金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partialApplications Some Examples

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\partial_{t} u=\Delta u+\xi,

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Viscoelasticity and Damping (Chapter 7) - Nonlinear Mechanics of Shells and  Plates in Composite, Soft and Biological Materials
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金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Some Examples

This chapter presents applications of the approximation via amplitude equations. The main results are about long-time behaviour of SPDEs or transient pattern formation for SPDEs on bounded domains. For simplicity of presentation, we focus on a few examples, in order to highlight the key ideas.

By no means we give an exhaustive presentation of all results possible, but focus on three examples. First we treat approximation of invariant measures near a change of stability. This is a review of results of [BH04]. We give the main ideas without stating details of the proofs.

The second section on pattern formation below threshold of instability gives a self-contained introduction, by explaining ideas and giving all proofs in the simplest setting possible. The final section on approximative centre manifolds and approximation of random attractors gives only the main ideas of proofs.
Invariant Measures
Section $3.1$ states the approximation of invariant measures for the corresponding dual Markov semigroup. We summarise some of the results of [BH04]. Near the change of stability the invariant measure is well described in first order of $\varepsilon$ by the invariant measure of the amplitude equation plus in second order by an infinite dimensional Ornstein-Uhlenbeck measure on the stable modes $\mathcal{S}$. The result is of the type $\mathbb{P}^{u^{}}=\mathbb{P}^{e a^{}} \otimes \mathbb{P}^{e^{2} \psi^{*}}$. In this part the presentation is based on the setting and the results of Section 2.5. Apart from large deviation results, this is the first rigorous qualitative result for the structure of invariant measures for SPDEs with additive noise.

Another interesting application, that we nevertheless do not treat here, is the discussion of phenomenological bifurcation for SPDEs. It relies on the approximation of invariant measures. The invariant measure in $\mathcal{N}$ for the amplitude equation is usually easy to describe. For instance one can use the celebrated Fokker-Planck equation (cf. Risken [Ris84]), where we identify $\mathcal{N}$ with some $\mathbb{R}^{n}$ with $n \in{1,2}$ for many examples. The Fokker-Planck equation is a deterministic PDE, which solution provides a smooth Lebesgue density of invariant measures on $\mathcal{N}$.

金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Approximation of Invariant Measures

This section reviews the results obtained in [BH04] on approximating the invariant measure of SPDEs of the type of (1.2) near a change of stability. For simplicity the result is based on the setting of Section 2.5, where we considered a stable cubic nonlinearity and additive noise. To be more precise, consider equation (1.2) and let Assumptions 2.5, 2.7, and $2.8$ be true. Additive noise is important, in order to have a unique exponential attracting invariant measure for the amplitude equation (cf. Assumption $3.1$ and the discussion below).

It is a main issue to have the speed of convergence to the invariant measure for the amplitude equations under control (see (3.7)). The flow has to be (up to small errors) a contraction on the space of probability measures. This makes multiplicative noise more complicated, as there could be more than one invariant measure, and the speed of convergence is not controlled, as even nearby initial conditions may converge to different measures. A similar problem arises, when the amplitude equation is deterministic, for example, if the noise strength in the SPDE is $\mathcal{O}\left(\varepsilon^{3}\right)$. Here only partial results are available. Again problems arise with the speed of convergence in the amplitude equation, once its deterministic attractor is not trivial.

