架的主要假设和规范如下：
- 默认使用 Cox-processes 建模，从中可以得出，如果默认过程触发默认H吨j跳跃。Coxprocesses 的随机强度被认为取决于d维状态变量是吨.
- Jarrow 和 Yu (2001) 假设违约后的等效恢复。‡该回收率表示为dj∈[0;1]取决于债务人，并且随着时间的推移是恒定的。
- 短期利率的过程没有具体说明，但可以借鉴每个无套利（无风险）期限结构模型。
在债务人至今未发生违约的假设下，到期无违约零债券的价格吨可以表达时间吨如下：
Dj(吨,吨)=dj乙(吨,吨)+(1−dj)和问(和−∫吨吨(rs+λsj)ds),吨≥吨方程2.5只能用于债务人的违约概率仅受宏观经济状态变量影响的情况是吨在债务人违约的可能性取决于其交易对手或其他第三方的情况下，等式2.5无效。为了模拟公司特定的依赖关系，文献中讨论了两种不同的方法：单边或双边。在后一种情况下，一种影响违约概率乙，它本身会影响违约概率一种（即，循环默认）。对此的一种解释是，如果两个交易对手之间存在连锁参与。这种在建模方面的依赖是相当难以处理的，但对于主要目标，即金融机构违约的建模是不必要的。∗鉴于此，Jarrow 和 Yu (2001) 将他们的分析重点放在单向依赖上，他们将其标记为小学-中学框架。
出于上述目的，公司集合Ĵ被分成两个不同的子集小号1和小号2 :
- 小号1⊂Ĵ包含所有初级公司。这些公司的默认概率仅取决于状态变量是吨.
- 小号2⊂Ĵ包含所有二级公司。这些公司的违约概率受以下因素影响是吨以及上述初级公司的默认流程。
对于二级企业的强度，假设如下结构：
λ吨j=一种0,吨j+∑ķ=1米j一种ķ,吨j1[τķ≤吨⟩,∀j∈小号2在哪里一世代表初级公司的指数j代表二级公司的指数米j是影响违约概率的初级公司的数量j因此，假设二级企业j影响初级公司一世1,一世2,…, 一世米，因此，例如，二级公司持有一级公司的债务股权。初级公司违约的影响取决于一种ķ,吨j. 在这种情况下一种ķ,吨j>0, 一级企业的违约会增加二级企业的违约概率。另一方面，在这种情况下一种ķ,吨j<0, 考虑到两组之间的依赖关系，违约概率将会降低。
金融代写|金融数学作业代写Financial Mathematics代考|Valuation of Credit Default Swaps
继 Jarrow 和 Yu (2001) 之后，我们考虑为我们的分析考虑继承以下属性的 CDS：
- 参考方零保证金R成熟的吨′面值 1 被视为互换的参考债券。从R∈小号1由此可见，参考方是一家主要公司。
- 互换的到期日表示为吨， 和吨<吨′.
- 风险卖方 A 支付定期固定掉期利率ķ˙′′直到互换到期。即使参考方或风险买方违约，也必须支付这笔款项乙已经发生了。
- 如果参考方违约直到吨,乙弥补损失一种. 这笔款项应在掉期到期时支付。此外，假设零恢复R作为恢复率。由此可知R面临损失100%在违约的情况下他的索赔。
- 如果在存续期间，风险买方在违约之前或同时违约R,乙在违约的情况下不支付R，这相当于零回收率乙. 从乙∈小号2由此可见，风险买方是一家二级公司。
- 如果风险卖方在存续期内违约，将暂停支付掉期利率（即零回收率）。为简单起见，假设在默认情况下一种，交换不会终止。由此可以得出，在以下情况下R在稍后阶段的掉期期间违约，乙必须支付约定的赔偿金。
各参与方(一种,乙， 和R) 被假定为继承了违约的可能性。保费支付的预期值可以计算如下：E_ {Q {} 左 \ 左 (\ int_ {0 ^ {T} \ dot \ kappa} ^ prime \ prime \ prime} \ mathbf {1} {[\ tau \ mathcal {\ tau} > s ma \ mathrm { e} {- \ int {0} ^ mu \ mu} r_ {u} \ mathrm {~ d} u} \ mathrm {~ d} s \ right) = \ dot {\ kappa} ^ \ prime \ prime} \ int_ {0} {{T} D {\ mathrm {A}} (0, s) \ mathrm {d} sE_ {Q {} 左 \ 左 (\ int_ {0 ^ {T} \ dot \ kappa} ^ prime \ prime \ prime} \ mathbf {1} {[\ tau \ mathcal {\ tau} > s ma \ mathrm { e} {- \ int {0} ^ mu \ mu} r_ {u} \ mathrm {~ d} u} \ mathrm {~ d} s \ right) = \ dot {\ kappa} ^ \ prime \ prime} \ int_ {0} {{T} D {\ mathrm {A}} (0, s) \ mathrm {d} s
从风险卖方的角度来看（即，一种)，掉期价格等于收到的贴现支付流的预期回报率一种在吨=0 :
