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计量经济学，对经济关系的统计和数学分析，通常作为经济预测的基础。这种信息有时被政府用来制定经济政策，也被私人企业用来帮助价格、库存和生产方面的决策。
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商科代写|计量经济学代写Econometrics代考|Some Examples
Each of the loss functions that we discuss in this subsection corresponds to a machine learning algorithm, as thoroughly explained in Bühlmann and Hothorn (2007), Sect. 3. We refer to this article for more properties of these losses and for issues regarding their practical implementation.
- A first canonical example, in the regression setting, is to let $\psi(x, y)=(y-x)^{2}$ (squared error loss), which is 2 -strongly convex in its first argument (Assumption $\mathbf{A}{\mathbf{2}}$ ) and satisfies Assumption $\mathbf{A}{\mathbf{1}}$ as soon as $\mathbb{E} Y^{2}<\infty$. It also satisfies $\mathbf{A}{\mathbf{3}}^{\prime}$, with $\partial{x} \psi(x, y)=2(x-y)$ and $L=2$.
- Another example in regression is the loss $\psi(x, y)=|y-x|$ (absolute error loss), which is convex but not strongly convex in its first argument. Whenever strong convexity of the loss is required, a possible strategy is to regularize the objective via an $L^{2}$-type penalty, and take
$$
\psi(x, y)=|y-x|+\gamma x^{2},
$$
where $\gamma$ is a positive parameter (possibly function of the sample size $n$ in the empirical setting). This loss is (2 ) -strongly convex in $x$ and satisfies $\mathbf{A}{\mathbf{1}}$ and $\mathbf{A}{\mathbf{2}}$ whenever $\mathbb{E}|Y|<\infty$, with $\xi(x, y)=\operatorname{sgn}(x-y)+2 \gamma x$ (with $\operatorname{sgn}(u)=2 \mathbb{1}{[u>0]}-1$ for $u \neq 0$ and $\operatorname{sgn}(0)=0$ ). On the other hand, the function $\psi(\cdot, y)$ is not differentiable at $y$, so that the smoothness Assumption $\mathbf{A}{3}^{\prime}$ is not satisfied. However,
$$
\begin{aligned}
\mathbb{E}\left(\xi\left(x_{1}, Y\right)-\xi\left(x_{2}, Y\right) \mid X\right)=& \int\left(\operatorname{sgn}\left(x_{1}-y\right)-\operatorname{sgn}\left(x_{2}-y\right)\right) \mu_{Y \mid X}(\mathrm{~d} y)+2 \gamma\left(x_{1}-x_{2}\right) \
=& \mu_{Y \mid X}\left(\left(-\infty, x_{1}\right)\right)-\mu_{Y \mid X}\left(\left(-\infty, x_{2}\right)\right)+2 \gamma\left(x_{1}-x_{2}\right) \
&-\mu_{Y \mid X}\left(\left(x_{1}, \infty\right)\right)+\mu_{Y \mid X}\left(\left(x_{2}, \infty\right)\right) .
\end{aligned}
$$
Thus, if we assume for example that $\mu_{Y \mid X}$ has a density (with respect to the Lebesgue measure) bounded by $B$, then
$$
\left|\mathbb{E}\left(\xi\left(x_{1}, Y\right)-\xi\left(x_{2}, Y\right) \mid X\right)\right| \leq 2(B+\gamma)\left|x_{1}-x_{2}\right|,
$$
and Assumption $\mathbf{A}{3}$ is therefore satisfied. Of course, in the empirical setting, assuming that $\mu{Y \mid X}$ has a density precludes the use of the empirical measure $\mu_{n}$ for $\mu_{X, Y}$. A safe and simple alternative is to consider a smoothed version $\tilde{\mu}{n}$ of $\mu{n}$ (based, - for example, on a kernel estimate; see Devroye and Györfi 1985), and to minimize the functional
- $$
- C_{n}(F)=\int|y-F(x)| \tilde{\mu}{n}(\mathrm{~d} x, \mathrm{~d} y)+\gamma \int F(x)^{2} \tilde{\mu}{n}(\mathrm{~d} x)
- $$
- over the linear combinations of functions in $\mathscr{F}$.
