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已知过去某一时刻s以及之前所有时刻的观测值，若某一时刻t的观测值的条件期望等于过去某一时刻s的观测值，则称这一随机过程是鞅论。
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金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|The Inversion Formula
The original ( $\theta_{t}$-invariant) probability can be recovered from the Palm probability. Let $h(\omega, t)$ be a real valued stochastic process such that
$$
\int_{\mathbb{R}} h(\omega, t) N(\omega, d t)=1 \quad P \text {-a.s. }
$$
From Mecke’s formula applied to $v(\omega, t)=h\left(\theta_{-t} \omega, t\right) f\left(\theta_{-t} \omega\right)$, it follows that for all non-negative random variables $f$,
$$
E[f]=\lambda \iint_{\Omega \times \mathbb{R}} h\left(\theta_{-t} \omega, t\right) f\left(\theta_{-t} \omega\right) P_{N}^{0}(d \omega) d t .
$$
When taking
$$
h(\omega, t)=1_{\left[T_{0}(\omega), 0\right)}(t),
$$
and when using the fact that $P_{N}^{0}$-a.s., $-T_{0} \circ \theta_{u}=u$ for all $u \in\left[0, T_{1}\right)$, we obtain the inversion formula of Ryll-Nardzewski and Slivnyak:
$$
E[f]=\lambda E_{N}^{0}\left[\int_{0}^{T_{1}}\left(f \circ \theta_{t}\right) d t\right] .
$$
In the special case $f=1_{A}, A \in \mathcal{F}$, this formula reads
$$
P(A)=\lambda \int_{0}^{\infty} P_{N}^{0}\left(T_{1}>t, \theta_{t} \in A\right) d t .
$$
Taking $f=1$ in (1.2.25) also gives:
$$
\lambda E_{N}^{0}\left[T_{1}\right]=1 .
$$
Exercise 1.2.2. (F) Prove that for all $n \in \mathbb{Z}$, and for all $f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$,
$$
E[f]=\lambda E_{N}^{0}\left[\int_{T_{n}}^{T_{n+1}}\left(f \circ \theta_{t}\right) d t\right]
$$
and for all $A \in \mathcal{F}$,
$$
P(A)=\lambda \int_{\mathbb{R}} P_{N}^{0}\left(T_{n}<t \leq T_{n+1}, \theta_{t} \in A\right) d t
$$
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|The Mean-Value Formulas
Let $\left(N, \theta_{t}, P\right)$ be a stationary point process with finite intensity, and let $P_{N}^{0}$ be the associated Palm probability. Let $\left{Z_{t}\right}, t \in \mathbb{R}$, be a stochastic process with values in a measurable space $(K, K)$ and such that
$$
Z_{t}=Z_{0} \circ \theta_{t} .
$$
Then, for all non-negative measurable functions $g:(K, \mathcal{K}) \rightarrow(\mathbb{R}, \mathcal{B})$
$$
E\left[g\left(Z_{0}\right)\right]=\frac{E_{N}^{0}\left[\int_{0}^{T_{1}} g\left(Z_{t}\right) d t\right]}{E_{N}^{0}\left[T_{1}\right]}
$$
and
$$
E_{N}^{0}\left[g\left(Z_{0}\right)\right]=\frac{E\left[\sum_{n \in \mathbb{Z}} g\left(Z_{T_{n}}\right) 1_{\left{T_{n} \in(0,1]\right}}\right]}{E\left[\sum_{n \in Z} 1_{\left{T_{n} \in(0,1]\right}}\right]}
$$
These formulas just rephrase the inversion formula (1.2.25) and the definition formula $(1.2 .1)$ of $P_{N}^{0}$.
Formula (1.3.2) is well-known in the context of the theory of renewal and regenerative processes.
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|The Neveu Exchange Formula
Let $\left(N, \theta_{t}, P\right)$ and $\left(N^{\prime}, \theta_{t}, P\right)$ be two stationary point processes with finite intensities $\lambda$ and $\lambda^{\prime}$ respectively. Note that $N$ and $N^{\prime}$ are jointly stationary, in the sense that their stationarity is relative to the same quadruple $\left(\Omega, \mathcal{F}, P, \theta_{t}\right)$.
