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已知过去某一时刻s以及之前所有时刻的观测值，若某一时刻t的观测值的条件期望等于过去某一时刻s的观测值，则称这一随机过程是鞅论。
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金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Forward and Backward Recurrence Time
Let $F_{0}$ be the cumulative distribution function (c.d.f.) of $T_{1}$ under $P_{N}^{0}$, that is
$$
F_{0}(x)=P_{N}^{0}\left(T_{1} \leq x\right)
$$
Taking $A=\left{T_{1}>v,-T_{0}>w\right}$ in (1.2.26), with $v, w \in \mathbb{R}{+}$, and using the $P{N}^{0}$-a.s. relations $-T_{0} \circ \theta_{t}=t$ and $T_{1} \circ \theta_{t}=T_{1}-t$, which hold true for all $t \in\left[0, T_{1}\right)$, we obtain
$$
P\left(T_{1}>v,-T_{0}>w\right)=\lambda \int_{v+w}^{\infty}\left(1-F_{0}(u)\right) d u .
$$
In particular, taking $v=0$ and $w=0$, we obtain that $P\left(T_{1}>0,-T_{0}>0\right)=1$ since $\lambda \int_{0}^{\infty}\left(1-F_{0}(u)\right) d u=\lambda E_{N}^{0}\left[T_{1}\right]=1$.
Taking now $v=0$, we obtain
$$
P\left(-T_{0}>w\right)=\lambda \int_{w}^{\infty}\left(1-F_{0}(u)\right) d u
$$
Similarly
$$
P\left(T_{1}>v\right)=\lambda \int_{v}^{\infty}\left(1-F_{0}(u)\right) d u .
$$
Thus $-T_{0}$ and $T_{1}$ are identically distributed under $P$. The c.d.f.
$$
F(x)=\lambda \int_{0}^{x}\left(1-F_{0}(u)\right) d u, \quad x \geq 0
$$
is often referred to as the excess distribution of the c.d.f. $F_{0}$.
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|The Slivnyak Inverse Construction
Let $\left{\theta_{t}\right}, t \in \mathbb{R}$, be a flow on $(\Omega, \mathcal{F})$, and $N$ be a point process which is compatible with $\left{\theta_{t}\right}$. Let $P^{0}$ be a probability measure on $(\Omega, \mathcal{F})$ such that
$$
P^{0}\left(\Omega_{0}\right)=1,
$$
where $\Omega_{0}=\left{T_{0}=0\right}$. Suppose that $P^{0}$ is $\theta_{T_{n}}$-invariant:
$$
P^{0}\left(\theta_{T_{n}} \in .\right)=P^{0}(.), \quad n \in \mathbb{Z} .
$$
Moreover assume that the following three properties hold:
(i) $00\right]=1$,
(iii) $E^{0}[N(0, t]]<\infty, \quad \forall t0$.
We shall see that $P^{0}$ is then the Palm probability $P_{N}^{0}$ associated with the stationary point process $\left(N, \theta_{t}, P\right)$, for some probability $P$ which is $\theta_{t}$-invariant for all $t \in \mathbb{R}$. Moreover, in view of the inversion formula, $P$ will be unique.
As required by the inversion formula, if such a $P$ exists, it should satisfy
$$
P(A)=\frac{1}{E^{0}\left[T_{1}\right]} E^{0}\left[\int_{0}^{T_{1}}\left(1_{A} \circ \theta_{t}\right) d t\right], \quad A \in \mathcal{F}
$$
Clearly (1.3.19) defines a probability $P$ on $(\Omega, \mathcal{F})$. We must show that $P$ is $\theta_{t}$-invariant for all $t \in \mathbb{R}$, and that
(1.3.20)
$$
P_{N}^{0}=P^{0}
$$
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Other Inversion Formulas
The inversion formula (1.2.25) receives an interesting interpretation when written in the form
$$
E[f]=E_{N}^{0}\left[\lambda T_{1} \frac{1}{T_{1}} \int_{0}^{T_{1}} f \circ \theta_{t} d t\right]=E_{N}^{0}\left[\lambda T_{1} f \circ \theta_{V}\right]
$$
where $V$ is a random variable which, ‘conditionally upon everything else’, is uniformly distributed on $\left[0, T_{1}\right]$ (for the above to make sense, we must of course enlarge the probability space). This interpretation provides an explicit construction of $P$ from $P_{N}^{0}$. First construct the probability $P_{0}^{\prime}$ by
$(1.3 .23)$
$$
d P_{0}^{\prime}=\left(\lambda T_{1}\right) d P_{N}^{0} .
$$
Since $P_{N}^{0}\left(T_{0}=0\right)=1$ and $P_{0}^{\prime}$ is absolutely continuous with respect to $P_{N}^{0}$, $P_{0}^{\prime}\left(T_{0}=0\right)=1$. The stationary probability $P$ is then obtained by placing the origin at random in the interval $\left[0, T_{1}\right]$, that is
$$
E[f]=E_{0}^{\prime}\left[f \circ \theta_{V}\right]
$$
This construction seems to suggest that only the distributions of $T_{0}$ and $T_{1}$ are changed when passing from the Palm to the stationary probability. This is of course not true, since these two points may condition the distribution of other random variables. What is true is that, conditionally on $T_{0}$ and $T_{1}$, $P$ and $P_{N}^{0}$ are the same. In particular, if $\mathcal{G}$ is a sub $\sigma$-field of $\mathcal{F}$ such that $\mathcal{G}$ and $N$ are $P$ (resp. $P_{N}^{0}$ )-independent, then $\mathcal{G}$ and $N$ are also $P_{N}^{0}$ (resp. $P)$-independent.
