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随机偏微分方程通过随机力项和系数来概括偏微分方程。
研究最多的SPDEs之一是随机热方程，它可以正式写为
$$
\partial_{t} u=\Delta u+\xi,
$$
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金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Quadratic Nonlinearities
An interesting feature of quadratic nonlinearities $B(u)=B(u, u)$ is that in many examples $P_{c} B(a) \equiv 0$ for all $a \in \mathcal{N}$. In this case, the ansatz (1.8) yields only the linearisation. See (1.9). This means that we still look at solutions that are too small to capture any of the nonlinear effects present in the equation. In order to obtain a nonlinear amplitude equation, we either consider larger noise, or we look at a parameter regime where we are nearer to the change of stability.
To illustrate this problem, we briefly discuss a one-dimensional Burgers’ equation, which is given by
$$
\partial_{t} u=\partial_{x}^{2} u+\mu_{e} u-v \partial_{x} u+\sigma_{\varepsilon} \xi .
$$
Let $\xi$ be space-time white noise for simplicity.
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Large or Unbounded Domains
For unbounded domains the results are very different. First of all, we do not have a spectral gap, and near the change of stability a whole band of eigenvalues gets unstable. The same effect already occurs, if we consider large domains, which are at least of the size $\mathcal{O}\left(\varepsilon^{-1}\right)$. In Figure $1.1$ we briefly sketch the eigenvalue curve $k \mapsto-P(-k)$ with the corresponding eigenvalues of the Swift-Hohenberg operator $-P\left(i \partial_{x}\right)=-\left(1+\partial_{x}^{2}\right)^{2}$. For the deterministic PDE this somewhat intermediate step was already discussed in [MSZ00]. The stochastic case is treated in [BHP05], but we present a different formal derivation here. This is closer to usual physical reasoning, and more in the spirit of [KSM92].
Consider as an example a one-dimensional version of the Swift-Hohenberg equation, which was first used as a toy-model for the convective instability in the
Rayleigh-Bénard problem (see [SH77]). Here
$$
u(t, x) \in \mathbb{R}, \quad \text { for } \quad t>0, x \in D_{\varepsilon}=L \varepsilon^{-1},[-1,1]
$$
fulfils
$$
\partial_{t} u=-P\left(i \partial_{x}\right) u+\varepsilon^{2} \nu u-u^{3}+\varepsilon^{\frac{3}{2}} \xi
$$
subject to periodic boundary conditions. Note that we prescribe a scaling between the noise strength and the distance from bifurcation, that differs from the one used in the bounded domain case.
The linear operator is given by
$$
P(\zeta)=\left(1-\zeta^{2}\right)^{2} .
$$
The complex eigenfunctions of the linear operator $P\left(i \partial_{x}\right)$ are $x \mapsto \exp {i k \varepsilon \pi x / L}$ with corresponding eigenvalue $P(k \varepsilon \pi / L)$ for $k \in \mathbb{Z}$. For simplicity, let $\xi$ be spacetime white noise in the following formal calculation. We rely on scaling properties for the noise, which are not that easy to formulate for coloured noise. See also Section 4.2. To be more precise, we use that $\xi$ and $\hat{\xi}$ are versions of the same noise, when we define
$$
\hat{\xi}(T, X)=\varepsilon^{-3 / 2} \xi\left(T \varepsilon^{-2}, X \varepsilon^{-1}\right)
$$
We expect a linear instability at $\mathrm{e}^{\pm i x}$, as $P(\pm 1)=0$ and $P(x)>0$ for $x \neq \pm 1$, but due to the boundedness of the domain $\mathrm{e}^{\pm i x}$ is in general not an eigenfunction. The nearest eigenfunction is $\mathrm{e}^{i \rho_{c}(e / L) x}$, where
$$
\rho_{c}(\varepsilon / L):=\frac{\varepsilon \pi}{L} \cdot\left[\frac{L}{\varepsilon \pi}\right]
$$
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|General Structure of the Approach
It is not the aim of this section to present rigorous results. Instead it highlights the key steps in a non-technical way. For all our results in the stochastic case, the general method of proof already dates back to [BMPS01]. Furthermore it was already used for amplitude equations for deterministic equations, for instance, in [KSM92] and [Sch94].