The following formula, called the exchange formula, holds:
$$
\lambda E_{N}^{0}[f]=\lambda^{\prime} E_{N^{\prime}}^{0}\left[\int_{\left(0, T_{1}^{\prime}\right]}\left(f \circ \theta_{t}\right) N(d t)\right]
$$
for all non-negative measurable functions $f:(\Omega, \mathcal{F}) \rightarrow(\mathbb{R}, \mathcal{B})$. Here $T_{n}^{\prime}$ is the $n$-th point of $N^{\prime}$.
Proof: By the monotone convergence theorem, we may assume $f$ bounded (say by 1, without loss of generality). With all such $f$, we associate the function
$$
g \stackrel{\text { def }}{=} \int_{\left(T_{\mathrm{D}^{\prime}}, T_{1}\right]}\left(f \circ \theta_{t}\right) N(d t)
$$
For all $t \in \mathbb{R}{+}$, we have $$ \int{(0, t]}\left(f \circ \theta_{s}\right) N(d s)=\int_{(0, t]}\left(g \circ \theta_{s}\right) N^{\prime}(d s)+R(t)
$$
where $R(t)$ consists of two terms:
$$
R(t)=\int_{\left(0, T_{+}^{\prime}(0)\right]}\left(f \circ \theta_{s}\right) N(d s)-\int_{\left(t, T_{+}^{\prime}(t)\right]}\left(f \circ \theta_{s}\right) N(d s) .
$$
Here $T_{+}^{\prime}(t)$ is the first point of $N^{\prime}$ strictly larger than $t$.
For all $l>0$, define
$$
f_{l}=f 1_{\left{N\left(T_{\mathrm{b}}, T_{1}{ }^{\prime}\right] \leq l-1\right}}
$$
and let
$$
g l=\int_{\left\langle T_{0}{ }^{\prime}, T_{1}{ }^{\prime}\right]}\left(f_{l} \circ \theta_{t}\right) N(d t) .
$$
For these functions, each term in $R(t)$ is bounded by $l$, and therefore the expectations are finite. Moreover, by the $\theta_{t}$-invariance of $P$, they have the same expectations, so that $E[R(t)]=0$. We therefore have
$$
E\left[\int_{(0, t]}\left(f_{l} \circ \theta_{s}\right) N(d s)\right]=E\left[\int_{(0, t]}\left(g_{l} \circ \theta_{s}\right) N^{\prime}(d s)\right]
$$
This and (1.2.8) imply (1.3.4) with $f=f_{l}, g=g_{l}$. Letting $l$ go to infinity, we obtain (1.3.4).
鞅论及其在金融中的应用代写
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|The Inversion Formula
原本的 （θ吨-invariant) 概率可以从 Palm 概率中恢复。让H(ω,吨)是一个实值随机过程，使得
∫RH(ω,吨)ñ(ω,d吨)=1磷-作为
从 Mecke 公式应用于在(ω,吨)=H(θ−吨ω,吨)F(θ−吨ω)，因此对于所有非负随机变量F,
和[F]=λ∬Ω×RH(θ−吨ω,吨)F(θ−吨ω)磷ñ0(dω)d吨.
服用时
H(ω,吨)=1[吨0(ω),0)(吨),
当使用以下事实时磷ñ0-作为，−吨0∘θ在=在对全部在∈[0,吨1)，我们得到 Ryll-Nardzewski 和 Slivnyak 的反演公式：
和[F]=λ和ñ0[∫0吨1(F∘θ吨)d吨].
在特殊情况下F=1一种,一种∈F，这个公式读作
磷(一种)=λ∫0∞磷ñ0(吨1>吨,θ吨∈一种)d吨.
服用F=1在 (1.2.25) 中还给出：
λ和ñ0[吨1]=1.
练习 1.2.2。(F) 为所有人证明n∈从, 对于所有人F:Ω→R,
和[F]=λ和ñ0[∫吨n吨n+1(F∘θ吨)d吨]
并为所有人一种∈F,
磷(一种)=λ∫R磷ñ0(吨n<吨≤吨n+1,θ吨∈一种)d吨
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|The Mean-Value Formulas
让(ñ,θ吨,磷)是一个强度有限的驻点过程，令磷ñ0是相关的手掌概率。让\left{Z_{t}\right}, t \in \mathbb{R}\left{Z_{t}\right}, t \in \mathbb{R}, 是一个在可测空间中具有值的随机过程(ķ,ķ)并且这样
从吨=从0∘θ吨.
