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金融代写|风险理论投资组合代写Market Risk, Measures and Portfolio 代考|Chebyshev’s Inequality
Some of the topics discussed in the book concern a setting in which we are not aware of the particular distribution of a random variable or the particular joint probability distribution of a pair of random variables. In such cases, the analysis may require us to resort to general arguments based on certain general inequalities from the theory of probability. In this section, we give an account of such inequalities and provide illustration where possible.
Chebyshev’s inequality provides a way to estimate the approximate probability of deviation of a random variable from its mean. Its most simple form concerns positive random variables.
Suppose that $X$ is a positive random variable, $X>0$. The following inequality is known as Chebyshev’s inequality,
$$
P(X \geq \epsilon) \leq \frac{E X}{\epsilon},
$$
where $\epsilon>0$. In this form, equation $(1.5)$ can be used to estimate the probability of observing a large observation by means of the mathematical expectation and the level $\epsilon$. Chebyshev’s inequality is rough as demonstrated geometrically in the following way. The mathematical expectation of a positive continuous random variable admits the representation,
$$
E X=\int_{0}^{\infty} P(X \geq x) d x,
$$
which means that it equals the area closed between the distribution function and the upper limit of the distribution function. This area is illustrated in Figure $1.9$ as the shaded area above the distribution function. On the other hand, the quantity $\epsilon P(X \geq \epsilon)=\epsilon\left(1-F_{X}(x)\right)$ is equal to the area of the rectangle in the upper-left corner of Figure $1.9$. In effect, the inequality
$$
\epsilon P(X \geq \epsilon) \leq E X
$$
admits the following geometric interpretation-the area of the rectangle is smaller than the shaded area in Figure 1.9.
For an arbitrary random variable, Chebychev’s inequality takes the form
$$
P\left(|X-E X| \geq \epsilon \sigma_{X}\right) \leq \frac{1}{\epsilon^{2}}
$$
where $\sigma_{X}$ is the standard deviation of $X$ and $\epsilon>0$. We use Chebyshev’s inequality in Chapter 6 in the discussion of dispersion measures.
金融代写|风险理论投资组合代写Market Risk, Measures and Portfolio 代考|Frechet-Hoeffding Inequality
Consider an $n$-dimensional random vector $Y$ with a distribution function $F_{Y}\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$. Denote by
$$
W\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)=\max \left(F_{Y_{1}}\left(y_{1}\right)+\cdots+F_{Y_{n}}\left(y_{n}\right)+1-n, 0\right)
$$
and by
$$
M\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)=\min \left(F_{Y_{1}}\left(y_{1}\right), \ldots, F_{Y_{n}}\left(y_{n}\right)\right)
$$
in which $F_{Y_{i}}\left(y_{i}\right)$ stands for the distribution function of the $i$-th marginal. The following inequality is known as Fréchet-Hoeffding inequality,
$$
W\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) \leq F_{Y}\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) \leq M\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) .
$$
The quantities $W\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$ and $M\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$ are also called the Fréchet lower bound and the Fréchet upper bound. We apply FréchetHoeffding inequality in the two-dimensional case in Chapter 3 when discussing minimal probability metrics.
Since copulas are essentially probability distributions defined on the unit hypercube, Fréchet-Hoeffding inequality holds for them as well. In this case, it has a simpler form because the marginal distributions are uniform. The lower and the upper Fréchet bounds equal
and
$$
\begin{gathered}
W\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)=\max \left(u_{1}+\cdots+u_{n}+1-n, 0\right) \
M\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)=\min \left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)
\end{gathered}
$$
respectively. Fréchet-Hoeffding inequality is given by
$$
W\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \leq C\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \leq M\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) .
$$
In the two-dimensional case, the inequality reduces to
$$
\max \left(u_{1}+u_{2}-1,0\right) \leq C\left(u_{1}, u_{2}\right) \leq \min \left(u_{1}, u_{2}\right) .
$$
In the two-dimensional case only, the lower Fréchet bound, sometimes referred to as the minimal copula, represents perfect negative dependence between the two random variables. In a similar way, the upper Fréchet bound, sometimes referred to as the maximal copula, represents perfect positive dependence between the two random variables.
