金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partialResults for Quadratic Nonlinearities

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随机偏微分方程通过随机力项和系数来概括偏微分方程。

研究最多的SPDEs之一是随机热方程,它可以正式写为
$$
\partial_{t} u=\Delta u+\xi,
$$

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PDF] Modelling, Identification, and Compensation of Complex Hysteretic and  log(t)-Type Creep Nonlinearities | Semantic Scholar
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partialResults for Quadratic Nonlinearities

金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Results for Quadratic Nonlinearities

This section states rigorous results for the approximation via amplitude equations for quadratic nonlinearities. We focus only on the interesting case, where $P_{c} B(a, a)=0$, which was discussed for additive noise on a formal level in Section 1.1.3. The case with $P_{c} B(a, a) \neq 0$ is similar to the cubic case. The formal result for our case is completely analogous to the one stated in Section 1.1.2, we summarise details below. Nevertheless, in this case in general we cannot bound moments of solutions. We have to use cut-off techniques in order to use moments.

Here we present a somewhat simpler model with multiplicative noise, in order to simplify the presentation. We review the results of [Blö05a] for additive noise in

Section 2.6. In [Blö05a] also fractional (i.e. smoother) additive noise was used, but we do not focus on that.
Consider
$$
\partial_{t} u=L u+\varepsilon^{2} A u+B(u, u)+\varepsilon u \dot{\beta},
$$
with $L$ and $A$ as in Assumption $2.1$ and $2.2$, and $B$ some bilinear mapping defined later on in Assumption 2.4.

Let us recall the formal derivation of the amplitude equation, which is similar to Section 1.1.3. Plugging the ansatz
$$
u(t)=\varepsilon a\left(\varepsilon^{2} t\right)+\varepsilon^{2} \psi_{o}\left(\varepsilon^{2} t\right)
$$
with $a \in \mathcal{N}$ and $\psi_{o} \in P_{s} X$ into (2.40), we derive in lowest order of $\varepsilon>0$
$\mathcal{O}\left(\varepsilon^{2}\right)$ in $\mathcal{N}: \quad 0=B_{c}(a, a)$,
$\mathcal{O}\left(\varepsilon^{3}\right)$ in $\mathcal{N}: \quad \partial_{T} a=A_{c} a+2 B_{c}\left(a, \psi_{o}\right)+a \partial_{T} \tilde{\beta}$,
$\mathcal{O}\left(\varepsilon^{2}\right)$ in $P_{s} X: \quad 0=L \psi_{o}+B_{s}(a, a) .$
Note that $\tilde{\beta}(T)=\varepsilon \beta\left(T \varepsilon^{-2}\right)$ is again a rescaled Brownian motion. From (2.41) we see that $B_{c}(a, a)=0\left(B_{c}:=P_{c} B\right.$, as usual $)$ is necessary for the approach presented. Finally, projecting (2.43) to $P_{s} X$ and solving for $\psi_{o}$ yields
$$
\partial_{T} a=A_{c} a-2 B_{c}\left(a, L_{s}^{-1} B_{s}(a, a)\right)+a \partial_{T} \tilde{\beta}
$$
or in integrated form
$$
a(T)=a(0)+\int_{0}^{T}\leftA_{c} a-2 B_{c}\left(a, L_{s}^{-1} B_{s}(a, a)\right)\right d \tau+\int_{0}^{T} a(\tau) d \tilde{\beta}(\tau)
$$
where we consider as before Itô-differentials. Nevertheless, as discussed before in Section 2.1, we could also consider Stratonovič-differentials everywhere, and still obtain the same result. An interesting feature of (2.45) is that the amplitude equation involves a cubic nonlinearity. Therefore, we can expect nonlinear stability of the amplitude equation, which is in general not present for the SPDE.

金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Attractivity

We use a cut-off technique, as in general we cannot control moments of solutions. There are some special cases like for instance one-dimensional Burgers, surface growth, or Kuramoto-Sivashinsky equation (see [BGR02; DPDT94; DE01]), where we actually can derive bounds for moments. But for our results it is enough to cut off the nonlinearity for large solutions, in order to keep it small for solutions that get too large.

This technique is well known for SDEs with blow-ups. See for example [McK69]. For a detailed discussion see Section $6.3$ of [HT94]. The idea is always to cut off the nonlinearities, in order to derive bounds for moments and to compute probabilities. But solutions of the modified equation with cut-off and the original equation coincide, as long as both are small. Note that for the local attractivity result we are anyway only interested in solutions that are small. To be more precise we look at solutions of order $\mathcal{O}(\varepsilon)$.