金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|The Results

Before we state our results, we introduce one more notation. For simplicity of presentation, we rescale the solutions of (1.2) by $\varepsilon$ such that they are concentrated on a set of order 1 instead of a set of order $\varepsilon$. Furthermore, we rescale the equation to the slow time-scale $T=t \varepsilon^{2}$. Thus we consider $v$ given by $v(T)=\varepsilon^{-1} u\left(T \varepsilon^{-2}\right)$, where we split as usual $v=v_{c}+v_{s}\left(v_{c} \in \mathcal{N}, v_{s} \in \mathcal{S}\right)$. We obtain
\partial_{T} v_{c}= & A_{c}\left(v_{c}+v_{s}\right)+\mathcal{F}{c}\left(v{c}+v_{s}\right)+\partial_{T} \beta \
\partial_{T} v_{s}=\varepsilon^{-2} L v_{s}+A_{s}\left(v_{c}+v_{s}\right)+\mathcal{F}{s}\left(v{c}+v_{s}\right)+\partial_{T} \hat{W}{s} \end{array} $$ where $\hat{W}{s}(T)=\varepsilon P_{s} Q W\left(\varepsilon^{-2} T\right)$ and $\beta(T)=\varepsilon P_{c} Q W\left(\varepsilon^{-2} T\right)$, as usual.
We denote by $\mu_{\star}^{e}$ an invariant measure of (3.4). Note that the existence is standard using the celebrated Krylov-Bogoliubov method (cf. [DPZ96]).

Definition 3.5 Denote by $\nu_{\star}^{}$ the invariant measure for the pair of processes $(a, \varepsilon \psi)$, where the evolution is given by $(1.5)$ and (1.6). Hence, in the slow time variable $$ \begin{aligned} &\partial_{T} a=A_{c} a+\mathcal{F}{c}(a)+\partial{T} \beta \
&\partial_{T} \psi=\varepsilon^{-2} L \psi+\partial_{T} \hat{W}{s} \end{aligned} $$ Denote by $\nu{\star}^{c}$ the marginal on $\mathcal{N}$, and by $\nu_{\star}^{s}$ the one on $\mathcal{S}$, respectively.
Note that we actually do not need the uniqueness of $\nu_{\star}^{}$. We only need that the marginals on $\mathcal{N}$ and $\mathcal{S}$ are unique. The uniqueness of $\nu_{\star}^{s}$ is obvious, as we have an Ornstein-Uhlenbeck process. Furthermore, the uniqueness of $\nu_{\star}^{c}$ follows from Assumption 3.1.

Note that $\nu_{\star}^{*}$ depends on $\varepsilon$ by the rescaling of $\psi$. Recall also that we discussed in Remark $2.8$ that the two noise terms in (3.5) may not be independent. Thus the equations in (3.5) are coupled through the noise, but actually they do not live on the same time scale, as the second equation in (3.5) lives on the fast time-scale $t$. However, as the equations are otherwise decoupled, we can determine the marginals $\nu_{\star}^{c}$ and $\nu_{\star}^{s}$ independently. The marginal $\nu_{\star}^{\mathrm{c}}$ is independent of $\varepsilon$ and $\nu_{\star}^{s}$ depends on $\varepsilon$ only through the trivial scaling of $\varepsilon \psi$. Therefore we suppressed this $\varepsilon$-dependence in the notation.

With these notations, our main result in the Wasserstein distance is the following.

PDF] Aliasing errors due to quadratic nonlinearities on triangular spectral  /hp element discretisations | Semantic Scholar
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本章介绍通过幅度方程进行近似的应用。主要结果是关于 SPDE 的长期行为或 SPDE 在有界域上的瞬态模式形成。为简单起见,我们将重点放在几个示例上,以突出关键思想。


部分3.1陈述了对应的对偶马尔可夫半群的不变测度的近似。我们总结了[BH04]的一些结果。在稳定性变化附近,不变测度在第一阶中得到了很好的描述e通过振幅方程的不变测量加上二阶对稳定模式的无限维 Ornstein-Uhlenbeck 测量小号. 结果的类型为 $\mathbb{P}^{u^{ }}=\mathbb{P}^{ea^{ }} \otimes \mathbb{P}^{e^{2} \psi^{ *}}$。在这部分中,演示基于第 2.5 节的设置和结果。除了较大的偏差结果外,这是具有加性噪声的 SPDE 的不变测度结构的第一个严格的定性结果。

另一个有趣的应用,我们在这里不讨论,是对 SPDE 的现象学分岔的讨论。它依赖于不变测度的近似。不变测度ñ因为幅度方程通常很容易描述。例如,我们可以使用著名的 Fokker-Planck 方程(参见 Risken [Ris84]),我们确定ñ和一些Rn和n∈1,2举很多例子。Fokker-Planck 方程是一个确定性 PDE,它提供了一个平滑的 Lebesgue 密度的不变测度ñ.

