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随机偏微分方程通过随机力项和系数来概括偏微分方程。
研究最多的SPDEs之一是随机热方程，它可以正式写为
$$
\partial_{t} u=\Delta u+\xi,
$$
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金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Assumptions
Let us summarise all assumptions necessary for our results. We do not focus on the highest possible level of generality, but stick to some simpler setting which cover all our examples. First consider the linear operator $L$.
Assumption 2.5 Let $X$ be a separable Hilbert space and $\Delta$ (subject to some boundary conditions on a bounded domain) be a self-adjoint version of the Laplacian on $X$. Suppose $L=P(-\Delta)$ for some function $P$ such that $L$ is non-positive. Furthermore, let the kernel $\mathcal{N}=\operatorname{ker} L$ of $L$ be non-empty and finite dimensional. Finally, suppose $P(k) \rightarrow-\infty$ as $k \rightarrow \infty$.
This assumption is a stronger than the one in Section 2.2. It is mainly used for convenience of presentation, and covers all examples presented. Furthermore, it is just a special case of Assumption 2.1, and in the following we can use all the implications of this assumption. We use the notation $P_{c}$ and $P_{s}$, which are in this case just the standard orthogonal projections. Additionally, recall the splitting $X=\mathcal{N} \oplus \mathcal{S}$ with $\mathcal{S}=P_{s} X$ and the spaces $X^{\alpha}$ from Section 2.2. Recall furthermore the bounds (2.4), (2.5), and (2.6) for the analytic semigroup $\mathrm{e}^{t L}$ generated by $L$.
For the nonlinearities, we make two assumptions. The first one, is much weaker than Assumption 2.2, as we are aiming only for local results in that case. Especially, we can get rid of the strong nonlinear dissipativity. The second assumption is similar to Assumption $2.2$ and involves strong nonlinear stability and dissipativity conditions in $\mathcal{N}$.
Assumption 2.6 The function $\mathcal{F}$ is locally Lipschitz from $X$ to $X^{-\alpha}$ for some $\alpha \in[0,1)$. This means that for all $R>0$ there is a $C>0$ such that
$$
\left|\mathcal{F}\left(v_{1}\right)-\mathcal{F}\left(v_{2}\right)\right|_{-\alpha} \leq C\left|v_{1}-v_{2}\right| \quad \text { for all } v_{i} \text { with }\left|v_{i}\right| \leq R
$$
Assume we can split $\mathcal{F}(x)=f(x)+g(x)$, where $f: X \times X \times X \rightarrow X^{-\alpha}$ is continuous, trilinear, and symmetric. The function $g$ is of higher order, which means $|g(x)|_{-\alpha} \leq C|x|^{4}$ provided $|x| \leq 1 .$
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Amplitude Equations Main Results
Theorem 2.7 (Attractivity-local) Under Assumptions $2.5,2.6$, and $2.8$ fix some small constant $\kappa>0$. Then there are constants $c_{i}>0$ and a time $t_{e}=$ $\mathcal{O}\left(\ln \left(\varepsilon^{-1}\right)\right)$ such that for all mild solutions $u$ of $(2.86)$ we can write
$$
u\left(t_{e}\right)=\varepsilon a_{e}+\varepsilon^{2} R_{e} \quad \text { with } \quad a_{\varepsilon} \in \mathcal{N} \text { and } R_{e} \in \mathcal{S}
$$
where
$$
\mathbb{P}\left(\left|a_{e}\right| \leq \delta,|R e| \leq \varepsilon^{-\kappa}\right) \geq \mathbb{P}\left(|u(0)| \leq c_{3} \delta \varepsilon\right)-c_{1} e^{-c_{2} e^{-2 \kappa}}
$$
for all $\delta>1$ and $\varepsilon \in(0,1)$.
This result states in a weak form that $u(0)=\mathcal{O}(\varepsilon)$ with high probability implies $P_{c} u\left(t_{\varepsilon}\right)=\mathcal{O}(\varepsilon)$ and $P_{s} u\left(t_{\varepsilon}\right)=\mathcal{O}\left(\varepsilon^{2}\right)$ with high probability, too. Note that we do not bound any moments of the solution $u$.