The main result is a local attractivity result for solutions of order $\mathcal{O}(\varepsilon)$. It shows that if $u(0)$ is of order $\mathcal{O}(\varepsilon)$, then at some time $t_{\varepsilon}=\mathcal{O}\left(\ln \left(\varepsilon^{-1}\right)\right)$ the probability is almost 1 that $u\left(t_{\varepsilon}\right)$ is still of order $\mathcal{O}(\varepsilon)$, but $P_{s} u\left(t_{e}\right)$ decreased to order $\mathcal{O}\left(\varepsilon^{2}\right)$.
Theorem 2.4 (Attractivity) Let Assumptions 2.1, 2.3, and 2.4 be true.
For all small $\kappa>0$, all $\delta>0$ and $p>0$ there are constants $C>0, \delta_{1}, \delta_{2}>0$ such that for $t_{e}=\frac{2}{\omega} \ln \left(\varepsilon^{-1}\right)$ and all mild solutions in the sense of Definition $2.5$
$$
\mathbb{P}\left(\left|u\left(t_{\varepsilon}\right)\right| \leq \delta_{1} \varepsilon,\left|P_{s} u\left(t_{\varepsilon}\right)\right| \leq \delta_{2} \varepsilon^{2}\right) \geq \mathbb{P}(|u(0)| \leq \delta \varepsilon)-C \varepsilon^{p}
$$
for all $\varepsilon \in(0,1)$.
The proof relies on the linear stability of (2.40) and cut-off techniques. We postpone the proof to Section $2.4 .4$ as it is not difficult but technical. Let us first discuss the results for the residual and the approximation.

金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Residual

For a solution of the amplitude equation $(2.45)$ and some $\psi(0)$, we consider the approximation $\varepsilon w$ given by $(2.47)$. The residual of $\varepsilon w$ is as usual defined as
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Res}(\varepsilon w)(t)=&-\varepsilon w(t)+\varepsilon \mathrm{e}^{t L} w(0)+\varepsilon^{2} \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{(t-\tau) L} w(\tau) d \beta(\tau) \
&+\int_{0}^{t} \mathrm{e}^{(t-\tau) L}\left\varepsilon^{3} A w+\varepsilon^{2} B(w)\right d \tau
\end{aligned}
$$
Theorem 2.5 (Residual) Let Assumptions 2.1, 2.3, and 2.4 be true.
For $p>4, \delta>0, T_{0}>0$ there is a constant $C>0$ such that for all approximations defined by (2.46) and (2.47), where a is a solution of (2.45), with $\mathbb{E}|a(0)|^{4 p} \leq \delta$ and $\mathbb{E}|\psi(0)|^{2 p} \leq \delta$ we have
$$
\mathbb{E}\left(\sup {t \in\left[0, T{0} \varepsilon^{-2}\right]}\left|P_{c} \operatorname{Res}(\varepsilon w)(t)\right|^{p}\right) \leq C \varepsilon^{2 p}
$$
and
$$
\mathbb{E}\left(\sup {t \in\left[0, T{0} \epsilon^{-2}\right]}\left|P_{s} \operatorname{Res}(\varepsilon w)(t)\right|^{p}\right) \leq C \varepsilon^{3 p-2}
$$
Furthermore $P_{c} \operatorname{Res}(\varepsilon w)$ is differentiable with
$$
\partial_{t} P_{c} \operatorname{Res}(\varepsilon w)(t)=\varepsilon^{4}\left[A_{c} \psi+B_{c}(\psi)\right]\left(\varepsilon^{2} t\right)
$$
The proof below is straightforward using the key Lemma 2.2. This lemma is a purely technical estimate, and we postpone the proof to Section 2.4.4.

Nonlinear regression - Wikipedia
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随机偏微分方程代写

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本节陈述了通过二次非线性的幅度方程进行近似的严格结果。我们只关注有趣的案例,其中磷C乙(一种,一种)=0,在第 1.1.3 节中对加性噪声进行了正式讨论。案例与磷C乙(一种,一种)≠0类似于立方情况。我们案例的正式结果与第 1.1.2 节中所述的完全类似,我们在下面总结细节。然而,在这种情况下,通常我们不能限制解的时刻。我们必须使用截止技术才能使用矩。

在这里,为了简化演示,我们展示了一个稍微简单的带有乘法噪声的模型。我们回顾了 [Blö05a] 中加性噪声的结果

第 2.6 节。在 [Blö05a] 中,也使用了分数(即更平滑的)加性噪声,但我们不关注这一点。
考虑
∂吨在=大号在+e2一种在+乙(在,在)+e在b˙,
和大号和一种如假设2.1和2.2, 和乙稍后在假设 2.4 中定义的一些双线性映射。

