金融代写|风险理论投资组合代写Market Risk, Measures and Portfolio 代考|JOINT PROBABILITY DISTRIBUTIONS

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为了衡量市场风险,投资者和分析师使用风险值(VaR)方法。风险值建模是一种统计风险管理方法,它可以量化股票或投资组合的潜在损失,以及该潜在损失发生的概率。

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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
金融代写|风险理论投资组合代写Market Risk, Measures and Portfolio 代考|JOINT PROBABILITY DISTRIBUTIONS

金融代写|风险理论投资组合代写Market Risk, Measures and Portfolio 代考|Conditional Probability

A useful concept in understanding the relationship between multiple random variables is that of conditional probability. Consider the returns on the stocks of two companies in one and the same industry. The future return $X$ on the stocks of company 1 is not unrelated to the future return $Y$ on the stocks of company 2 because the future development of the two companies is driven to some extent by common factors since they are in one and the same industry. It is a reasonable question to ask, what is the probability that the future return $X$ is smaller than a given percentage, e.g. $X \leq-2 \%$, on condition that $Y$ realizes a huge loss, e.g. $Y \leq-10 \%$ ? Essentially, the conditional probability is calculating the probability of an event provided that another event happens. If we denote the first event by $A$ and the second event by $B$, then the conditional probability of $A$ provided that $B$ happens, denoted by $P(A \mid B)$, is given by the formula,
$$
P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}
$$
which is also known as the Bayes formula. According to the formula, we divide the probability that both events $A$ and $B$ occur simultaneously, denoted by $A \cap B$, by the probability of the event $B$. In the two-stock example, the formula is applied in the following way,
$$
P(X \leq-2 \% \mid Y \leq-10 \%)=\frac{P(X \leq-2 \%, Y \leq-10 \%)}{P(Y \leq-10 \%)}
$$
Thus, in order to compute the conditional probability, we have to be able to calculate the quantity
$$
P(X \leq-2 \%, Y \leq-10 \%)
$$
which represents the joint probability of the two events.

金融代写|风险理论投资组合代写Market Risk, Measures and Portfolio 代考|Definition of Joint Probability Distributions

A portfolio or a trading position consists of a collection of financial assets. Thus, portfolio managers and traders are interested in the return on a portfolio or a trading position. Consequently, in real-world applications, the interest is in the joint probability distribution or joint distribution of more than one random variable. For example, suppose that a portfolio consists of a position in two assets, asset 1 and asset 2 . Then there will be a probability distribution for (1) asset 1 , (2) asset 2, and (3) asset 1 and asset 2. The first two distributions are referred to as the marginal probability distributions or marginal distributions. The distribution for asset 1 and asset 2 is called the joint probability distribution.

Like in the univariate case, there is a mathematical connection between the probability distribution $P$, the cumulative distribution function $F$, and the density function $f$ of a multivariate random variable (also called a random vector) $X=\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)$. The formula looks similar to the equation we presented in the previous chapter showing the mathematical connection between a probability density function, a probability distribution, and a cumulative distribution function of some random variable $X$ :
$$
\begin{aligned}
P\left(X_{1} \leq t_{1}, \ldots, X_{n} \leq t_{n}\right) &=F_{X}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right) \
&=\int_{-\infty}^{t_{1}} \ldots \int_{-\infty}^{t_{n}} f_{X}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) d x_{1} \ldots d x_{n}
\end{aligned}
$$
The formula can be interpreted as follows. The joint probability that the first random variable realizes a value less than or equal to $t_{1}$ and the second less than or equal to $t_{2}$ and so on is given by the cumulative distribution function $F$. The value can be obtained by calculating the volume under the density function $f$. Because there are $n$ random variables, we have now $n$ arguments for both functions: the density function and the cumulative distribution function.

It is also possible to express the density function in terms of the distribution function by computing sequentially the first-order partial derivatives of the distribution function with respect to all variables,
$$
f_{X}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\frac{\partial^{n} F_{X}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}{\partial x_{1} \ldots \partial x_{n}}
$$

金融代写|风险理论投资组合代写Market Risk, Measures and Portfolio 代考|Dependence of Random Variables

Typically, when considering multivariate distributions, we are faced with inference between the distributions; that is, large values of one random variable imply large values of another random variable or small values of a third random variable. If we are considering, for example, $X_{1}$, the height of a randomly chosen U.S. citizen, and $X_{2}$, the weight of this citizen, then large values of $X_{1}$ tend to result in large values of $X_{2}$. This property is denoted as the dependence of random variables and a powerful concept to measure dependence will be introduced in a later section on copulas.