然后，对于所有非负可测函数G:(ķ,ķ)→(R,乙)
和[G(从0)]=和ñ0[∫0吨1G(从吨)d吨]和ñ0[吨1]
和
E_{N}^{0}\left[g\left(Z_{0}\right)\right]=\frac{E\left[\sum_{n \in \mathbb{Z}} g\left(Z_ {T_{n}}\right) 1_{\left{T_{n} \in(0,1]\right}}\right]}{E\left[\sum_{n \in Z} 1_{\left {T_{n} \in(0,1]\right}}\right]}E_{N}^{0}\left[g\left(Z_{0}\right)\right]=\frac{E\left[\sum_{n \in \mathbb{Z}} g\left(Z_ {T_{n}}\right) 1_{\left{T_{n} \in(0,1]\right}}\right]}{E\left[\sum_{n \in Z} 1_{\left {T_{n} \in(0,1]\right}}\right]}
这些公式只是对反演公式（1.2.25）和定义公式的改写(1.2.1)的磷ñ0.
公式（1.3.2）在更新和再生过程理论的背景下是众所周知的。
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|The Neveu Exchange Formula
让(ñ,θ吨,磷)和(ñ′,θ吨,磷)是具有有限强度的两个驻点过程λ和λ′分别。注意ñ和ñ′是共同平稳的，在某种意义上，它们的平稳性是相对于同一个四元组的(Ω,F,磷,θ吨).
下面的公式，称为交换公式，成立：
λ和ñ0[F]=λ′和ñ′0[∫(0,吨1′](F∘θ吨)ñ(d吨)]
对于所有非负可测函数F:(Ω,F)→(R,乙). 这里吨n′是个n-第一个点ñ′.
证明：根据单调收敛定理，我们可以假设F有界的（比如 1，不失一般性）。有了这一切F，我们关联函数
G= 定义 ∫(吨D′,吨1](F∘θ吨)ñ(d吨)
对于所有 $t \in \mathbb{R} {+},在和H一种在和$ \int {(0, t]}\left(f \circ \theta_{s}\right) N(ds)=\int_{(0, t]}\left(g \circ \theta_{s}\右）N^{\prime}(ds)+R(t)
在H和r和$R(吨)$C这ns一世s吨s这F吨在这吨和r米s:
R(t)=\int_{\left(0, T_{+}^{\prime}(0)\right]}\left(f \circ \theta_{s}\right) N(ds)-\int_ {\left(t, T_{+}^{\prime}(t)\right]}\left(f \circ \theta_{s}\right) N(ds) 。
H和r和$吨+′(吨)$一世s吨H和F一世rs吨p这一世n吨这F$ñ′$s吨r一世C吨l是l一种rG和r吨H一种n$吨$.F这r一种ll$l>0$,d和F一世n和
f_{l}=f 1_{\left{N\left(T_{\mathrm{b}}, T_{1}{ }^{\prime}\right] \leq l-1\right}}
一种ndl和吨
gl=\int_{\left\langle T_{0}{ }^{\prime}, T_{1}{ }^{\prime}\right]}\left(f_{l} \circ \theta_{t} \right) N(dt) 。
F这r吨H和s和F在nC吨一世这ns,和一种CH吨和r米一世n$R(吨)$一世sb这在nd和db是$l$,一种nd吨H和r和F这r和吨H和和Xp和C吨一种吨一世这ns一种r和F一世n一世吨和.米这r和这在和r,b是吨H和$θ吨$−一世n在一种r一世一种nC和这F$磷$,吨H和是H一种在和吨H和s一种米和和Xp和C吨一种吨一世这ns,s这吨H一种吨$和[R(吨)]=0$.在和吨H和r和F这r和H一种在和
E\left[\int_{(0, t]}\left(f_{l} \circ \theta_{s}\right) N(ds)\right]=E\left[\int_{(0, t] }\left(g_{l} \circ \theta_{s}\right) N^{\prime}(ds)\right]
$$
这和 (1.2.8) 暗示 (1.3.4) 与F=Fl,G=Gl. 让l到无穷大，我们得到 (1.3.4)。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。