让我们回忆一下幅度方程的形式推导,类似于第 1.1.3 节。堵塞 ansatz
在(吨)=e一种(e2吨)+e2ψ这(e2吨)
和一种∈ñ和ψ这∈磷sX进入(2.40),我们以最低阶推导e>0
这(e2)在ñ:0=乙C(一种,一种),
这(e3)在ñ:∂吨一种=一种C一种+2乙C(一种,ψ这)+一种∂吨b~,
这(e2)在磷sX:0=大号ψ这+乙s(一种,一种).
注意b~(吨)=eb(吨e−2)又是一个重新缩放的布朗运动。从(2.41)我们看到乙C(一种,一种)=0(乙C:=磷C乙, 照常)对于所提出的方法是必要的。最后,将 (2.43) 投影到磷sX并解决ψ这产量
∂吨一种=一种C一种−2乙C(一种,大号s−1乙s(一种,一种))+一种∂吨b~
或以综合形式
$$
a(T)=a(0)+\int_{0}^{T}\left A_{c} a-2 B_{c}\left(a, L_{s}^{- 1} B_{s}(a, a)\right)\right d \tau+\int_{0}^{T} a(\tau) d \tilde{\beta}(\tau)
$$
我们认为在伊藤差速器之前。尽管如此,正如之前在 2.1 节中所讨论的,我们也可以在任何地方考虑 Stratonovič 微分,并且仍然获得相同的结果。(2.45) 的一个有趣特征是幅度方程包含三次非线性。因此,我们可以预期幅度方程的非线性稳定性,而 SPDE 通常不存在这种稳定性。

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我们使用截止技术,因为通常我们无法控制解决方案的时刻。有一些特殊情况,例如一维 Burgers、表面生长或 Kuramoto-Sivashinsky 方程(参见 [BGR02; DPDT94; DE01]),我们实际上可以推导出矩的界限。但是对于我们的结果来说,对于大解来说,为了保持它很小,对于变得太大的解来说,切断非线性就足够了。

这种技术对于带有爆炸的 SDE 是众所周知的。参见例如 [McK69]。有关详细讨论,请参阅第6.3[HT94]。这个想法总是要切断非线性,以便推导出矩的界限并计算概率。但修正方程的解与原方程重合,只要两者都很小。请注意,对于局部吸引力结果,我们无论如何只对小的解决方案感兴趣。更准确地说,我们着眼于顺序的解决方案这(e).

主要结果是有序解的局部吸引力结果这(e). 它表明如果在(0)是有序的这(e),然后在某个时候吨e=这(ln⁡(e−1))概率几乎是 1在(吨e)仍然有秩序这(e), 但磷s在(吨和)减少订购这(e2).
定理 2.4(吸引力) 假设 2.1、2.3 和 2.4 为真。
对于所有小ķ>0, 全部d>0和p>0有常数C>0,d1,d2>0这样对于吨和=2ωln⁡(e−1)以及所有定义意义上的温和解2.5
磷(|在(吨e)|≤d1e,|磷s在(吨e)|≤d2e2)≥磷(|在(0)|≤de)−Cep
对全部e∈(0,1).
证明依赖于 (2.40) 的线性稳定性和截止技术。我们将证明推迟到 Section2.4.4因为这并不难,但技术性很强。让我们首先讨论残差和近似的结果。

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对于振幅方程的解(2.45)还有一些ψ(0), 我们考虑近似e在由(2.47). 剩余的e在通常定义为
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Res}(\varepsilon w)(t)=&-\varepsilon w(t)+\varepsilon \mathrm{e}^{t L} w(0 )+\varepsilon^{2} \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{(t-\tau) L} w(\tau) d \beta(\tau) \
&+\int_{ 0}^{t} \mathrm{e}^{(t-\tau) L}\left \varepsilon^{3} A w+\varepsilon^{2} B(w)\right d \tau
\end{对齐}
吨H和这r和米2.5(R和s一世d在一种l)大号和吨一种ss在米p吨一世这ns2.1,2.3,一种nd2.4b和吨r在和.F这r$p>4,d>0,吨0>0$吨H和r和一世s一种C这ns吨一种n吨$C>0$s在CH吨H一种吨F这r一种ll一种ppr这X一世米一种吨一世这nsd和F一世n和db是(2.46)一种nd(2.47),在H和r和一种一世s一种s这l在吨一世这n这F(2.45),在一世吨H$和|一种(0)|4p≤d$一种nd$和|ψ(0)|2p≤d$在和H一种在和
\mathbb{E}\left(\sup {t \in\left[0, T{0} \varepsilon^{-2}\right]}\left|P_{c} \operatorname{Res}(\varepsilon w )(t)\right|^{p}\right) \leq C \varepsilon^{2 p}
一种nd
\mathbb{E}\left(\sup {t \in\left[0, T{0} \epsilon^{-2}\right]}\left|P_{s} \operatorname{Res}(\varepsilon w )(t)\right|^{p}\right) \leq C \varepsilon^{3 p-2}
F在r吨H和r米这r和$磷C水库⁡(e在)$一世sd一世FF和r和n吨一世一种bl和在一世吨H
\partial_{t} P_{c} \operatorname{Res}(\varepsilon w)(t)=\varepsilon^{4}\left[A_{c} \psi+B_{c}(\psi)\right] \left(\varepsilon^{2} t\right)
$$
下面的证明很简单,使用密钥引理 2.2。这个引理是一个纯粹的技术估计,我们将证明推迟到第 2.4.4 节。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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