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已知过去某一时刻s以及之前所有时刻的观测值，若某一时刻t的观测值的条件期望等于过去某一时刻s的观测值，则称这一随机过程是鞅论。
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- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
- Foundations of Data Science 数据科学基础
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Ergodicity of a Flow
Discrete Flows. Let $\left(\Omega, \mathcal{F}, P^{0}\right)$ be a probability space and let $\theta$ be discrete flow, that is, a bijective and measurable map from $\Omega$ to itself, which preserves $P^{0}$, that is, $P^{0} \circ \theta=P^{0}$.
An event $A \in \mathcal{F}$ is said to be strictly invariant if $\theta^{-1} A=A$ and invariant if $P^{0}\left(A \Delta \theta^{-1} A\right)=0$, where $\Delta$ denotes the symmetrical difference. It is said to be $\theta$-contracting if $P^{0}\left(A^{c} \cap \theta^{-1} A\right)=0$.
Since the events $A$ and $\theta^{-1} A$ have the same probability, all $\theta$-contracting events are $\theta$-invariant.
Also notice that for all $\theta$-invariant events $A$, the event $B=\limsup _{n} \theta^{-n} A$ is strictly $\theta$-invariant and such that $P^{0}(A)=P^{0}(B)$. So, for all invariant events, there exists a strictly invariant event with the same probability.
The discrete flow $\theta$ is ergodic if all $\theta$-invariant events are of probability either 0 or 1 .
In view of the last observation, $\theta$ is ergodic if and only if all strictly $\theta$-invariant events are of probability either 0 or 1 .
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Invariant Event
Let $\left(N, \theta_{t}, P\right)$ be a stationary point process with non-zero and finite intensity and let $P_{N}^{0}$ be the associated Palm probability. Denote $\theta_{T_{1}}$ by $\theta$.
Property 1.6.1. Let $A \in \mathcal{F}$ be a $\left{\theta_{t}\right}$-invariant event. Then $P(A)=1$ if and only if $P_{N}^{0}(A)=1$.
Proof: If $P_{N}^{0}(A)=1$, the inversion formula $(1.2 .26)$ gives
$$
\begin{aligned}
P(A) &=\lambda \int_{0}^{\infty} P_{N}^{0}\left(u<T_{1}, \theta_{-u} A\right) d u \
&=\lambda \int_{0}^{\infty} P_{N}^{0}\left(u<T_{1}, A\right) d u \quad\left(\theta_{t} \text {-invariance of } A\right) \
&=\lambda \int_{0}^{\infty} P_{N}^{0}\left(u<T_{1}\right) d u \quad\left(P_{N}^{0}(A)=1\right) \
&=\lambda E_{0}^{0}\left[T_{1}\right]=1
\end{aligned}
$$
Conversely, supposing that $P(A)=1$,
$$
1=P(A)=\lambda \int_{0}^{\infty} P_{N}^{0}\left(u<T_{1}, A\right) d u
$$
and therefore, since $1=\lambda \int_{0}^{\infty} P_{N}^{0}\left(u<T_{1}\right) d u$,
$$
0=\lambda \int_{0}^{\infty} P_{N}^{0}\left(u<T_{1}, \bar{A}\right) d u .
$$
This implies $P_{N}^{0}\left(u<T_{1}, \bar{A}\right)=0, d u$-almost everywhere, from which we conclude that $P_{N}^{0}(A)=1$ (recall that $T_{1}<\infty$ a.s. since its mean is finite).
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Ergodicity Under the Stationary Probability
Let $\left(N, \theta_{t}, P\right)$ be a stationary point process with a finite intensity $\lambda$, and let $P_{N}^{0}$ be its associated Palm probability. Denote $\theta_{T_{1}}=\theta$.
Property 1.6.3. $\left(P, \theta_{t}\right)$ is ergodic if and only if $\left(P_{N}^{0}, \theta\right)$ is ergodic.
