金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partialResidual

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随机偏微分方程通过随机力项和系数来概括偏微分方程。

研究最多的SPDEs之一是随机热方程,它可以正式写为
$$
\partial_{t} u=\Delta u+\xi,
$$

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金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partialResidual

金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Residual

With Theorem $2.1$ at hand we make the following ansatz
$$
u(t)=\varepsilon a\left(\varepsilon^{2} t\right)+\mathcal{O}\left(\varepsilon^{2}\right), \quad \text { where } a \in \mathcal{N} .
$$
Using a formal calculation completely analogous to the one of Section $1.1 .1$ yields in lowest order of $\varepsilon>0$ the following amplitude equation:
$$
d a=A_{c} a+\mathcal{F}{c}(a)+a d \tilde{\beta}, $$ where ${\bar{\beta}(T)}{T \geq 0}$ defined by $\bar{\beta}(T)=\varepsilon \beta\left(\varepsilon^{-2} T\right)$ is a rescaled version of the Brownian motion $\beta$. As usual we consider the equation in the Itô sense. Note again, as explained in Section 1.1.1, that a fixed realization of the amplitude equation obviously depends on $\varepsilon$, but in distribution the solutions are independent of $\varepsilon$.
For a solution $a$ of (2.15) we define the residual
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Res}(\varepsilon a)\left(\varepsilon^{2} t\right)=-\varepsilon a\left(\varepsilon^{2} t\right) &+\varepsilon \mathrm{e}^{t L} a(0)+\varepsilon^{2} \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{(t-\tau) L} a\left(\varepsilon^{2} \tau\right) d \beta(\tau) \
&+\varepsilon^{3} \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{(t-\tau) L}[A a+\mathcal{F}(a)]\left(\varepsilon^{2} \tau\right) d \tau
\end{aligned}
$$
We show:
Theorem 2.2 (Residual) Let Assumptions 2.1, 2.2, and 2.3 be true. Then for all $p>\frac{4}{3}, \delta>0$ and $T_{0}>0$ there is a constant $C>0$ such that
$$
\mathrm{P}{\mathrm{c}} \operatorname{Res}(\varepsilon a)\left(\varepsilon^{2} t\right)=0 $$ and $$ \mathbb{E}\left(\sup {t \in\left[0, T_{0} \varepsilon^{-2}\right]}\left|P_{s} \operatorname{Res}(\varepsilon a)\left(\varepsilon^{2} t\right)\right|^{p}\right) \leq C \varepsilon^{3 p}
$$
for all sufficiently small $\varepsilon>0$ and all solutions a of (2.15) with $\mathbb{E}|a(0)|^{3 p} \leq \delta \varepsilon^{3 p}$.

金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Approximation

Define the remainder $R$, which is the error of our approximation, as
$$
\varepsilon^{2} R(t)=u(t)-\varepsilon a\left(\varepsilon^{2} t\right)
$$
We split
$$
R=R_{c}+R_{s} \quad \text { with } \quad R_{c}=P_{c} R \text { and } R_{s}=P_{s} R .
$$
First we treat $R_{s}$ using the a priori estimates on $P_{s} u$. This information on $P_{s} u$ is not necessary for the result, as we can use cut-off techniques to yield local results, but here it helps to simplify the proofs a lot. The a priori estimates on $u$ are only possible because of the very strong stability assumptions on $\mathcal{F}$. Our main result is the following:

Theorem 2.3 (Approximation) Let Assumptions 2.1, 2.2, and $2.3$ be true. For $p>4, T_{0}>0$, and $\delta>0$ there is a constant $C>0$ such that for all strong solutions $u$ of (2.3) in $X$ with
$$
\mathbb{E}|u(0)|^{3 p} \leq \delta \varepsilon^{3 p} \quad \text { and } \quad \mathbb{E}\left|P_{s} u(0)\right|^{p} \leq \delta \varepsilon^{3 p}
$$
for all $\varepsilon \in(0,1)$, we derive
$$
\left.\mathbb{E}\left(\sup {t \in\left[0, T{0} e^{-2}\right]} | P_{s} R(t)\right) |^{p}\right) \leq C \varepsilon^{p}
$$
and
$$
\left.\mathbb{E}\left(\sup {t \in\left[0, T{\mathrm{b}} e^{-2}\right]} | P_{c} R(t)\right) |^{p}\right) \leq C
$$
for all sufficiently small $\varepsilon>0$, where $a$ is a solution of (2.15) such that $a(0)=$ $\varepsilon^{-1} P_{c} u(0)$.

金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|A priori Estimates for u

The following section provides standard a priori estimates for solutions of (2.3). Although they are straightforward, they are nevertheless quite technical. We establish bounds for $\mathbb{E}|u(t)|^{p}$ and $\mathbb{E}\left|P_{s} u(t)\right|^{p}$, which are used in the proof of Theorem 2.1. Furthermore, we bound $\mathbb{E} \sup {t \in\left[0, T{0} e^{-2}\right]}|u(t)|^{p}$ and in Lemma $2.1$ $\mathbb{E} \sup {t \in\left[0, T{\mathrm{b}} e^{-2}\right]}\left|P_{s} u(t)\right|^{p}$. The main idea is to apply Itô’s formula to $|u(t)|^{p}$ and to use the strong nonlinear stability condition from (2.7). The main technical obstacle is that a priori we do not know that $\mathbb{E}|u(t)|^{p}$ exists. Therefore we use cut-off techniques.

