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凸优化是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类凸优化问题都有多项时间算法，而数学优化一般来说是NP困难的。
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- Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Mathematical prerequisites
Convex (CVX) optimization is an important class of optimization techniques that includes least squares and linear programs as special cases, and has been extensively used in various science and engineering areas. If one can formulate a practical problem as a convex optimization problem, then actually he (she) has solved the original problem (for an optimal solution either analytically or numerically), like least squares (LS) or linear program, (almost) technology. This chapter provides some essential mathematical basics of vector spaces, norms, sets, functions, matrices, and linear algebra, etc., in order to smoothly introduce the CVX optimization theory from fundamentals to applications in each of the following chapters. It is expected that the CVX optimization theory will be more straightforward and readily understood and learned.
In this section, let us introduce all the notations and abbreviations and some mathematical preliminaries that will be used in the remainder of the book. Our notations and abbreviations are standard, following those widely used in convex optimization for signal processing and communications, that are defined, respectively, as follows:
Notations:
$\mathbb{R}, \mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m \times n} \quad$ Set of real numbers, $n$-vectors, $m \times n$ matrices
$\mathbb{C}, \mathbb{C}^{n}, \mathbb{C}^{m \times n} \quad$ Set of complex numbers, $n$-vectors, $m \times n$ matrices
$\mathbb{R}{+}, \mathbb{R}{+}^{n}, \mathbb{R}{+}^{m \times n} \quad$ Set of nonnegative real numbers, $n$-vectors, $m \times n$ matrices $\mathbb{R}{++}, \mathbb{R}{++}^{n}, \mathbb{R}{++}^{m \times n} \quad$ Set of positive real numbers, $n$-vectors, $m \times n$ matrices
$\mathbb{Z}, \mathbb{Z}{+}, \mathbb{Z}{++} \quad$ Set of integers, nonnegative integers, positive integers
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Vector norm
In linear algebra, functional analysis and related areas of mathematics, norm is a function that assigns a strictly positive length or size to all vectors (other than the zero vector) in a vector space. A vector space with a norm is called
a normed vector space. A simple example is the 2-dimensional Euclidean space ” $\mathbb{R}^{2 n}$ equipped with the Euclidean norm or 2 -norm. Elements in this vector space are usually drawn as arrows in a 2-dimensional Cartesian coordinate system starting at the origin $0_{2}$. The Euclidean norm assigns to each vector the length from the origin to the vector end. Because of this, the Euclidean norm is often known as the magnitude of the vector.
Given a vector space $V$ over a subfield $F$ of real (or complex) numbers, norm of a vector in $V$ is a function $|\cdot|: V \rightarrow \mathbb{R}_{+}$with the following axioms: For all $a$ in $F$ and all $\mathbf{u}$ and $v \in V$,
- $|a \mathbf{v}|=|a| \cdot|\mathbf{v}|$ (positive homogeneity or positive scalability).
- $|\mathbf{u}+\mathbf{v}| \leq|\mathbf{u}|+|\mathbf{v}|$ (triangle inequality or subadditivity).
- $|\mathbf{v}|=0$ if and only if $\mathbf{v}$ is the zero vector (positive definiteness).
A simple consequence of the first two axioms, positive homogeneity and the triangle inequality, is $|\mathbf{0}|=0$ and thus $|\mathbf{v}| \geq 0$ (positivity).
The $\ell_{p}$-norm (or $p$-norm) of a vector $v$ is usually denoted as $\left|_{v}\right|_{p}$ and is defined as:
$$
|\mathbf{v}|_{p}=\left(\sum_{i=1}^{n}\left|v_{i}\right|^{p}\right)^{1 / p}
$$
where $p \geq 1$. The above formula for $0<p<1$ is a well-defined function of $\mathbf{v}$, but it is not a norm of $\mathbf{v}$, because it violates the triangle inequality. For $p=1$ and $p=2$,
$$
\begin{aligned}
&|\mathbf{v}|_{1}=\sum_{i=1}^{n}\left|v_{i}\right|, \
&|\mathbf{v}|_{2}=\left(\sum_{i=1}^{n}\left|v_{i}\right|^{2}\right)^{1 / 2}
\end{aligned}
$$
When $p=\infty$, the norm is called maximum norm or infinity norm or uniform norm or supremum norm and can be expressed as
$$
|\mathbf{v}|_{\infty}=\max \left{\left|v_{1}\right|,\left|v_{2}\right|, \ldots,\left|v_{n}\right|\right} .
$$
Note that 1-norm, 2-norm (which is also called the Euclidean norm), and $\infty$ norm have been widely used in various science and engineering problems, while for other values of $p$ (e.g., $p=3,4,5, \ldots$ ) $p$-norm remain theoretical but not yet practical.