\ddot{\boldsymbol{w}}{0}^{\prime \prime}=E{Q^{}}\left(\mathbf{1}{\left[\tau^{\tilde{n}} \ leq T\right}} \mathbf{1}{\left{\tau^{\mathrm{B}}>T\right}} \mathrm{e}^{-\int_{0}^{\mathrm{T }} r_{u} \mathrm{~d} u}\right)\ddot{\boldsymbol{w}}{0}^{\prime \prime}=E{Q^{}}\left(\mathbf{1}{\left[\tau^{\tilde{n}} \ leq T\right}} \mathbf{1}{\left{\tau^{\mathrm{B}}>T\right}} \mathrm{e}^{-\int_{0}^{\mathrm{T }} r_{u} \mathrm{~d} u}\right)
这导致预期回报率的以下解决方案：*
ϖ¨0′′=D乙(0,吨)−和−∫0吨(rs+λs乙+λs乙)ds
金融代写|金融数学作业代写Financial Mathematics代考|Assumptions and Valuation
本节进一步描述的基于评级的模型基于 Huge 和 Lando (1999) 以及 Lando (1998a,b)。对于两个债务人评级的联合开发，一个二维随机过程描述为一种吨=(一种吨乙,一种吨R)假设。具有连续时间过程的状态空间由下式给出
ķķ=1,…,ķ×1,…,ķ
表示ķ作为默认状态。联合评级-从对转换的强度(一世乙,一世R)∈ ķ配对(j乙,jR)∈ķ表示为λ[(一世乙,一世R),(j乙,jR)]. 这些强度结合在ķ2×ķ2-强度矩阵Λ. 此外，状态空间的子集表示为D=ķķ/ķķ−1，其中两家公司中至少有一家违约。
金融证券的价格表示为小号(吨,rb,一种吨). 这种财务担保由一系列付款组成，这些付款应在固定日期到期吨n或者在马尔可夫链中发生转换的那些时间点。证券的成熟度为吨ñ=吨. 势在必行一种吨∈D:小号(吨,r吨,一种吨)=0因为在违约的情况下，最终付款随之而来，合同将提前终止。
假设在到期前的某个时间点吨∈[吨ñ−1;吨)但在最后一次固定付款之后。这ķ2维向量 $ S \left(t, r_{t}\right)C这ns一世s吨s这F一种llS\left(t, r_{t}, i\right), i \in \mathbb{K}^{K}一种ndC一种nb和G一世在和nb是吨H和s这l在吨一世这n这F吨H和s在bs和q在和n吨s吨这CH一种s吨一世Cd一世FF和r和n吨一世一种l和q在一种吨一世这n:$
\frac{\partial \mathbf{S} \left(t, r_{t}\right)}{\partial t}+\mu_{r} \frac{\partial \mathbf{S} \left(t, r_{t}\right)}{\partial r}+\frac{1}{2} \sigma_{r} \frac{\partial^{2} \mathbf{S} \left(t, r_{t} \right)}{\partial r^{2}}+\boldsymbol{\Lambda} \mathbf{S} \left(t, r_{t}\right)+ \operatorname{diag} \left(\boldsymbol{\ Lambda} \Xi_{t}^{\mathrm{T}}\right)-r_{t} \mathbf{S} \left(t, r_{t}\right)=0
$$
其中
diag(•) 表示对角线元素的向量
Λ是一个强度矩阵
X代表一个ķ2×ķ2矩阵
随机微分方程（方程 2.8）的边条件是小号(吨,r吨,一世)= d(吨,r吨,一世),一世∈ķķ. 矩阵的元素X对应于支付 $\hat{\boldsymbol{\omega}}\left(t, r_{t}, \mathrm{~A} {t-}, \mathrm{A} {t}\right)在H一世CH一种r和G这一世nG吨这b和p一种一世d一种吨吨H和吨一世米和这Fr一种吨一世nG−吨r一种ns一世吨一世这nsFr这米\mathrm{A} {t-}吨这\mathrm{A} {t}.吨H和在一种l在一种吨一世这n一种吨吨一世米和t<T_{N-1}一世sb一种s和d这n和q在一种吨一世这n2.8一种nd在一种sd这n和b是大号一种nd这(2000)一世n一种r和C在rs一世在和在一种是.和q在一种吨一世这n2.8 美元是对可违约 CDS 进行数值估值的基础。
统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。
金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。