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本节回顾在 [BH04] 中获得的关于在稳定性变化附近近似 (1.2) 类型的 SPDE 的不变测度的结果。为简单起见,结果基于第 2.5 节的设置,其中我们考虑了稳定的三次非线性和加性噪声。更准确地说,考虑方程 (1.2) 并让假设 2.5、2.7 和2.8是真的。加性噪声很重要,以便对幅度方程具有独特的指数吸引不变测量(参见假设3.1以及下面的讨论)。

控制幅度方程的不变测度的收敛速度是一个主要问题(见(3.7))。流量必须是(直到小错误)概率度量空间的收缩。这使得乘性噪声变得更加复杂,因为可能存在不止一个不变测度,并且收敛速度不受控制,因为即使是附近的初始条件也可能会收敛到不同的测度。当幅度方程是确定的时,也会出现类似的问题,例如,如果 SPDE 中的噪声强度为这(e3). 这里只有部分结果可用。振幅方程的收敛速度再次出现问题,一旦它的确定性吸引子不是微不足道的。

金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|The Results

在我们陈述我们的结果之前,我们再介绍一种符号。为简单起见,我们重新调整(1.2)的解决方案e这样它们就集中在一组订单 1 而不是一组订单e. 此外,我们将方程重新缩放到慢时间尺度吨=吨e2. 因此我们认为在由在(吨)=e−1在(吨e−2), 我们像往常一样分裂在=在C+在s(在C∈ñ,在s∈小号). 我们得到
\partial_{T} v_{c}= & A_{c}\left(v_{c}+v_{s}\right)+\mathcal{F} {c }\left(v {c}+v_{s}\right)+\partial_{T} \beta \
\partial_{T} v_{s}=\varepsilon^{-2} L v_{s}+A_{ s}\left(v_{c}+v_{s}\right)+\mathcal{F} {s}\left(v {c}+v_{s}\right)+\partial_{T} \hat{ W} {s} \end{array} $$ 其中 $\hat{W} {s}(T)=\varepsilon P_{s} QW\left(\varepsilon^{-2} T\right)一种nd\beta(T)=\varepsilon P_{c} QW\left(\varepsilon^{-2} T\right),一种s在s在一种l.在和d和n这吨和b是\mu_{\star}^{e}$ (3.4) 的不变测度。请注意,存在是使用著名的 Krylov-Bogoliubov 方法(参见 [DPZ96])的标准。

定义 3.5 表示为ν⋆过程对的不变测度(一种,eψ),其中进化由下式给出(1.5)和 (1.6)。因此,在慢时间变量∂吨一种=一种C一种+FC(一种)+∂吨b ∂吨ψ=e−2大号ψ+∂吨在^s表示为ν⋆C边际上ñ,并由ν⋆s那个在小号, 分别。
请注意,我们实际上并不需要唯一性ν⋆. 我们只需要ñ和小号是独一无二的。的独特性ν⋆s很明显,因为我们有一个 Ornstein-Uhlenbeck 过程。此外,它的独特性ν⋆C遵循假设 3.1。

注意ν⋆∗取决于e通过重新调整ψ. 还记得我们在备注中讨论过的2.8(3.5)中的两个噪声项可能不是独立的。因此(3.5)中的方程通过噪声耦合,但实际上它们并不存在于相同的时间尺度上,因为(3.5)中的第二个方程存在于快速时间尺度上吨. 然而,由于方程是解耦的,我们可以确定边缘ν⋆C和ν⋆s独立。边缘的ν⋆C独立于e和ν⋆s取决于e只有通过微不足道的缩放eψ. 因此我们压制了这个e-符号中的依赖性。

使用这些符号,我们在 Wasserstein 距离中的主要结果如下。

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术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。



有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。





随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。


多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。


MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。



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