Remark 1.2 Every norm is a convex function (which will be introduced in Chapter 3). As a result, finding a global optimum of a norm-based objective function is often tractable.
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Matrix norm
In mathematics, a matrix norm is a natural extension of the notion of a vector norm to matrices. Some useful matrix norms needed throughout the book are introduced next.
The Frobenius norm of an $m \times n$ matrix $\mathbf{A}$ is defined as
$$
|\mathbf{A}|_{\mathrm{F}}=\left(\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n}\left|[\mathbf{A}]{i j}\right|^{2}\right)^{1 / 2}=\sqrt{\operatorname{Tr}\left(\mathbf{A}^{T} \mathbf{A}\right)} $$ where $$ \operatorname{Tr}(\mathbf{X})=\sum{i=1}^{n}[\mathbf{X}]_{i i}
$$
denotes the trace of a square matrix $\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{n \times n}$. As $n=1$, A reduces to a column vector of dimension $m$ and its Frobenius norm also reduces to the 2-norm of the vector.
The other class of norm is known as the induced norm or operator norm. Suppose that $|\cdot|_{a}$ and $|\cdot|_{b}$ are norms on $\mathbb{R}^{m}$ and $\mathbb{R}^{n}$, respectively. Then the operator/induced norm of $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$, induced by the norms $|\cdot|_{a}$ and $|\cdot|_{b}$, is defined as
$$
|\mathbf{A}|_{a, b}=\sup \left{|\mathbf{A} \mathbf{u}|_{a} \mid|\mathbf{u}|_{b} \leq 1\right},
$$
where $\sup (C)$ denotes the least upper bound of the set $C$. As $a=b$, we simply denote $|\mathbf{A}|_{a, b}$ by $|\mathbf{A}|_{a}$.
Commonly used induced norms of an $m \times n$ matrix
$$
\mathbf{A}=\left{a_{i j}\right}_{m \times n}=\left[\mathbf{a}{1}, \ldots, \mathbf{a}{n}\right]
$$
are as follows:
$$
|\mathbf{A}|_{1}=\max {|\mathbf{u}|{1} \leq 1}\left|\sum_{j=1}^{n} u_{j} \mathbf{a}{j}\right|{1}, \quad(a=b=1)
$$
$\leq \max {|\mathbf{u}|{1 \leq 1}} \sum_{j=1}^{n}\left|u_{j}\right| \cdot\left|\mathbf{a}{j}\right|{1}$ (by triangle inequality)
$$
=\max {1 \leq j \leq n}\left|\mathbf{a}{j}\right|_{1}=\max {1 \leq j \leq n} \sum{i=1}^{m}\left|a_{i j}\right|
$$
(with the inequality to hold with equality for $\mathbf{u}=\mathbf{e}{l}$ where $l=$ $\arg \max {1 \leq j \leq n}\left|\mathbf{a}{j}\right|{1}$ ) which is simply the maximum absolute column sum
of the matrix.
$|\mathbf{A}|_{\infty}=\max {|\mathbf{u}|{\infty \leq 1}}\left{\max {1 \leq i \leq m}\left|\sum{j=1}^{n} a_{i j} u_{j}\right|\right}, \quad(a=b=\infty)$
$=\max {1 \leq i \leq m} \sum{j=1}^{n}\left|a_{i j}\right|, \quad$ (i.e., $u_{j}=\operatorname{sgn}\left{a_{i j}\right} \forall j$ )
which is simply the maximum absolute row sum of the matrix.
In the special case of $a=b=2$, the induced norm is called the spectral norm or $\ell_{2}$ norm. The spectral norm of a matrix $\mathbf{A}$ is the largest singular value of A or the square root of the largest eigenvalue of the positive semidefinite matrix $\mathbf{A}^{T} \mathbf{A}$, i.e..
$$
|\mathbf{A}|_{2}=\sup \left{|\mathbf{A} \mathbf{u}|_{2} \mid|\mathbf{u}|_{2} \leq 1\right}=\sigma_{\max }(\mathbf{A})=\sqrt{\lambda_{\max }\left(\mathbf{A}^{T} \mathbf{A}\right)}
$$
The singular values of a matrix A will be defined in (1.109) and their relation to the corresponding eigenvalues of $\mathbf{A}^{T} \mathbf{A}$ (or $\mathbf{A} \mathbf{A}^{T}$ ) is given by (1.116) in Subsection 1.2.6 later.