商科代写|计量经济学代写Econometrics代考|Two Algorithms
Let $\operatorname{lin}(\mathscr{F})$ be the set of all linear combinations of functions in $\mathscr{F}$, our collection of base predictors in $L^{2}\left(\mu_{X}\right)$. So, each $F \in \operatorname{lin}(\mathscr{F})$ has the form $F=\sum_{j=1}^{J} \beta_{j} f_{j}$. where $\left(\beta_{1}, \ldots, \beta_{J}\right) \in \mathbb{R}^{J}$ and $f_{1}, \ldots, f_{J}$ are elements of $\mathscr{F}$. Finding the infimum of the functional $C$ over lin $(\mathscr{F})$ is a challenging infinite-dimensional optimization problem, which requires an algorithm. The core idea of the gradient boosting approach is to greedily locate the infimum by producing a combination of base predictors via a gradient-descent-type algorithm in $L^{2}\left(\mu_{X}\right)$. Focusing on the basics, this can be achieved by two related yet different strategies, which we examine in greater
mathematical details below. Algorithm 1 appears in Mason et al. (2000), whereas Algorithm 2 is essentially due to Friedman (2001).
It is implicitly assumed throughout this paragraph that Assumption $\mathbf{A}{\mathbf{1}}$ is satisfied. We recall that under this assumption, the convex functional $C$ is locally bounded and therefore continuous. Thus, in particular, $$ \inf {F \in \operatorname{lin}(\mathscr{F})} C(F)=\inf {F \in \operatorname{lin}(\mathscr{F})} C(F), $$ where $\varlimsup \overline{\operatorname{lin}(\mathscr{F})}$ is the closure of lin( $\mathscr{F})$ in $L^{2}\left(\mu{X}\right)$. Loosely speaking, looking for the infimum of $C$ over $\overline{\operatorname{lin}(\mathscr{F})}$ is the same as looking for the infimum of $C$ over all (finite) linear combinations of base functions in $\mathscr{F}$. We note in addition that if Assumption $\mathbf{A}{2}$ is satisfied, then there exists a unique function $\bar{F} \in \overline{\operatorname{lin}(\mathscr{F})}$ (which we call the boosting predictor) such that $$ C(\bar{F})=\inf {F \in \operatorname{lin}(\mathscr{F})} C(F)
$$
Algorithm 1. In this approach, we consider a class $\mathscr{F}$ of functions $f: \mathscr{X} \rightarrow \mathbb{R}$ such that $0 \in \mathscr{F}, f \in \mathscr{F} \Leftrightarrow-f \in \mathscr{F}$, and $|f|_{\mu_{X}}=1$ for $f \neq 0$. An example is the collection $\mathscr{F}$ of all $\pm$-binary trees in $\mathbb{R}^{d}$ using axis parallel cuts with $k$ terminal nodes (plus zero). Each nonzero $f \in \mathscr{F}$ takes the form $f=\sum_{j=1}^{k} \beta_{j} \mathbb{1}{A{j}}$, where $\left|\beta_{j}\right|=1$ and $A_{1}, \ldots, A_{k}$ is a tree-structured partition of $\mathrm{R}^{d}$ (Devroye et al. 1996, Chap. 20). The parameter $k$ is a measure of the tree complexity. For example, trees with $k=d+1$ are such that $\overline{\operatorname{lin}(\mathscr{F})}=L^{2}\left(\mu_{X}\right)$ (Breiman 2000). Thus, in this case,
$$
\inf {F \in \operatorname{lin}(\mathscr{F})} C(F)=\inf {F \in L^{2}\left(\mu_{X}\right)} C(F)
$$
商科代写|计量经济学代写Econometrics代考|Algorithm 1
The convergence of this algorithm rests upon the choice of the step size sequence $\left(w_{t}\right){t}$, which needs to be carefully specified. We take $w{0}>0$ arbitrarily and set
$$
w_{t+1}=\min \left(w_{t},-(2 L)^{-1} \mathbb{E} \xi\left(F_{t}(X), Y\right) f_{t+1}(X)\right), \quad t \geq 0,
$$
where $L$ is the Lipschitz constant of Assumption $\mathbf{A}{\mathbf{3}}$. Clearly, the sequence $\left(w{t}\right){t}$ is nonincreasing. It is also nonnegative. To see this, just note that, by definition, $$ f{t+1} \in \arg \max {f \in \mathscr{F}}-\mathbb{E} \xi\left(F{t}(X), Y\right) f(X),
$$
and thus, since $0 \in \mathscr{F},-\mathbb{E} \xi\left(F_{t}(X), Y\right) f_{t+1}(X) \geq 0$. The main result of this section is encapsulated in the following theorem.