We do not give a detailed proof of this result, as it is a straightforward modification of Theorem $3.3$ of [Blö03]. It relies on the fact that small solutions of order $\mathcal{O}(\varepsilon)$ are on small time-scales given by the linearised picture, which is dominated by the semigroup estimates $(2.5)$ and $(2.6)$. Thus modes in $P_{s} X$ decay exponentially fast on a time-scale of order $\mathcal{O}(1)$.
Using strong nonlinear stability, we can prove much more:
Theorem 2.8 (Attractivity-global) Let Assumptions 2.5, 2.6, and 2.8 be satisfied. Then for all times $T_{e}=T_{0} \varepsilon^{-2}>0$ and for all $p \geq 1$ there are constants $C_{p}>0$ explicitly depending on $p$ such that
$$
\mathbb{E}\left|u\left(t+T_{e}\right)\right|^{p} \leq C_{p} \varepsilon^{p} \quad \text { and } \quad \mathbb{E}\left|P_{s} u\left(t+T_{e}\right)\right|^{p} \leq C_{p} \varepsilon^{2 p}
$$
for all $t \geq 0$, all $X$-valued mild solutions $u$ of equation (1.2) independent of the initial condition $u(0)$, and for all $\varepsilon \in(0,1)$.
Furthermore, if we already assume that $\mathbb{E}|u(0)|{ }^{p} \leq C_{p} \varepsilon^{p}$ for a constant $C_{p}>0$, then there is a time $t_{\varepsilon}=\mathcal{O}\left(\ln \left(\varepsilon^{-1}\right)\right)$ and a constant $C>0$ such that
$$
\mathbb{E}|u(t)|^{p} \leq C \varepsilon^{p} \quad \text { and } \quad \mathbb{E}\left|P_{s} u\left(t+t_{e}\right)\right|^{p} \leq C \varepsilon^{2 p}
$$
for all $t \geq 0$, all $X$-valued mild solutions $u$, and for all $\varepsilon \in(0,1)$.
The proof is given by a priori estimates. This was not directly proved in [BH04], but under our somewhat stronger assumptions this is similar to Lemma $4.3$ of [BH04]. It relies on a priori estimates for $v_{\delta_{\varepsilon}}=u-\varepsilon^{2} W_{L-\delta_{c}}$ with $\delta_{e}=\mathcal{O}\left(\varepsilon^{2}\right)$, which fulfils a random PDE similar to $(2.87)$. The main technical advantage is that the linear semigroup generated by $L-\delta_{e}$ is exponentially stable.
2.5.3.2 Approximation
For a solution $a$ of $(1.5)$ and $\psi$ of $(1.6)$ we define the approximations $\varepsilon w_{k}$ of order $k$ by
$$
\varepsilon w_{1}(t):=\varepsilon a\left(\varepsilon^{2} t\right) \text { and } \varepsilon w_{2}(t):=\varepsilon a\left(\varepsilon^{2} t\right)+\varepsilon^{2} \psi(t)
$$
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Quadratic Nonlinearities
In this section we review the results of [Blö05a]. Consider an SPDE of the following type.
$$
\partial_{t} u=L u+\varepsilon^{2} A u+B(u, u)+\varepsilon^{2} \xi
$$
where $L$ as in Assumption 2.1. The linear operator $A$ and the bilinear operator $B$ are as in Assumption 2.4, and the noise is the generalised derivative of some Wiener process (cf. Assumption 2.9).
In [Blö05a] we used fractional noise. This was motivated by the fact that the proofs rely on fractional integration by parts formulas, and explicit path-wise estimates. Here we state for simplicity only the version for Gaussian noise that is white in time. Note that due to the method of proof, we need the noise to be trace-class, as we need bounds for the Wiener process $W(t)$ in the space $X$. This obviously rules out space-time white noise.