Proof. (of Theorem 2.1) For $p \geq 2$ and $\gamma>0$ consider smooth bounded $\varphi_{\gamma, p}:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ such that $0 \leq \varphi_{\gamma, p}(z) \nearrow \varphi_{p}(z)=z^{p / 2}$. To be more precise, define
$$
\varphi_{\gamma, p}(z):=\left(\frac{z}{1+\gamma z}\right)^{p / 2} \text { for } z \geq 0 .
$$
It is now easy to check that there are constants $C_{p}$ and $c_{p}$ independent of $\gamma$ such that for $z \geq 0$
$$
\begin{gathered}
0 \leq \varphi_{\gamma, p}^{\prime}(z) z \leq C_{p} \varphi_{\gamma, p}(z), \quad-p \varphi_{\gamma, p}(z) \leq \varphi_{\gamma, p}^{\prime \prime}(z) z^{2} \leq C_{p} \varphi_{\gamma, p}(z), \
\varphi_{\gamma, p}^{\prime}(z) z^{2}=\frac{p}{2} \varphi_{\gamma, p}(z)^{(p+2) / p}, \quad \varphi_{\gamma, p}^{\prime}(z) z^{2} \leq \frac{p}{2} \varphi_{\gamma, p-2}(z)=\frac{p}{2} \varphi_{\gamma, p}(z)^{(p-2) / p} .
\end{gathered}
$$
Apply Itô’s formula to $\varphi_{\gamma, p}\left(|u(t)|^{2}\right)$ for $t<\tau_{e}$ to derive
$$
\begin{gathered}
d \varphi_{\gamma, p}\left(|u(t)|^{2}\right)=\varphi_{\gamma, p}^{\prime}\left(|u(t)|^{2}\right)\left\langle u(t), L u(t)+\varepsilon^{2} A u(t)+\mathcal{F}(u(t))\right\rangle d t \
+\varphi_{\gamma, p}^{\prime}\left(|u(t)|^{2}\right)|u(t)|^{2}\left[\varepsilon d \beta(t)+\frac{1}{2} \varepsilon^{2} d t\right] \
+\varphi_{\gamma, p}^{\prime \prime}\left(|u(t)|^{2}\right)|u(t)|^{4} \varepsilon^{2} d t .
\end{gathered}
$$
Hence, for $t<\tau_{0}$ as we are dealing with strong solutions in the sense of Definition $2.4$.
$$
\begin{aligned}
&\mathbb{E} \varphi_{\gamma, p}\left(|u(t)|^{2}\right)-\mathbb{E} \varphi_{\gamma, p}\left(|u(0)|^{2}\right) \
&=\int_{0}^{t} \mathbb{E} \varphi_{\gamma, p}^{\prime}\left(|u(\tau)|^{2}\right)\left(u(\tau), L u(\tau)+\varepsilon^{2} A u(\tau)+\mathcal{F}(u(\tau))\right\rangle d \tau \
&\quad+\frac{1}{2} \varepsilon^{2} \int_{0}^{t} \mathbb{E} \varphi_{\gamma, p}^{\prime}\left(|u(\tau)|^{2}\right)|u(\tau)|^{2} d \tau \
&+\varepsilon^{2} \int_{0}^{t} \mathbb{E} \varphi_{\gamma, p}^{\prime \prime}\left(|u(\tau)|^{2}\right)|u(\tau)|^{4} d \tau
\end{aligned}
$$

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金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partialResidual

随机偏微分方程代写

金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Residual

有了定理2.1,我们可以得出以下 ansatz
u(t)=\varepsilon a\left(\varepsilon^{2} t\right)+\mathcal{O}\left(\varepsilon^{2}\right), \quad \text { 其中 } 一个 \in \mathcal{N} 。使用与第1.1 节 .1u(t)=εa(ε2t)+O(ε2), where a∈N.
完全类似的形式计算,以\varepsilon>0的最低阶产生以下幅度方程:da=A_{c} a+\mathcal{F}{c}(a)+ad \tilde {\beta},其中{\bar{\beta}(T)}{T \geq 0}定义为\bar{\beta}(T)=\varepsilon \beta\left(\varepsilon^{-2} T \right)是布朗运动\beta的重新缩放版本1.1.1ε>0
da=Aca+Fc(a)+adβ~,β¯(T)T≥0β¯(T)=εβ(ε−2T)β. 像往常一样,我们考虑伊藤意义上的方程。再次注意,如第 1.1.1 节所述,幅度方程的固定实现显然取决于ε,但在分布中,解与ε无关。对于( 2.15)
的解a ,我们定义残差^{2} t\right) &+\varepsilon \mathrm{e}^{t L} a(0)+\varepsilon^{2} \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{( t-\tau) L} a\left(\varepsilon^{2} \tau\right) d \beta(\tau) \ &+\varepsilon^{3} \int_{0}^{t} \mathrm{ e}^{(t-\tau) L}[A a+\mathcal{F}(a)]\left(\varepsilon^{2} \tau\right) d \tau \end{aligned}我们证明:a
Res⁡(εa)(ε2t)=−εa(ε2t)+εetLa(0)+ε2∫0te(t−τ)La(ε2τ)dβ(τ) +ε3∫0te(t−τ)L[Aa+F(a)](ε2τ)dτ