Theorem 1 Assume that Assumptions $\mathbf{A}{\mathbf{1}}$ and $\mathbf{A}{\mathbf{3}}$ are satisfied, and let $\left(F_{t}\right){t}$ be defined by Algorithm 1 with $\left(w{t}\right){t}$ as in (8). Then $$ \lim {t \rightarrow \infty} C\left(F_{t}\right)=\inf {F \in \operatorname{lin}(\mathscr{F})} C(F) . $$ Proof See Supplementary Material Document. Observe that Theorem 1 holds without Assumption $\mathbf{A}{2}$, i.e., there is no need here to assume that the function $\psi(x, y)$ is strongly convex in $x$. However, whenever Assumption $\mathbf{A}_{2}$ is satisfied, there exists as in (4) a unique boosting predictor $\bar{F} \in \overline{\operatorname{lin}(\mathscr{F})}$ such that $C(\bar{F})=\inf {F \in \operatorname{lin}(\mathscr{F})} C(F)$, and the theorem guarantees that $\lim {t \rightarrow \infty} C\left(F_{t}\right)=C(\bar{F})$
The proof of the theorem relies on the following lemma, which states that the sequence $\left(C\left(F_{t}\right)\right){t}$ is nonincreasing. Since $C(F)$ is nonnegative for all $F$, we concludê thât $C\left(F{t}\right) \downarrow \inf {k} C\left(F{k}\right)$ â $t \rightarrow \infty$. This is thé kêy argumént tó prové thé convergence of $C\left(F_{t}\right)$ toward inf $F \in \operatorname{lin}(\mathscr{F}) C(F)$.
计量经济学代考
商科代写|计量经济学代写Econometrics代考|Some Examples
我们在本小节中讨论的每个损失函数都对应于机㕷学习算法，如 Bühlmann 和 Hothorn (2007), Sect. 3. 我们参考 这篇文章来了解这些损失的更多属性以及关于它们的实际实现的问题。
- 第一个典型的例子，在回归设置中，是让 $\psi(x, y)=(y-x)^{2}$ (平方误差损失)，它的第一个参数是 2 – 强 凸 (假设 $\mathbf{A} 2$ ) 并满足假设 $\mathbf{A 1}$ 立刻 $\mathbb{E} Y^{2}<\infty$. 也满足 $\mathbf{A} \mathbf{3}^{\prime}$ ， 和 $\partial x \psi(x, y)=2(x-y)$ 和 $L=2$.