Let us furthermore point out that the Hilbert space setting is not necessary in this approach, as we purely rely on local results, using cut-off techniques, and we do not use a priori estimates. It is also necessary to deal with non self-adjoint operators, as the linear part in the Rayleigh-Bénard system is not self-adjoint (cf. Section $6.1$ of [Blö05a] for a detailed discussion.
For the stochastic perturbation $\xi$ let the following assumption be true.
Assumption 2.9 (Noise) Suppose that the noise process $\xi$ is the generalised derivative of some Wiener process ${Q W(t)}_{t \geq 0}$ on some probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$, where $W$ is the standard cylindrical Wiener process.
Assume that the stochastic convolution
$$
W_{L}(t)=\int_{0}^{t} \mathrm{e}^{(t-\tau) L} d Q W(\tau)
$$
is a well defined stochastic process with continuous paths in $X$. We suppose that the noise (or $W)$ is of trace-class, i.e. $\operatorname{tr}\left(Q^{2}\right)=\mathbb{E}|Q W(t)|^{2}<\infty$.
This assumption is stronger than Assumption 2.8. Especially, $W$ being traceclass is a serious restriction, as this already implies that $W$ has continuous paths in $X$. We briefly sketched after Remark $2.7$ the connection between the spatial correlation function $q$ of the noise $\xi$ and the operator $Q$ belonging to $W$. The condition of $W$ being trace-class is essentially a regularity condition on $q$. See for example [Blö05b]. Any decay condition for the eigenvalues of $Q$ immediately transfers to a decay condition of the Fourier coefficients of $q$.
To give a meaning to $(2.93)$ we consider as usual mild solutions.
随机偏微分方程代写
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Assumptions
让我们总结一下我们的结果所需的所有假设。我们并不专注于尽可能高的通用性，而是坚持一些涵盖我们所有示例的更简单的设置。首先考虑线性算子大号.
假设 2.5 让X是一个可分离的希尔伯特空间和Δ（受限于有界域上的一些边界条件）是拉普拉斯算子的自伴版本X. 认为大号=磷(−Δ)对于某些功能磷这样大号是非积极的。此外，让内核ñ=克尔大号的大号是非空的和有限维的。最后，假设磷(ķ)→−∞作为ķ→∞.
这个假设比第 2.2 节中的假设强。它主要是为了方便展示，涵盖了所有展示的例子。此外，这只是假设 2.1 的一个特例，下面我们可以使用这个假设的所有含义。我们使用符号磷C和磷s，在这种情况下只是标准的正交投影。另外，回忆一下分裂X=ñ⊕小号和小号=磷sX和空间X一种来自第 2.2 节。进一步回忆解析半群的界限 (2.4)、(2.5) 和 (2.6)和吨大号由产生大号.
对于非线性，我们做了两个假设。第一个比假设 2.2 弱得多，因为在这种情况下我们只针对局部结果。特别是，我们可以摆脱强非线性耗散性。第二个假设类似于 Assumption2.2并涉及强非线性稳定性和耗散条件ñ.
假设 2.6 函数F是当地的 Lipschitz 从X到X−一种对于一些一种∈[0,1). 这意味着对于所有人R>0有一个C>0这样
|F(在1)−F(在2)|−一种≤C|在1−在2| 对全部 在一世 和 |在一世|≤R
假设我们可以拆分F(X)=F(X)+G(X)， 在哪里F:X×X×X→X−一种是连续的、三线性的和对称的。功能G是更高阶的，这意味着|G(X)|−一种≤C|X|4假如|X|≤1.
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Amplitude Equations Main Results
假设下的定理 2.7（局部吸引力）2.5,2.6， 和2.8修复一些小常数ķ>0. 然后有常数C一世>0和时间吨和= 这(ln(e−1))这样对于所有温和的解决方案在的(2.86)我们可以写
在(吨和)=e一种和+e2R和 和 一种e∈ñ 和 R和∈小号
在哪里
磷(|一种和|≤d,|R和|≤e−ķ)≥磷(|在(0)|≤C3de)−C1和−C2和−2ķ
对全部d>1和e∈(0,1).
