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已知过去某一时刻s以及之前所有时刻的观测值，若某一时刻t的观测值的条件期望等于过去某一时刻s的观测值，则称这一随机过程是鞅论。
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金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|The Swiss Army Formula
Depending on which blade is selected, a Swiss army knife transforms itself into various useful tools. The formula obtained in this subsection is called the Swiss army formula of Palm calculus because it contains the main formulas of this theory, as well as some new ones.
Let $\left{T_{n}\right}$ and $\left{\tau_{n}\right}$ be two simple point processes on $R$ and let $A$ and $D$ be the associated counting measures. The sequence $\left{T_{n}\right}$ is supposed to satisfy the usual conventions. The sequence $\left{\tau_{n}\right}$ is also supposed to satisfy $D\left(\mathbb{R}{+}\right)=D\left(\mathbb{R}-\mathbb{R}{+}\right)=\infty$, but it need not be ordered. However, it is required that for each $n \in \mathbb{Z}$
$$
\tau_{n}-T_{n} \stackrel{\text { def }}{=} W_{n} \geq 0 .
$$
One could imagine that $T_{n}$ is the arrival time of customer $n$ in a system, and that $\tau_{n}$ is its departure time. Let ${X(t)}$ be a non-negative integer-valued process such that
$$
X(b)-X(a)=A((a, b])-D((a, b])
$$
The point processes $A$ and $D$ can have common points, and as a matter of fact, we shall consider the situation where $\tau_{n}=T_{n+1}$, that is $W_{n}=T_{n+1}-T_{n}$ and therefore $X(t) \equiv$ constant.
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Renewal Process
Let $\left(N, \theta_{t}, P\right)$ be a stationary point process with finite intensity $\lambda$ and $P_{N}^{0}$ be its Palm probability. Suppose moreover that under $P_{N}^{0}$, the inter-event sequence $\left(S_{n}, n \in \mathbb{Z}\right)$ defined by
$$
S_{n}=T_{n+1}-T_{n}
$$
is i.i.d. Then $\left(N, P_{N}^{0}\right)$ is called a renewal process and $(N, P)$ a stationary renewal process. The existence of such a mathematical object is granted by the results of $\S$ 1.3.5.
Property 1.4.1. The distribution of the sequence $S^{*}=\left{S_{n}\right}_{n \in Z-{0}}$ is the same under $P$ and $P_{N}^{0}$.
Proof: Let $g:\left(\mathbb{R}^{Z}, \mathcal{B}^{Z}\right) \rightarrow(\mathbb{R}, \mathcal{B})$ be an arbitrary non-negative measurable function. It suffices to show that
$$
E\left[g\left(S^{}\right)\right]=E_{N}^{0}\left[g\left(S^{}\right)\right] .
$$
By the inversion formula (1.2.25):
$$
E\left[g\left(S^{}\right)\right]=\lambda E_{N}^{0}\left[\int_{0}^{T_{1}} g\left(S^{}\left(\theta_{u}\right)\right) d u\right] .
$$
But if $u$ is in $\left[0, T_{1}\right)$, then $S^{}\left(\theta_{u}\right)=S^{}$, so that
$$
\begin{aligned}
E\left[g\left(S^{}\right)\right] &=\lambda E_{N}^{0}\left[\int_{0}^{T_{1}} g\left(S^{}\right) d u\right] \
&=\lambda E_{N}^{0}\left[T_{1}\right] E_{N}^{0}\left[g\left(S^{}\right)\right]=E_{N}^{0}\left[T_{1} g\left(S^{}\right)\right]
\end{aligned}
$$
where we have used the independence of $T_{1}=S_{0}$ and $S^{}$ under $P_{N^{}}^{0}$.