- 回归中的另一个例子是损失 $\psi(x, y)=|y-x|$ (绝对误差损失)，它是凸的，但在其第一个参数中不是强 凸的。每当需要损失的强凸性时，一种可能的策略是通过 $L^{2}$-型惩罚，并采取
$$
\psi(x, y)=|y-x|+\gamma x^{2},
$$
在哪里 $\gamma$ 是一个正参数 (可能是样本量的函数 $n$ 在经验设置中) 。这种损失是 (2) – 在 $x$ 并满足 $\mathbf{A} 1$ 和 $\mathbf{A} 2$ 每当 $\mathbb{E}|Y|<\infty$ ，和 $\xi(x, y)=\operatorname{sgn}(x-y)+2 \gamma x($ 和 $\operatorname{sgn}(u)=21[u>0]-1$ 为了 $u \neq 0$ 和 $\operatorname{sgn}(0)=0$ ) 。另一方面，函数 $\psi(\cdot, y)$ 不可微分 $y$, 使平滑假设 $\mathbf{A} 3^{\prime}$ 不满意。然而，
$$
\mathbb{E}\left(\xi\left(x_{1}, Y\right)-\xi\left(x_{2}, Y\right) \mid X\right)=\int\left(\operatorname{sgn}\left(x_{1}-y\right)-\operatorname{sgn}\left(x_{2}-y\right)\right) \mu_{Y \mid X}(\mathrm{~d} y)+2 \gamma\left(x_{1}-x_{2}\right)=
$$
因此，如果我们假设例如 $\mu_{Y \mid X}$ 有一个密度（相对于 Lebesgue 测度) 为界 $B$ ，然后
$$
\left|\mathbb{E}\left(\xi\left(x_{1}, Y\right)-\xi\left(x_{2}, Y\right) \mid X\right)\right| \leq 2(B+\gamma)\left|x_{1}-x_{2}\right|,
$$
和假设 $\mathbf{A} 3$ 因此感到满意。当然，在经验设置中，假设 $\mu Y \mid X$ 有一个密度排除了经验测量的使用 $\mu_{n}$ 为了 $\mu_{X, Y}$. 一个安全且简单的替代方案是考虑平滑版本 $\tilde{\mu} n$ 的 $\mu n$ (基于， - 例如，在核估计上；参见 Devroye 和 Györfi 1985)，并最小化函数
- $\$ \$$
- C_{n}(F)=|int $|y F(x)| \backslash$ tilde ${\backslash m u}{n}(\backslash \operatorname{mathrm}{\sim d} x$, \mathrm ${\sim d} y)+\backslash$ gamma $\backslash$ int $F(x)^{\wedge}{2} \backslash t \mathrm{~ i l d e {}$ (数学 ${\sim d} x)$
- \$\$
- 在函数的线性组合上 $\mathscr{F}$.
商科代写|计量经济学代写Econometrics代考|Two Algorithms
让 $\operatorname{lin}(\mathscr{F})$ 是函数的所有线性组合的集合 $\mathscr{F}$ ，我们收集的基础预测变量在 $L^{2}\left(\mu_{X}\right)$. 所以，每个 $F \in \operatorname{lin}(\mathscr{F})$ 有形 式 $F=\sum_{j=1}^{J} \beta_{j} f_{j}$. 在哪里 $\left(\beta_{1}, \ldots, \beta_{J}\right) \in \mathbb{R}^{J}$ 和 $f_{1}, \ldots, f_{J}$ 是元素 $\mathscr{F}$. 寻找泛函的下确界 $C$ 过林 $(\mathscr{F})$ 是一个具 有挑战性的无限维优化问题，需要一个算法。梯度提升方法的核心思想是通过梯度下降型算法生成基本预测变量的 组合来贪婪地定位下确界。 $L^{2}\left(\mu_{X}\right)$. 专注于基础，这可以通过两种相关但不同的策略来实现，我们将在更大的
下面的数学细节。算法 1 出现在 Mason et al. (2000 年)，而算法 2 主要归功于 Friedman（2001 年)。
在本段中隐含地假设假设 $\mathbf{A 1}$ 很满意。我们记得在这个假设下，凸泛函 $C$ 是局部有界的，因此是连续的。因此，特 别是，
$$
\inf F \in \operatorname{lin}(\mathscr{F}) C(F)=\inf F \in \operatorname{lin}(\mathscr{F}) C(F),
$$
