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随机偏微分方程通过随机力项和系数来概括偏微分方程。
研究最多的SPDEs之一是随机热方程，它可以正式写为
$$
\partial_{t} u=\Delta u+\xi,
$$
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金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Multiplicative Noise
Let us first motivate, why we are interested in multiplicative noise. It appears naturally in models, where one considers noisy control parameters. Consider as an example some deterministic PDE of the following type
where $L$ is some linear differential operator and $\mathcal{F}$ is some nonlinearity, for instance $-u^{3}$. Suppose that the equation undergoes a change of stability (or bifurcation) when $\mu=0$.
The question is, whether we can see the influence of small noise in the bifurcation parameter $\mu$ in the case where $\mu$ is near or at the bifurcation. This is an important question in many experiments, as $\mu$ models experimental quantities like, for instance, temperature, which are naturally subject to small (random) perturbations.
We consider in (2.1) a simplified PDE model, where the perturbation of the parameter has no spatial dependence and is homogeneous in space. This kind of equation was recently studied in more detail, for instance, by [CLR00; CLR01; Rob02] where they determined the dimension and structure of a random attractor for a stochastic Ginzburg-Landau equation. On the other hand, even the stability of linear equations (i.e. $\mathcal{F} \equiv 0$ ) was only studied recently in [CR04] or [Kwi02] following the celebrated work of [ACW83].
Let us come back to (2.1). Assume that the control parameter $\mu \in \mathbb{R}$ is perturbed by white noise and suppose the strength of the fluctuations $\varepsilon>0$ is small. A typical model is a Gaussian noise $\mu$ with some mean and covariance functional
$$
\mathbb{E} \mu(t)=\mu_{\varepsilon} \in \mathbb{R}, \quad \mathbb{E}\left(\mu(t)-\mu_{\varepsilon}\right)\left(\mu(s)-\mu_{\varepsilon}\right)=\varepsilon^{2} \delta(t-s) .
$$
Thus we can write $\mu=\mu_{\varepsilon}+\varepsilon \xi$, where $\xi=\partial_{t} \beta$ is the generalised derivative of a real valued Brownian motion $\beta={\beta(t)}_{t \geq 0}$.
Hence, we can rewrite (2.1) as a stochastic PDE
$$
\partial_{t} u=L u+\mu_{\varepsilon} u+\mathcal{F}(u)+\varepsilon u \partial_{t} \beta
$$
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Assumptions and Results The Cubic Case
This section summarises for the cubic case all assumptions necessary and states the main results. In this chapter we treat two sets of different assumptions. On one hand this section treats nonlinear stable equations involving cubic terms, where we can use standard a priori estimates to obtain bounds on moments of solutions. On the other hand we consider in Section $2.4$ quadratic nonlinearities, which in general do not allow to bound moments of solutions. Especially, if we cannot rule out the possibility of a blow-up of solutions in finite time, which is the case in many examples. One is the 2D Kuramoto-Sivashinsky equation, for instance. In this case we obtain local result by using cut-off techniques.
Consider the following SPDE in some Hilbert space $X$ with scalar product $\langle\cdot,\rangle$, and norm $|\cdot|$. We could also consider Banach spaces here, but the Hilbert space setting simplifies the notation and the a priori estimates on solutions.
$$
d u=\left[L u+\varepsilon^{2} A u+\mathcal{F}(u)\right] d t+\varepsilon u d \beta
$$
The precise setting is given below in Assumptions $2.1$ for $L, 2.2$ for $A$ and $\mathcal{F}$, and $2.3$ for the Itô-differential.
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Attractivity
We establish two results. The first one in Theorem $2.1$ is a very strong result. It relies on the nonlinear stability of the equation and establishes bounds on $\mathbb{E}|u(t)|^{p}$ for large $t$ completely independent of the initial condition $u(0)$. The second result is somewhat weaker. It relies on the existence of bounds on $\mathbb{E}|u(0)|^{p}$, and it establishes bounds on $\mathbb{E}\left|P_{s} u(t)\right|^{p}$ for moderately large $t$. This relies mainly on the linearised picture and a spectral gap of the linearised operator.
For the attractivity our main goal is to verify that there is a time $t_{\varepsilon}>0$ such that
$$
u\left(t_{e}\right)=\varepsilon a_{e}+\varepsilon^{3} \psi_{e},
$$
where $a_{\varepsilon} \in \mathcal{N}$ and $\psi_{e} \in P_{s} X$ are both of order $\mathcal{O}(1)$.
Theorem 2.1 (Attractivity) Let Assumptions 2.1, 2.2, and $2.3$ be true and let $u$ be a strong solution of (2.3) in $X$.
Then for all $p>0$ and $t_{0}>0$ there is a constant $C>0$ such that
$$
\sup {t \geq t{0} e^{-2}} \mathbb{E}|u(t)|^{p} \leq C \varepsilon^{p}
$$
for all sufficiently small $\varepsilon>0$ and all strong solutions $u$ of (2.3) in $X$ independent of the initial condition. Especially, $\tau_{e}=\infty$ almost surely for the maximal time of existence of $u$.