Proof: Suppose for instance that $\left(P, \theta_{t}\right)$ is ergodic and that $\left(P_{N}^{0}, \theta\right)$ is not. Then there must be a decomposition of the type (1.6.4). Let $P_{1}$ and $P_{2}$ be the stationary probabilities associated with $Q_{1}$ and $Q_{2}$ (see $\S 1.3 .5$ ). The inversion formula applied to (1.6.3) gives
$$
P=\alpha_{1} \frac{\lambda}{\lambda_{1}} P_{1}+\alpha_{2} \frac{\lambda}{\lambda_{2}} P_{2}
$$
where $\frac{1}{\lambda}=E_{N}^{0}\left[T_{1}\right], \frac{1}{\lambda_{1}}=E_{Q_{1}}\left[T_{1}\right], \frac{1}{\lambda_{2}}=E_{Q_{2}}\left[T_{1}\right]$ (note that $\lambda_{1}$ and $\lambda_{2}$ must be strictly positive). Therefore $\left(\theta_{t}, P\right)$ is not ergodic, hence a contradiction. The proof of the converse part is based on the observation that (1.6.6) implies
$$
P_{N}^{0}=\beta_{1} \frac{\lambda_{1}}{\lambda} P_{1, N}^{0}+\beta_{2} \frac{\lambda_{2}}{\lambda} P_{2, N}^{0},
$$
where $\lambda=E[N(0,1]], \lambda_{1}=E_{P_{1}}[N(0,1]], \lambda_{2}=E_{P_{2}}[N(0,1]]$.
鞅论及其在金融中的应用代写
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Ergodicity of a Flow
离散流。让(Ω,F,磷0)是一个概率空间，让θ是离散流，即从Ω对自己，它保存磷0， 那是，磷0∘θ=磷0.
一个事件一种∈F据说是严格不变的，如果θ−1一种=一种并且不变的 if磷0(一种Δθ−1一种)=0， 在哪里Δ表示对称差。据说是θ- 签约如果磷0(一种C∩θ−1一种)=0.
由于事件一种和θ−1一种有相同的概率，所有θ-承包事件是θ-不变的。
还要注意，对于所有θ- 不变事件一种， 事件乙=林汤nθ−n一种是严格的θ- 不变的，这样磷0(一种)=磷0(乙). 所以，对于所有不变的事件，都存在一个概率相同的严格不变的事件。
离散流θ如果全部是遍历的θ- 不变事件的概率为 0 或 1 。
鉴于最后的观察，θ是遍历的当且仅当所有严格θ- 不变事件的概率为 0 或 1 。
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Invariant Event
让(ñ,θ吨,磷)是一个具有非零和有限强度的驻点过程并且让磷ñ0是相关的手掌概率。表示θ吨1经过θ.
财产 1.6.1。让一种∈F做一个\left{\theta_{t}\right}\left{\theta_{t}\right}- 不变的事件。然后磷(一种)=1当且仅当磷ñ0(一种)=1.
证明：如果磷ñ0(一种)=1, 反演公式(1.2.26)给磷(一种)=λ∫0∞磷ñ0(在<吨1,θ−在一种)d在 =λ∫0∞磷ñ0(在<吨1,一种)d在(θ吨- 不变性 一种) =λ∫0∞磷ñ0(在<吨1)d在(磷ñ0(一种)=1) =λ和00[吨1]=1
相反，假设磷(一种)=1,
1=磷(一种)=λ∫0∞磷ñ0(在<吨1,一种)d在
因此，由于1=λ∫0∞磷ñ0(在<吨1)d在,
0=λ∫0∞磷ñ0(在<吨1,一种¯)d在.
这意味着磷ñ0(在<吨1,一种¯)=0,d在- 几乎无处不在，我们由此得出结论磷ñ0(一种)=1（回想起那个吨1<∞因为它的平均值是有限的）。
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Ergodicity Under the Stationary Probability
让(ñ,θ吨,磷)是一个强度有限的驻点过程λ， 然后让磷ñ0是其相关的手掌概率。表示θ吨1=θ.
财产 1.6.3。(磷,θ吨)是遍历的当且仅当(磷ñ0,θ)是遍历的。
证明：假设例如(磷,θ吨)是遍历的，并且(磷ñ0,θ)不是。然后必须有类型的分解（1.6.4）。让磷1和磷2是与相关的平稳概率问1和问2（看§§1.3.5）。应用于 (1.6.3) 的反演公式给出
磷=一种1λλ1磷1+一种2λλ2磷2
在哪里1λ=和ñ0[吨1],1λ1=和问1[吨1],1λ2=和问2[吨1]（注意λ1和λ2必须严格为正）。所以(θ吨,磷)不是遍历的，因此是矛盾的。逆部分的证明是基于（1.6.6）暗示的观察
磷ñ0=b1λ1λ磷1,ñ0+b2λ2λ磷2,ñ0,
在哪里λ=和[ñ(0,1]],λ1=和磷1[ñ(0,1]],λ2=和磷2[ñ(0,1]].
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。