For simplicity of presentation we focus on the case of bounded domains. The case of large or unbounded domains is similar, but it exhibits many additional technical difficulties. Furthermore, we stick to cubic nonlinearities with additive noise. This was discussed in Section 1.1.1. The method of proof for other types of equations is very similar, only the formulation and the technical details differ.
Due to the lack of regularity, we cannot proceed analogous to the deterministic setting. This is one of the main issues for SPDEs, as the approach for deterministic PDEs relies on bounds for solutions of the amplitude equations in spaces with sufficiently high regularity. But especially on large domains for SPDEs this is never the case. See Section $4.3$ or Remark 4.1.
In order to give SPDEs like (1.2) a meaning, we use the concept of mild solutions. These are stochastic processes with continuous paths that fulfil the following variation of constants formula
$$
u(t)=\mathrm{e}^{t L} u(0)+\int_{0}^{t} \mathrm{e}^{(t-\tau) L}\left\varepsilon^{2} A u+\mathcal{F}(u)\right d \tau+\varepsilon^{2} W_{L}(t)
$$
for $t \leq t^{}$, where $t^{}>0$ is some stopping time. Here $\left{\mathrm{e}^{t L}\right}_{t \geq 0}$ denotes the semigroup of operators generated by the differential operator $L$. For a detailed definition see [Paz83; Hen81; Lun95] or Section 2.5.1. The main point here is that $w(t)=\mathrm{e}^{t L} w_{0}$ solves $\partial_{t} w=L w$ with $w(0)=w_{0}$, and thus $\partial_{t} \mathrm{e}^{t L}=L \mathrm{e}^{t L}$.
For the definition of the stochastic convolution
$$
W_{L}(t)=\int_{0}^{t} \mathrm{e}^{(t-\tau) L} d Q W(\tau), \quad t \geq 0
$$
see [DPZ92]. Formally differentiating (1.19) yields immediately that $u(t)$ solves (1.2).
Here $\partial_{t} Q W=\xi$ in a generalised sense, and $W$ is some cylindrical Wiener process in some Hilbert space (see Assumption $2.8$ and the discussion below that). For the connection between the noise $\xi$ and $Q$-Wiener processes see [Blö05b]. For a different approach using the Brownian sheet and an explicit representation of the semigroup $\mathrm{e}^{t L}$ via the Green function see [Wal86].
We use the projection $P_{c}$ onto the kernel $\mathcal{N}$ of $L$ and $P_{s}=I-P_{c}$, which were defined before (cf. Section 1.1.1). Now we project the equation to $\mathcal{N}$ and $\mathcal{S}$.
随机偏微分方程代写
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Quadratic Nonlinearities
二次非线性的一个有趣特征乙(在)=乙(在,在)是在很多例子中磷C乙(一种)≡0对全部一种∈ñ. 在这种情况下，ansatz (1.8) 只产生线性化。见（1.9）。这意味着我们仍然会查看太小而无法捕捉方程中存在的任何非线性效应的解。为了获得非线性幅度方程，我们要么考虑更大的噪声，要么查看更接近稳定性变化的参数范围。
为了说明这个问题，我们简要讨论一个一维 Burgers 方程，由下式给出
∂吨在=∂X2在+μ和在−在∂X在+σeX.
让X为简单起见，是时空白噪声。
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Large or Unbounded Domains
对于无界域，结果非常不同。首先，我们没有光谱间隙，并且在稳定性变化附近，整个特征值带变得不稳定。同样的效果已经发生，如果我们考虑大域，至少是这(e−1). 如图1.1我们简要地勾画出特征值曲线ķ↦−磷(−ķ)具有 Swift-Hohenberg 算子的相应特征值−磷(一世∂X)=−(1+∂X2)2. 对于确定性 PDE，这个有点中间的步骤已经在 [MSZ00] 中讨论过。随机情况在 [BHP05] 中处理，但我们在这里提出不同的形式推导。这更接近于通常的物理推理，更符合 [KSM92] 的精神。
以 Swift-Hohenberg 方程的一维版本为例，它首先被用作对流不稳定性的玩具模型。
Rayleigh-Bénard 问题（参见 [SH77]）。这里
在(吨,X)∈R, 为了 吨>0,X∈De=大号e−1,[−1,1]
满足
∂吨在=−磷(一世∂X)在+e2ν在−在3+e32X
受周期性边界条件约束。请注意，我们规定了噪声强度和分岔距离之间的比例，这与有界域情况中使用的比例不同。
线性算子由下式给出
磷(G)=(1−G2)2.