In relation to what precedes, we mention yet another relation between $P$ and its Palm probability: for all $A \in \mathcal{F}$,
$$
P\left(\theta_{T_{0}}^{-1} A\right)=\lambda E_{N}^{0}\left[T_{1} 1_{A}\right] .
$$
The proof is immediate since this is just equality (1.3.22).
鞅论及其在金融中的应用代写
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Forward and Backward Recurrence Time
让F0是累积分布函数 (cdf)吨1在下面磷ñ0， 那是
F0(X)=磷ñ0(吨1≤X)
服用A=\left{T_{1}>v,-T_{0}>w\right}A=\left{T_{1}>v,-T_{0}>w\right}在 (1.2.26) 中，与 $v, w \in \mathbb{R} {+},一种nd在s一世nG吨H和P {N}^{0}−一种.s.r和l一种吨一世这ns-T_{0} \circ \theta_{t}=t一种ndT_{1} \circ \theta_{t}=T_{1}-t,在H一世CHH这ld吨r在和F这r一种llt \in\left[0, T_{1}\right),在和这b吨一种一世n磷(吨1>在,−吨0>在)=λ∫在+在∞(1−F0(在))d在.一世np一种r吨一世C在l一种r,吨一种ķ一世nGv = 0一种ndw = 0,在和这b吨一种一世n吨H一种吨P\left(T_{1}>0,-T_{0}>0\right)=1s一世nC和\lambda \int_{0}^{\infty}\left(1-F_{0}(u)\right) du=\lambda E_{N}^{0}\left[T_{1}\right]= 1.吨一种ķ一世nGn这在v=0$，我们得到磷(−吨0>在)=λ∫在∞(1−F0(在))d在
相似地
磷(吨1>在)=λ∫在∞(1−F0(在))d在.
因此−吨0和吨1同分布于磷. CDF
F(X)=λ∫0X(1−F0(在))d在,X≥0
通常被称为 cdf 的超额分配F0.
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|The Slivnyak Inverse Construction
让\left{\theta_{t}\right}, t \in \mathbb{R}\left{\theta_{t}\right}, t \in \mathbb{R}, 成为一个流动的(Ω,F)， 和ñ是一个与兼容的点过程\left{\theta_{t}\right}\left{\theta_{t}\right}. 让磷0是一个概率测度(Ω,F)这样
磷0(Ω0)=1,
在哪里\Omega_{0}=\left{T_{0}=0\right}\Omega_{0}=\left{T_{0}=0\right}. 假设磷0是θ吨n-不变量：
磷0(θ吨n∈.)=磷0(.),n∈从.
此外假设以下三个性质成立：
（i）00\右]=100\右]=1,
(iii)和0[ñ(0,吨]]<∞,∀吨0.
我们将看到磷0是手掌概率磷ñ0与驻点过程相关(ñ,θ吨,磷), 对于某个概率磷这是θ吨- 对所有人不变吨∈R. 此外，鉴于反演公式，磷将是独一无二的。
根据反演公式的要求，如果这样一个磷存在，应该满足
磷(一种)=1和0[吨1]和0[∫0吨1(1一种∘θ吨)d吨],一种∈F
显然（1.3.19）定义了一个概率磷在(Ω,F). 我们必须证明磷是θ吨- 对所有人不变吨∈R, 并且
(1.3.20)
磷ñ0=磷0
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Other Inversion Formulas
反演公式 (1.2.25) 在写成以下形式时会得到一个有趣的解释
和[F]=和ñ0[λ吨11吨1∫0吨1F∘θ吨d吨]=和ñ0[λ吨1F∘θ在]
在哪里在是一个随机变量，它“有条件地取决于其他一切”，均匀分布在[0,吨1]（为了使上述内容有意义，我们当然必须扩大概率空间）。这种解释提供了一个明确的结构磷从磷ñ0. 首先构造概率磷0′经过
(1.3.23)
d磷0′=(λ吨1)d磷ñ0.
自从磷ñ0(吨0=0)=1和磷0′是绝对连续的磷ñ0, 磷0′(吨0=0)=1. 平稳概率磷然后通过将原点随机放置在区间中来获得[0,吨1]， 那是
和[F]=和0′[F∘θ在]
这种结构似乎表明只有吨0和吨1从 Palm 传递到平稳概率时会发生变化。这当然不是真的，因为这两点可能会影响其他随机变量的分布。真实的是，有条件地吨0和吨1,磷和磷ñ0是相同的。特别是，如果G是一个子σ-现场F这样G和ñ是磷（分别。磷ñ0)-独立，则G和ñ也是磷ñ0（分别。磷)-独立的。
关于前面的，我们提到了另一个关系磷及其手掌概率：对所有人一种∈F,
磷(θ吨0−1一种)=λ和ñ0[吨11一种].
证明是直接的，因为这只是相等（1.3.22）。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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