在哪里 $\overline{\lim } \overline{\operatorname{lin}(\mathscr{F})}$ 是 $\operatorname{lin}(\mathscr{F})$ 在 $L^{2}(\mu X)$. 松散地说，寻找下确界 $C$ 超过 $\overline{\operatorname{lin}(\mathscr{F}) \text { 和寻找下确界一样 } C \text { 基函数的所 }$ 有 (有限) 线性组合 $\mathscr{F}$. 我们还注意到，如果假设 $\mathbf{A} 2$ 满足，则存在唯一函数 $\bar{F} \in \overline{\operatorname{lin}(\mathscr{F})}$ (我们称之为提升预测 器) 使得
$$
C(\bar{F})=\inf F \in \operatorname{lin}(\mathscr{F}) C(F)
$$
算法 1. 在这种方法中，我们考虑一个类 $\mathscr{F}$ 功能 $f: \mathscr{X} \rightarrow \mathbb{R}$ 这样 $0 \in \mathscr{F}, f \in \mathscr{F} \Leftrightarrow-f \in \mathscr{F}$ ，和 $|f|{\mu{X}}=1$ 为了 $f \neq 0$. 一个例子是集合 $\mathscr{F}$ 其中 $\pm$ – 二叉树 $\mathbb{R}^{d}$ 使用轴平行切割 $k$ 终端节点 (加零) 。每个非零 $f \in \mathscr{F}$ 采取形式 $f=\sum_{j=1}^{k} \beta_{j} 1 A j$ ，在哪里 $\left|\beta_{j}\right|=1$ 和 $A_{1}, \ldots, A_{k}$ 是一个树形结构的分区 $\mathrm{R}^{d}$ (Devroye 等人，1996 年，第 20 章) 。参数 $k$ 是树复杂度的度量。例如，树与 $k=d+1$ 是这样的 $\overline{l i n}(\mathscr{F})=L^{2}\left(\mu_{X}\right)$ (布雷曼 2000) 。因 此，在这种情况下，
$$
\inf F \in \operatorname{lin}(\mathscr{F}) C(F)=\inf F \in L^{2}\left(\mu_{X}\right) C(F)
$$
商科代写|计量经济学代写Econometrics代考|Algorithm 1
该算法的收敛取决于步长序列的选择 $\left(w_{t}\right) t$, 这需要仔细指定。我们采取 $w 0>0$ 任意设置
$$
w_{t+1}=\min \left(w_{t},-(2 L)^{-1} \mathbb{E} \xi\left(F_{t}(X), Y\right) f_{t+1}(X)\right), \quad t \geq 0,
$$
在哪里 $L$ 是假设的 Lipschitz 常数 $\mathbf{A 3}$. 显然，序列 $(w t) t$ 是非增加的。它也是非负的。要看到这一点，请注意，根 据定义，
$$
f t+1 \in \arg \max f \in \mathscr{F}-\mathbb{E} \xi(F t(X), Y) f(X),
$$
因此，由于 $0 \in \mathscr{F},-\mathbb{E} \xi\left(F_{t}(X), Y\right) f_{t+1}(X) \geq 0$. 本节的主要结果封装在以下定理中。
定理 1 假设假设 $\mathbf{A} 1$ 和 $\mathbf{A} 3$ 满意，让 $\left(F_{t}\right) t$ 由算法 1 定义 $(w t) t$ 如（8)。然后
$$
\lim t \rightarrow \infty C\left(F_{t}\right)=\inf F \in \operatorname{lin}(\mathscr{F}) C(F) .
$$
证明见补充材料文件。观察定理 1 在没有假设的情况下成立 $\mathbf{A} 2$ ，即这里不需要假设函数 $\psi(x, y)$ 是强凸的 $x$. 然而， 每当假设 $\mathbf{A}{2}$ 满足，如（4) 中存在一个唯一的提升预测器 $\bar{F} \in \overline{\operatorname{lin}(\mathscr{F}) \text { 这样 } C(\bar{F})=\inf F \in \operatorname{lin}(\mathscr{F}) C(F) \text {, 该 }$ 定理保证 $\lim t \rightarrow \infty C\left(F{t}\right)=C(\bar{F})$
定理的证明依赖于以下引理，它表明序列 $\left(C\left(F_{t}\right)\right) t$ 是非增加的。自从 $C(F)$ 对所有人都是非负的 $F$ ，我们真的得 出结论 $C(F t) \downarrow \inf k C(F k)$ 一个 $t \rightarrow \infty$. 这是证明收敛性的论证 $C\left(F_{t}\right)$ 朝着inf $F \in \operatorname{lin}(\mathscr{F}) C(F)$.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。