Furthermore, for $q \geq 2, \delta>0$, and $p \in[2, q]$ there is some constant $C>0$ such
that $\mathbb{E}|u(0)|^{q} \leq \delta \varepsilon^{q}$ for all $\varepsilon \in(0,1)$ implies
$$
\sup {t \geq 0} \mathbb{E}|u(t)|^{p} \leq C \varepsilon^{p} \quad \text { for all sufficiently small } \varepsilon>0 \text {. } $$ Additionally, for $t{e}=\frac{2}{\omega} \ln \left(\varepsilon^{-1}\right)$ and all $p \in[4, q / 3]$ there is a constant $C>0$ such that
$$
\sup {t \geq t{\varepsilon}} \mathbb{E}\left|P_{s} u(t)\right|^{p} \leq C \varepsilon^{3 p} \quad \text { for all sufficiently small } \varepsilon>0 .
$$
The proof is straightforward. But, as it is quite technical, we postpone it to Section 2.3. The main tools are standard a priori type estimates using Itô’s formula and Burkholder’s inequality.
随机偏微分方程代写
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Multiplicative Noise
让我们首先激励一下，为什么我们对乘性噪声感兴趣。它自然地出现在模型中，在模型中考虑嘈杂的控制参数。考虑以下类型的一些确定性 PDE 作为示例，
其中大号是一些线性微分算子和F是一些非线性，例如−在3. 假设方程经历了稳定性（或分岔）的变化，当μ=0.
问题是，我们是否可以看到分岔参数中小噪声的影响μ在这种情况下μ靠近或位于分叉处。这是许多实验中的一个重要问题，因为μ模拟实验量，例如温度，这些量自然会受到小的（随机）扰动。
我们在（2.1）中考虑一个简化的 PDE 模型，其中参数的扰动没有空间依赖性并且在空间上是均匀的。最近对这类方程进行了更详细的研究，例如 [CLR00; CLR01; Rob02]，他们确定了随机 Ginzburg-Landau 方程的随机吸引子的维度和结构。另一方面，即使是线性方程组的稳定性（即F≡0) 最近才在 [CR04] 或 [Kwi02] 中研究 [ACW83] 的著名工作。
让我们回到（2.1）。假设控制参数μ∈R被白噪声扰动并假设波动的强度e>0是小。一个典型的模型是高斯噪声μ具有一些均值和协方差函数
和μ(吨)=μe∈R,和(μ(吨)−μe)(μ(s)−μe)=e2d(吨−s).
因此我们可以写μ=μe+eX， 在哪里X=∂吨b是实值布朗运动的广义导数b=b(吨)吨≥0.
因此，我们可以将 (2.1) 重写为随机 PDE
∂吨在=大号在+μe在+F(在)+e在∂吨b
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Assumptions and Results The Cubic Case
本节总结了立方情况下所有必要的假设并陈述了主要结果。在本章中，我们处理两组不同的假设。一方面，本节处理涉及三次项的非线性稳定方程，我们可以使用标准的先验估计来获得解的矩的界限。另一方面，我们在第2.4二次非线性，通常不允许限制解的矩。特别是，如果我们不能排除在有限时间内解散的可能性，在许多例子中就是这种情况。例如，一个是 2D Kuramoto-Sivashinsky 方程。在这种情况下，我们通过使用截止技术获得局部结果。
考虑一些希尔伯特空间中的以下 SPDEX标量积⟨⋅,⟩, 和范数|⋅|. 我们也可以在这里考虑 Banach 空间，但 Hilbert 空间设置简化了符号和解的先验估计。
d在=[大号在+e2一种在+F(在)]d吨+e在db
精确设置在下面的假设中给出2.1为了大号,2.2为了一种和F， 和2.3为伊藤差速器。
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Attractivity
我们建立两个结果。定理中的第一个2.1是一个非常强的结果。它依赖于方程的非线性稳定性，并在和|在(吨)|p对于大吨完全独立于初始条件在(0). 第二个结果稍微弱一些。它依赖于边界的存在和|在(0)|p, 并且它在和|磷s在(吨)|p对于中等大小吨. 这主要依赖于线性化图像和线性化算子的光谱间隙。
对于吸引力，我们的主要目标是验证是否有时间吨e>0这样
在(吨和)=e一种和+e3ψ和,
在哪里一种e∈ñ和ψ和∈磷sX都是有序的这(1).
定理 2.1（吸引力）让假设 2.1、2.2 和2.3是真实的，让在是 (2.3) 的强解X.
那么对于所有人p>0和吨0>0有一个常数C>0这样
支持吨≥吨0和−2和|在(吨)|p≤Cep
对于所有足够小的e>0以及所有强大的解决方案在(2.3) 在X独立于初始条件。尤其，τ和=∞几乎可以肯定存在的最大时间在.
此外，对于q≥2,d>0， 和p∈[2,q]有一些常数C>0这样的
那和|在(0)|q≤deq对全部e∈(0,1)暗示
支持吨≥0和|在(吨)|p≤Cep 对于所有足够小的 e>0. 此外，对于吨和=2ωln(e−1)和所有p∈[4,q/3]有一个常数C>0这样
支持吨≥吨e和|磷s在(吨)|p≤Ce3p 对于所有足够小的 e>0.
证明很简单。但是，由于它非常技术性，我们将其推迟到第 2.3 节。主要工具是使用伊藤公式和伯克霍尔德不等式的标准先验类型估计。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。