The inverse case of no dependence is denoted as stochastic independence. More precisely, two random variables are independently distributed if and only if their joint distribution given in terms of the joint cumulative distribution function $F$ or the joint density function $f$ equals the product of their marginal distributions:
$$
\begin{aligned}
&F_{X}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=F_{X_{1}}\left(x_{1}\right) \ldots F_{X_{n}}\left(x_{n}\right) \
&f_{X}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=f_{X_{1}}\left(x_{1}\right) \ldots f_{X_{n}}\left(x_{n}\right)
\end{aligned}
$$
In the special case of $n=2$, we can say that two random variables are said to be independently distributed, if knowing the value of one random variable does not provide any information about the other random variable. For instance, if we assume in the example developed in section 1.6.1 that the two events $X \leq-2 \%$ and $Y \leq-10 \%$ are independent, then the conditional probability in equation (1.1) equals
$$
\begin{aligned}
P(X \leq-2 \% \mid Y \leq-10 \%) &=\frac{P(X \leq-2 \%) P(Y \leq-10 \%)}{P(Y \leq-10 \%)} \
&=P(X \leq-2 \%)
\end{aligned}
$$
Indeed, under the assumption of independence, the event $Y \leq-10 \%$ has no influence on the probability of the other event.

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风险理论投资组合代写

金融代写|风险理论投资组合代写Market Risk, Measures and Portfolio 代考|Conditional Probability

理解多个随机变量之间关系的一个有用概念是条件概率。考虑同一行业中两家公司的股票回报。未来的回报X公司1的股票与未来收益不无关系是2公司的股票,因为两家公司同业,未来发展在一定程度上是受共同因素驱动的。这是一个合理的问题,未来回报的概率是多少X小于给定百分比,例如X≤−2%, 条件是是实现了巨大的损失,例如是≤−10%? 本质上,条件概率是计算一个事件发生的概率,前提是另一个事件发生。如果我们将第一个事件表示为一种第二个事件是乙, 那么条件概率一种前提是乙发生,表示为磷(一种∣乙), 由公式给出,
磷(一种∣乙)=磷(一种∩乙)磷(乙)
这也称为贝叶斯公式。根据公式,我们划分两个事件的概率一种和乙同时发生,记为一种∩乙,由事件的概率乙. 在两只股票的例子中,公式以下列方式应用,
磷(X≤−2%∣是≤−10%)=磷(X≤−2%,是≤−10%)磷(是≤−10%)
因此,为了计算条件概率,我们必须能够计算数量
磷(X≤−2%,是≤−10%)
表示两个事件的联合概率。

金融代写|风险理论投资组合代写Market Risk, Measures and Portfolio 代考|Definition of Joint Probability Distributions

投资组合或交易头寸由一系列金融资产组成。因此,投资组合经理和交易员对投资组合或交易头寸的回报感兴趣。因此,在实际应用中,兴趣在于联合概率分布或多个随机变量的联合分布。例如,假设一个投资组合包含两个资产的头寸,资产 1 和资产 2。然后将有(1)资产 1、(2)资产 2 和(3)资产 1 和资产 2 的概率分布。前两个分布称为边际概率分布或边际分布。资产 1 和资产 2 的分布称为联合概率分布。

与单变量情况一样,概率分布之间存在数学联系磷, 累积分布函数F, 和密度函数F多元随机变量(也称为随机向量)X=(X1,…,Xn). 该公式看起来类似于我们在前一章中提出的方程式,显示了概率密度函数、概率分布和某个随机变量的累积分布函数之间的数学联系X :
磷(X1≤吨1,…,Xn≤吨n)=FX(吨1,…,吨n) =∫−∞吨1…∫−∞吨nFX(X1,…,Xn)dX1…dXn
该公式可以解释如下。第一个随机变量实现小于或等于的值的联合概率吨1第二个小于或等于吨2依此类推由累积分布函数给出F. 该值可以通过计算密度函数下的体积得到F. 因为有n随机变量,我们现在有n两个函数的参数:密度函数和累积分布函数。

通过顺序计算分布函数对所有变量的一阶偏导数,也可以用分布函数来表示密度函数,
FX(X1,…,Xn)=∂nFX(X1,…,Xn)∂X1…∂Xn

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通常,在考虑多元分布时,我们面临分布之间的推断;也就是说,一个随机变量的大值意味着另一个随机变量的大值或第三个随机变量的小值。例如,如果我们正在考虑,X1,随机选择的美国公民的身高,以及X2,这个公民的权重,那么大的值X1往往会导致较大的值X2. 该属性被表示为随机变量的依赖性,并且将在后面关于 copula 的部分中介绍测量依赖性的强大概念。

不依赖的相反情况称为随机独立。更准确地说,两个随机变量是独立分布的当且仅当它们的联合分布根据联合累积分布函数给出F或联合密度函数F等于它们的边际分布的乘积:
FX(X1,…,Xn)=FX1(X1)…FXn(Xn) FX(X1,…,Xn)=FX1(X1)…FXn(Xn)
在特殊情况下n=2,我们可以说两个随机变量是独立分布的,如果知道一个随机变量的值并不能提供关于另一个随机变量的任何信息。例如,如果我们在 1.6.1 节开发的示例中假设两个事件X≤−2%和是≤−10%是独立的,则等式(1.1)中的条件概率等于
磷(X≤−2%∣是≤−10%)=磷(X≤−2%)磷(是≤−10%)磷(是≤−10%) =磷(X≤−2%)
事实上,在独立的假设下,事件是≤−10%对其他事件的概率没有影响。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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