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Superposition of Independent Point Processes
The situation is that described in Example 1.1.2 with the additional assumption
$$
0<\lambda_{i}<\infty, \quad(1 \leq i \leq k)
$$
where $\lambda_{i}$ is the intensity of $N_{i}$. Recall that for each $1 \leq i \leq k,\left(\Phi_{i}, S_{t}^{(i)}, \mathcal{P}{i}\right)$ is a stationary point process. We shall denote by $\mathcal{P}{i}^{0}$ the associated Palm probability. We now prove the following formula:
$$
P_{N}^{0}=\sum_{i=1}^{k} \frac{\lambda_{i}}{\lambda}\left(\bigotimes_{j=1}^{i-1} \mathcal{P}{j}\right) \otimes \mathcal{P}{i}^{0} \otimes\left(\bigotimes_{j=i+1}^{k} \mathcal{P}{j}\right) $$ where $\lambda=\sum{i=1}^{k} \lambda_{i}$ is the intensity of $\left(N, \theta_{t}, P\right)$, the superposition of the independent point processes $\left(\Phi_{i}, S_{t}^{(i)}, \mathcal{P}{i}\right), 1 \leq i \leq k$. Proof: By definition, for $A=\prod{i=1}^{k} A_{i}$, where $A_{i} \in \mathcal{M}{i}$ $$ \begin{aligned} &P{N}^{0}(A)=\frac{1}{\lambda} E\left[\int_{(0,1]}\left(1_{A} \circ \theta_{s}\right) N(d s)\right] \
&=\frac{1}{\lambda} \int_{M_{1}} \ldots \int_{M_{k}} \int_{(0,1]} \sum_{j=1}^{k}\left(\prod_{i=1}^{k} 1_{A_{i}} \circ S_{t}^{(i)}\right) \Phi_{j}(d t) \mathcal{P}{1}\left(d m{1}\right) \ldots \mathcal{P}{k}\left(d m{k}\right) \
&=\sum_{j=1}^{k} \frac{1}{\lambda} \int_{M_{1}} \ldots \int_{M_{k}}\left{\int_{(0,1]}\left(\prod_{i=1}^{k} 1_{A_{i}} \circ S_{t}^{(i)}\right) \Phi_{j}(d t)\right} \mathcal{P}{1}\left(d m{1}\right) \ldots \mathcal{P}{k}\left(d m{k}\right)
\end{aligned}
$$
But by Fubini’s theorem and the definition of Palm probability $\mathcal{P}{j}^{0}$ $$ \begin{aligned} \frac{1}{\lambda{j}} \int_{M_{1}} & \cdots \int_{M_{k}}\left{\int_{(0,1]} \prod_{i=1}^{k}\left(1_{A_{i}} \circ S_{t}^{(i)}\right) \Phi_{j}(d t)\right} \mathcal{P}{1}\left(d m{1}\right) \ldots \mathcal{P}{k}\left(d m{k}\right) \
&=\mathcal{P}{j}^{0}\left(A{j}\right) \prod_{i=1, i \neq j}^{k} \mathcal{P}{i}\left(A{i}\right)
\end{aligned}
$$
where we have taken into account the $S_{t}^{(i)}$-invariance of $\mathcal{P}{i}$. Therefore $$ P{N}^{0}\left(\prod_{i=1}^{k} A_{i}\right)=\sum_{i=1}^{k}\left{\frac{\lambda_{i}}{\lambda} \mathcal{P}{i}^{0}\left(A{i}\right) \prod_{\substack{1 \leq j \leq k \ j \neq i}} \mathcal{P}{j}\left(A{j}\right)\right}
$$
which implies (1.4.5).