金融代写|风险理论投资组合代写Market Risk, Measures and Portfolio 代考|SUMMARY
We considered a number of concepts from probability theory that will be used in later chapters in this book. We discussed the notions of a random variable and a random vector. We considered one-dimensional and multidimensional probability density and distributions functions, which completely characterize a given random variable or random vector. We discussed statistical moments and quantiles, which represent certain characteristics of a random variable, and the sample moments which provide a way of estimating the corresponding characteristics from historical data. In the multidimensional case, we considered the notion of dependence between the components of a random vector. We discussed the covariance matrix versus the more general concept of a copula function. Finally, we described two probabilistic inequalities, Chebychev’s inequality and Fréchet-Hoeffding inequality.
风险理论投资组合代写
金融代写|风险理论投资组合代写Market Risk, Measures and Portfolio 代考|Chebyshev’s Inequality
本书中讨论的一些主题涉及我们不知道随机变量的特定分布或一对随机变量的特定联合概率分布的设置。在这种情况下，分析可能需要我们求助于基于概率论中某些一般不等式的一般论证。在本节中，我们将对此类不平等进行说明，并在可能的情况下提供说明。
切比雪夫不等式提供了一种估计随机变量偏离其均值的近似概率的方法。它最简单的形式涉及正随机变量。
假设X是一个正随机变量，X>0. 以下不等式称为切比雪夫不等式，
磷(X≥ε)≤和Xε,
在哪里ε>0. 在这种形式中，方程(1.5)可用于通过数学期望和水平估计观察到大观察的概率ε. 切比雪夫不等式是粗略的，如下面的几何证明。正连续随机变量的数学期望允许表示，
和X=∫0∞磷(X≥X)dX,
这意味着它等于分布函数和分布函数上限之间的闭合区域。该区域如图所示1.9作为分布函数上方的阴影区域。另一方面，数量ε磷(X≥ε)=ε(1−FX(X))等于图左上角矩形的面积1.9. 实际上，不等式
ε磷(X≥ε)≤和X
承认以下几何解释——矩形的面积小于图 1.9 中的阴影区域。
对于任意随机变量，切比雪夫不等式采用以下形式
磷(|X−和X|≥εσX)≤1ε2
在哪里σX是标准差X和ε>0. 我们在第 6 章讨论离散度量时使用切比雪夫不等式。
金融代写|风险理论投资组合代写Market Risk, Measures and Portfolio 代考|Frechet-Hoeffding Inequality
考虑一个n维随机向量是具有分布函数F是(是1,…,是n). 表示为
在(是1,…,是n)=最大限度(F是1(是1)+⋯+F是n(是n)+1−n,0)
并通过
米(是1,…,是n)=分钟(F是1(是1),…,F是n(是n))
其中F是一世(是一世)代表分布函数一世-th 边缘。以下不等式称为 Fréchet-Hoeffding 不等式，
在(是1,…,是n)≤F是(是1,…,是n)≤米(是1,…,是n).
数量在(是1,…,是n)和米(是1,…,是n)也称为 Fréchet 下界和 Fréchet 上界。在第 3 章讨论最小概率度量时，我们将 FréchetHoeffding 不等式应用于二维情况。
由于 copula 本质上是在单位超立方体上定义的概率分布，因此 Fréchet-Hoeffding 不等式也适用于它们。在这种情况下，它具有更简单的形式，因为边缘分布是均匀的。下界和上界 Fréchet 相等
且
在(在1,…,在n)=最大限度(在1+⋯+在n+1−n,0) 米(在1,…,在n)=分钟(在1,…,在n)
分别。Fréchet-Hoeffding 不等式由下式给出
在(在1,…,在n)≤C(在1,…,在n)≤米(在1,…,在n).
在二维情况下，不等式简化为
最大限度(在1+在2−1,0)≤C(在1,在2)≤分钟(在1,在2).
仅在二维情况下，Fréchet 下界，有时称为最小 copula，表示两个随机变量之间的完全负相关。以类似的方式，Fréchet 上界，有时称为最大 copula，表示两个随机变量之间的完全正相关。
金融代写|风险理论投资组合代写Market Risk, Measures and Portfolio 代考|SUMMARY
我们考虑了一些概率论中的概念，这些概念将在本书后面的章节中使用。我们讨论了随机变量和随机向量的概念。我们考虑了一维和多维概率密度和分布函数，它们完全表征给定的随机变量或随机向量。我们讨论了代表随机变量某些特征的统计矩和分位数，以及提供从历史数据估计相应特征的方法的样本矩。在多维情况下，我们考虑了随机向量分量之间的依赖关系。我们讨论了协方差矩阵与更一般的 copula 函数概念。最后，我们描述了两个概率不等式，
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。