线性算子的复特征函数磷(一世∂X)是X↦经验一世ķe圆周率X/大号具有相应的特征值磷(ķe圆周率/大号)为了ķ∈从. 为简单起见，让X为以下形式计算中的时空白噪声。我们依赖于噪声的缩放属性，这对于彩色噪声来说并不容易制定。另见第 4.2 节。更准确地说，我们使用X和X^是相同噪声的版本，当我们定义
X^(吨,X)=e−3/2X(吨e−2,Xe−1)
我们预计线性不稳定性和±一世X， 作为磷(±1)=0和磷(X)>0为了X≠±1, 但由于域的有界性和±一世X一般不是特征函数。最近的特征函数是和一世ρC(和/大号)X， 在哪里
ρC(e/大号):=e圆周率大号⋅[大号e圆周率]
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|General Structure of the Approach
本节的目的不是提供严格的结果。相反，它以非技术性的方式突出了关键步骤。对于我们在随机情况下的所有结果，证明的一般方法已经可以追溯到 [BMPS01]。此外，它已被用于确定性方程的振幅方程，例如在 [KSM92] 和 [Sch94] 中。
为简单起见，我们关注有界域的情况。大域或无界域的情况类似，但它表现出许多额外的技术困难。此外，我们坚持使用加性噪声的三次非线性。这在第 1.1.1 节中讨论过。其他类型方程的证明方法非常相似，只是公式和技术细节不同。
由于缺乏规律性，我们不能继续类似于确定性设置。这是 SPDE 的主要问题之一，因为确定性 PDE 的方法依赖于具有足够高规律性的空间中幅度方程的解的边界。但尤其是在 SPDE 的大型域上，情况并非如此。见章节4.3或备注 4.1。
为了给像 (1.2) 这样的 SPDE 一个含义，我们使用温和解的概念。这些是具有连续路径的随机过程，满足以下常数变化公式
$$
u(t)=\mathrm{e}^{t L} u(0)+\int_{0}^{t} \mathrm{e }^{(t-\tau) L}\left \varepsilon^{2} A u+\mathcal{F}(u)\right d \tau+\varepsilon^{2} W_{L}(t)
$$
为$t \leq t^{ },在H和r和t^{ }>0一世ss这米和s吨这pp一世nG吨一世米和.H和r和\left{\mathrm{e}^{t L}\right}_{t \geq 0}d和n这吨和s吨H和s和米一世Gr这在p这F这p和r一种吨这rsG和n和r一种吨和db是吨H和d一世FF和r和n吨一世一种l这p和r一种吨这r大号.F这r一种d和吨一种一世l和dd和F一世n一世吨一世这ns和和[磷一种和83;H和n81;大号在n95]这r小号和C吨一世这n2.5.1.吨H和米一种一世np这一世n吨H和r和一世s吨H一种吨w(t)=\mathrm{e}^{t L} w_{0}s这l在和s\partial_{t} w=L w在一世吨Hw(0)=w_{0},一种nd吨H在s\partial_{t} \mathrm{e}^{t L}=L \mathrm{e}^{t L}.F这r吨H和d和F一世n一世吨一世这n这F吨H和s吨这CH一种s吨一世CC这n在这l在吨一世这n在大号(吨)=∫0吨和(吨−τ)大号d问在(τ),吨≥0$
见 [DPZ92]。形式微分 (1.19) 立即得出在(吨)解决（1.2）。
这里∂吨问在=X在一般意义上，和在是一些希尔伯特空间中的一些圆柱维纳过程（参见假设2.8以及下面的讨论）。对于噪音之间的连接X和问-Wiener 过程参见 [Blö05b]。对于使用布朗表和半群的显式表示的不同方法和吨大号通过 Green 函数参见 [Wal86]。
我们使用投影磷C到内核上ñ的大号和磷s=一世−磷C，这是之前定义的（参见第 1.1.1 节）。现在我们将方程投影到ñ和小号.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
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