定理 2.2(残差)让假设 2.1、2.2 和 2.3 为真。那么对于所有p>43,δ>0和T0>0有一个常数C>0使得
PcRes⁡(εa)(ε2t)=0和E(supt∈[0,T0ε−2]|PsRes⁡(εa)(ε2t)|p)≤Cε3p
对于所有足够小的ε>0和 (2.15) 的所有解 a 与E|a(0)|3p≤δε3p .

金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Approximation

定义余数R,也就是我们的逼近的误差,如
ε2R(t)=u(t)−εa(ε2t)
我们拆分
R=Rc+Rs with Rc=PcR and Rs=PsR.
首先,我们使用对P_{s} u的先验估计来处理R_{s}。P_{s} u上的这些信息对于结果来说不是必需的,因为我们可以使用截断技术来产生局部结果,但在这里它有助于大大简化证明。由于对\mathcal{F}的非常强的稳定性假设,对u的先验估计是可能的。我们的主要结果如下:RsPsuPsuuF

定理 2.3(近似) 让假设 2.1、2.2 和2.3为真。对于p>4,T0>0和δ>0有一个常数C>0使得对于X中 (2.3) 的所有强解u与\mathbb{E}|u(0)|^ {3 p} \leq \delta \varepsilon^{3 p} \quad \text { 和 } \quad \mathbb{E}\left|P_{s} u(0)\right|^{p} \leq \ delta \varepsilon^{3 p}对于所有\varepsilon \in(0,1),我们推导出\left.\mathbb{E}\left(\sup {t \in\left[0, T{0} e^ {-2}\right]} | P_{s} R(t)\right) |^{p}\right) \leq C \varepsilon^{p}和uX
E|u(0)|3p≤δε3p and E|Psu(0)|p≤δε3p
ε∈(0,1)
E(supt∈[0,T0e−2]|PsR(t))|p)≤Cεp

E(supt∈[0,Tbe−2]|PcR(t))|p)≤C
对于所有足够小的ε>0,其中a是 (2.15) 的解,使得a(0)= ε−1Pcu(0)。

金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|A priori Estimates for u

以下部分提供了 (2.3) 解的标准先验估计。尽管它们很简单,但它们仍然非常技术性。我们为证明中使用的E|u(t)|p和\mathbb{E}\left|P_{s} u(t)\right|^{p}建立界限E|Psu(t)|p定理 2.1。此外,我们绑定Esupt∈[0,T0e−2]|u(t)|p和引理2.1 Esupt∈[0,Tbe−2]|Psu(t)|p . 主要思想是将 Itô 公式应用于|u(t)|p并使用 (2.7) 中的强非线性稳定性条件。主要的技术障碍是先验我们不知道E|u(t)|p存在。因此,我们使用截止技术。

证明。(定理 2.1) 对于p≥2和γ>0考虑平滑有界φγ,p:[0,∞)→R使得0≤φγ,p(z)φp(z)=zp/2。更准确地说,定义
φγ,p(z):=(z1+γz)p/2 for z≥0.
现在很容易检查是否存在独立于\gamma的常数Cp和c_{p}使得对于z \geq 0cpγz≥0
0≤φγ,p′(z)z≤Cpφγ,p(z),−pφγ,p(z)≤φγ,p′′(z)z2≤Cpφγ,p(z), φγ,p′(z)z2=p2φγ,p(z)(p+2)/p,φγ,p′(z)z2≤p2φγ,p−2(z)=p2φγ,p(z)(p−2)/p.
将 Itô 公式应用到以得到tφγ,p(|u(t)|2)t<τe
dφγ,p(|u(t)|2)=φγ,p′(|u(t)|2)⟨u(t),Lu(t)+ε2Au(t)+F(u(t))⟩dt +φγ,p′(|u(t)|2)|u(t)|2[εdβ(t)+12ε2dt] +φγ,p′′(|u(t)|2)|u(t)|4ε2dt.
因此,对于,我们正在处理定义意义上的强解。t<τ02.4
Eφγ,p(|u(t)|2)−Eφγ,p(|u(0)|2) =∫0tEφγ,p′(|u(τ)|2)(u(τ),Lu(τ)+ε2Au(τ)+F(u(τ))⟩dτ +12ε2∫0tEφγ,p′(|u(τ)|2)|u(τ)|2dτ +ε2∫0tEφγ,p′′(|u(τ)|2)|u(τ)|4dτ

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

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