这个结果以弱的形式表明在(0)=这(e)很有可能意味着磷C在(吨e)=这(e)和磷s在(吨e)=这(e2)也很有可能。请注意，我们不限制解决方案的任何时刻在.
我们没有给出这个结果的详细证明，因为它是对 Theorem 的直接修改3.3[Blö03]。它依赖于这样一个事实，即小阶解这(e)是在线性化图片给定的小时间尺度上，由半群估计支配(2.5)和(2.6). 因此模式在磷sX在有序的时间尺度上呈指数级快速衰减这(1).
使用强非线性稳定性，我们可以证明更多：
定理 2.8（吸引力-全局） 满足假设 2.5、2.6 和 2.8。然后一直吨和=吨0e−2>0并为所有人p≥1有常数Cp>0明确地取决于p这样
和|在(吨+吨和)|p≤Cpep 和 和|磷s在(吨+吨和)|p≤Cpe2p
对全部吨≥0， 全部X价值温和的解决方案在方程（1.2）的独立于初始条件在(0), 对于所有人e∈(0,1).
此外，如果我们已经假设和|在(0)|p≤Cpep对于一个常数Cp>0, 那么有一个时间吨e=这(ln(e−1))和一个常数C>0这样
和|在(吨)|p≤Cep 和 和|磷s在(吨+吨和)|p≤Ce2p
对全部吨≥0， 全部X价值温和的解决方案在, 对于所有人e∈(0,1).
证明是由先验估计给出的。这在 [BH04] 中没有直接证明，但在我们稍微强一些的假设下，这类似于引理4.3[BH04]。它依赖于先验估计在de=在−e2在大号−dC和d和=这(e2)，它满足一个随机偏微分方程，类似于(2.87). 主要的技术优势是由生成的线性半群大号−d和是指数稳定的。
2.5.3.2 近似
解一种的(1.5)和ψ的(1.6)我们定义近似值e在ķ有秩序的ķ经过
e在1(吨):=e一种(e2吨) 和 e在2(吨):=e一种(e2吨)+e2ψ(吨)
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Quadratic Nonlinearities
在本节中，我们回顾了 [Blö05a] 的结果。考虑以下类型的 SPDE。
∂吨在=大号在+e2一种在+乙(在,在)+e2X
在哪里大号如假设 2.1。线性算子一种和双线性算子乙与假设 2.4 相同，噪声是一些维纳过程的广义导数（参见假设 2.9）。
在 [Blö05a] 中，我们使用了分数噪声。这是因为证明依赖于部分公式的分数积分和明确的路径估计。在这里，为了简单起见，我们仅说明时间上为白色的高斯噪声版本。请注意，由于证明方法的原因，我们需要噪声是跟踪类的，因为我们需要 Wiener 过程的边界在(吨)在空间X. 这显然排除了时空白噪声。
让我们进一步指出，在这种方法中希尔伯特空间设置不是必需的，因为我们完全依赖于局部结果，使用截止技术，我们不使用先验估计。还需要处理非自伴算子，因为瑞利-贝纳德系统中的线性部分不是自伴的（参见第6.1[Blö05a] 的详细讨论。
对于随机扰动X让以下假设成立。
假设 2.9（噪声）假设噪声过程X是一些维纳过程的广义导数问在(吨)吨≥0在某个概率空间上(Ω,F,磷)， 在哪里在是标准的圆柱形维纳过程。
假设随机卷积
在大号(吨)=∫0吨和(吨−τ)大号d问在(τ)
是一个定义明确的随机过程，其中有连续路径X. 我们假设噪声（或在)属于跟踪类，即tr(问2)=和|问在(吨)|2<∞.
这个假设比假设 2.8 更强。尤其，在作为 traceclass 是一个严重的限制，因为这已经意味着在有连续的路径X. Remark 之后我们简要地勾画了2.7空间相关函数之间的联系q噪音的X和运营商问属于在. 的条件在被跟踪类本质上是一个规律性条件q. 参见例如 [Blö05b]。的特征值的任何衰减条件问立即转移到傅立叶系数的衰减条件q.
赋予意义(2.93)我们像往常一样考虑温和的解决方案。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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