鞅论及其在金融中的应用代写
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|The Swiss Army Formula
根据选择的刀片，瑞士军刀可以将自己变成各种有用的工具。本小节得到的公式被称为棕榈微积分的瑞士军队公式，因为它包含了该理论的主要公式，以及一些新的公式。
让\left{T_{n}\right}\left{T_{n}\right}和\left{\tau_{n}\right}\left{\tau_{n}\right}是两个单点过程R然后让一种和D是相关的计数措施。序列\left{T_{n}\right}\left{T_{n}\right}应该满足通常的约定。序列\left{\tau_{n}\right}\left{\tau_{n}\right}也应该满足 $D\left(\mathbb{R} {+}\right)=D\left(\mathbb{R}-\mathbb{R} {+}\right)=\infty,b在吨一世吨n和和dn这吨b和这rd和r和d.H这在和在和r,一世吨一世sr和q在一世r和d吨H一种吨F这r和一种CHn \in \mathbb{Z}τn−吨n= 定义 在n≥0.这n和C这在ld一世米一种G一世n和吨H一种吨T_{n}一世s吨H和一种rr一世在一种l吨一世米和这FC在s吨这米和rn一世n一种s是s吨和米,一种nd吨H一种吨\tau_ {n}一世s一世吨sd和p一种r吨在r和吨一世米和.大号和吨{X(t)}b和一种n这n−n和G一种吨一世在和一世n吨和G和r−在一种l在和dpr这C和sss在CH吨H一种吨X(b)−X(一种)=一种((一种,b])−D((一种,b])吨H和p这一世n吨pr这C和ss和s一种一种ndDC一种nH一种在和C这米米这np这一世n吨s,一种nd一种s一种米一种吨吨和r这FF一种C吨,在和sH一种llC这ns一世d和r吨H和s一世吨在一种吨一世这n在H和r和\ tau_ {n} = T_ {n+1},吨H一种吨一世sW_{n}=T_{n+1}-T_{n}一种nd吨H和r和F这r和X(t) \equiv$ 常数。
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Renewal Process
让(ñ,θ吨,磷)是一个强度有限的驻点过程λ和磷ñ0是它的手掌概率。此外假设在磷ñ0, 事件间序列(小号n,n∈从)被定义为
小号n=吨n+1−吨n
是 iid 那么(ñ,磷ñ0)被称为更新过程，并且(ñ,磷)一个固定的更新过程。这样一个数学对象的存在是由§§ 1.3.5.
财产 1.4.1。序列的分布S^{*}=\left{S_{n}\right}_{n \in Z-{0}}S^{*}=\left{S_{n}\right}_{n \in Z-{0}}下是一样的磷和磷ñ0.
证明：让G:(R从,乙从)→(R,乙)是一个任意的非负可测函数。足以证明
和[G(小号)]=和ñ0[G(小号)].
由反演公式（1.2.25）：
和[G(小号)]=λ和ñ0[∫0吨1G(小号(θ在))d在].
但如果在在[0,吨1)， 然后小号(θ在)=小号， 以便
和[G(小号)]=λ和ñ0[∫0吨1G(小号)d在] =λ和ñ0[吨1]和ñ0[G(小号)]=和ñ0[吨1G(小号)]
我们使用了独立性吨1=小号0和小号在下面磷ñ0.
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Superposition of Independent Point Processes
这种情况在示例 1.1.2 中描述，并带有附加假设0<λ一世<∞,(1≤一世≤ķ)
在哪里λ一世是强度ñ一世. 回想一下，对于每个1≤一世≤ķ,(披一世,小号吨(一世),磷一世)是一个驻点过程。我们将表示为磷一世0相关的手掌概率。我们现在证明以下公式：
磷ñ0=∑一世=1ķλ一世λ(⨂j=1一世−1磷j)⊗磷一世0⊗(⨂j=一世+1ķ磷j)在哪里λ=∑一世=1ķλ一世是强度(ñ,θ吨,磷), 独立点过程的叠加(披一世,小号吨(一世),磷一世),1≤一世≤ķ. 证明：根据定义，对于一种=∏一世=1ķ一种一世， 在哪里一种一世∈米一世\begin{aligned} &P{N}^{0}(A)=\frac{1}{\lambda} E\left[\int_{(0,1]}\left(1_{A} \circ \theta_ {s}\right) N(d s)\right] \ &=\frac{1}{\lambda} \int_{M_{1}} \ldots \int_{M_{k}} \int_{(0,1 ]} \sum_{j=1}^{k}\left(\prod_{i=1}^{k} 1_{A_{i}} \circ S_{t}^{(i)}\right) \ Phi_{j}(d t) \mathcal{P}{1}\left(d m{1}\right) \ldots \mathcal{P}{k}\left(d m{k}\right) \ &=\sum_ {j=1}^{k} \frac{1}{\lambda} \int_{M_{1}} \ldots \int_{M_{k}}\left{\int_{(0,1]}\left (\prod_{i=1}^{k} 1_{A_{i}} \circ S_{t}^{(i)}\right) \Phi_{j}(d t)\right} \mathcal{P} {1}\left(d m{1}\right) \ldots \mathcal{P}{k}\left(d m{k}\right) \end{aligned}\begin{aligned} &P{N}^{0}(A)=\frac{1}{\lambda} E\left[\int_{(0,1]}\left(1_{A} \circ \theta_ {s}\right) N(d s)\right] \ &=\frac{1}{\lambda} \int_{M_{1}} \ldots \int_{M_{k}} \int_{(0,1 ]} \sum_{j=1}^{k}\left(\prod_{i=1}^{k} 1_{A_{i}} \circ S_{t}^{(i)}\right) \ Phi_{j}(d t) \mathcal{P}{1}\left(d m{1}\right) \ldots \mathcal{P}{k}\left(d m{k}\right) \ &=\sum_ {j=1}^{k} \frac{1}{\lambda} \int_{M_{1}} \ldots \int_{M_{k}}\left{\int_{(0,1]}\left (\prod_{i=1}^{k} 1_{A_{i}} \circ S_{t}^{(i)}\right) \Phi_{j}(d t)\right} \mathcal{P} {1}\left(d m{1}\right) \ldots \mathcal{P}{k}\left(d m{k}\right) \end{aligned}
但是通过 Fubini 定理和 Palm 概率的定义磷j0\begin{aligned} \frac{1}{\lambda{j}} \int_{M_{1}} & \cdots \int_{M_{k}}\left{\int_{(0,1]} \prod_ {i=1}^{k}\left(1_{A_{i}} \circ S_{t}^{(i)}\right) \Phi_{j}(d t)\right} \mathcal{P} {1}\left(d m{1}\right) \ldots \mathcal{P}{k}\left(d m{k}\right) \ &=\mathcal{P}{j}^{0}\left (A{j}\right) \prod_{i=1, i \neq j}^{k} \mathcal{P}{i}\left(A{i}\right) \end{aligned}\begin{aligned} \frac{1}{\lambda{j}} \int_{M_{1}} & \cdots \int_{M_{k}}\left{\int_{(0,1]} \prod_ {i=1}^{k}\left(1_{A_{i}} \circ S_{t}^{(i)}\right) \Phi_{j}(d t)\right} \mathcal{P} {1}\left(d m{1}\right) \ldots \mathcal{P}{k}\left(d m{k}\right) \ &=\mathcal{P}{j}^{0}\left (A{j}\right) \prod_{i=1, i \neq j}^{k} \mathcal{P}{i}\left(A{i}\right) \end{aligned}
我们已经考虑到小号吨(一世)- 不变性磷一世. 所以P{N}^{0}\left(\prod_{i=1}^{k} A_{i}\right)=\sum_{i=1}^{k}\left{\frac{\lambda_{ i}}{\lambda} \mathcal{P}{i}^{0}\left(A{i}\right) \prod_{\substack{1 \leq j \leq k \ j \neq i}} \数学{P}{j}\left(A{j}\right)\right}P{N}^{0}\left(\prod_{i=1}^{k} A_{i}\right)=\sum_{i=1}^{k}\left{\frac{\lambda_{ i}}{\lambda} \mathcal{P}{i}^{0}\left(A{i}\right) \prod_{\substack{1 \leq j \leq k \ j \neq i}} \数学{P}{j}\left(A{j}\right)\right}
这意味着（1.4.5）。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。