凸优化代写
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Mathematical prerequisites
凸优化（CVX）是一类重要的优化技术，包括最小二乘法和线性规划作为特例，已广泛应用于各个科学和工程领域。如果一个人可以将一个实际问题表述为凸优化问题，那么实际上他（她）已经解决了原始问题（解析或数值上的最优解），如最小二乘法（LS）或线性规划，（几乎）技术。本章提供向量空间、范数、集合、函数、矩阵和线性代数等一些基本的数学基础知识，以便在接下来的每一章中顺利地介绍CVX优化理论从基础到应用。预计 CVX 优化理论将更加直接，易于理解和学习。
在本节中，让我们介绍本书其余部分将使用的所有符号和缩写以及一些数学预备知识。我们的符号和缩写是标准的，遵循在信号处理和通信的凸优化中广泛使用的那些，它们分别定义如下
：
R,Rn,R米×n实数集，n-向量，米×n矩阵
C,Cn,C米×n复数集，n-向量，米×n矩阵
R+,R+n,R+米×n一组非负实数，n-向量，米×n矩阵R++,R++n,R++米×n一组正实数，n-向量，米×n矩阵
从,从+,从++整数集、非负整数、正整数
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Vector norm
在线性代数、泛函分析和相关数学领域中，范数是一个函数，它为向量空间中的所有向量（零向量除外）分配严格的正长度或大小。具有范数的向量空间称为
一个规范的向量空间。一个简单的例子是二维欧几里得空间”R2n配备欧几里得范数或 2 范数。此向量空间中的元素通常在从原点开始的二维笛卡尔坐标系中绘制为箭头02. 欧几里得范数为每个向量分配从原点到向量末端的长度。因此，欧几里得范数通常被称为向量的大小。
给定一个向量空间在在一个子域上F实数（或复数），向量的范数在是一个函数|⋅|:在→R+具有以下公理：对于所有人一种在F和所有在和在∈在,
- |一种在|=|一种|⋅|在|（正同质性或正可扩展性）。
- |在+在|≤|在|+|在|（三角不等式或次可加性）。
- |在|=0当且仅当在是零向量（正定性）。
前两个公理，正同质性和三角不等式的简单推论是|0|=0因此|在|≥0（积极性）。
这ℓp-规范（或p-norm) 向量的在通常表示为|在|p并定义为：
|在|p=(∑一世=1n|在一世|p)1/p
在哪里p≥1. 上述公式为0<p<1是一个定义明确的函数在, 但这不是一个规范在，因为它违反了三角不等式。为了p=1和p=2,
|在|1=∑一世=1n|在一世|, |在|2=(∑一世=1n|在一世|2)1/2
什么时候p=∞，范数称为最大范数或无穷范数或统一范数或上范数，可以表示为
|\mathbf{v}|_{\infty}=\max \left{\left|v_{1}\right|,\left|v_{2}\right|, \ldots,\left|v_{n} \对|\对} 。|\mathbf{v}|_{\infty}=\max \left{\left|v_{1}\right|,\left|v_{2}\right|, \ldots,\left|v_{n} \对|\对} 。
请注意，1-范数、2-范数（也称为欧几里得范数）和∞范数已广泛用于各种科学和工程问题，而对于其他值p（例如，p=3,4,5,… ) p-norm 仍然是理论上的，但还不实用。
备注 1.2 每个范数都是一个凸函数（将在第 3 章介绍）。因此，找到基于范数的目标函数的全局最优值通常是容易处理的。
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Matrix norm
在数学中，矩阵范数是向量范数概念对矩阵的自然扩展。接下来介绍整本书所需的一些有用的矩阵范数。
的 Frobenius 范数米×n矩阵一种定义为
|一种|F=(∑一世=1米∑j=1n|[一种]一世j|2)1/2=Tr(一种吨一种)在哪里Tr(X)=∑一世=1n[X]一世一世
表示方阵的迹X∈Rn×n. 作为n=1, A 减少为一个维度的列向量米并且它的 Frobenius 范数也简化为向量的 2 范数。
另一类范数称为诱导范数或算子范数。假设|⋅|一种和|⋅|b是关于R米和Rn， 分别。那么算子/诱导范数一种∈R米×n, 由规范诱导|⋅|一种和|⋅|b, 定义为
|\mathbf{A}|_{a, b}=\sup \left{|\mathbf{A} \mathbf{u}|_{a} \mid|\mathbf{u}|_{b} \leq 1\右},|\mathbf{A}|_{a, b}=\sup \left{|\mathbf{A} \mathbf{u}|_{a} \mid|\mathbf{u}|_{b} \leq 1\右},
在哪里支持(C)表示集合的最小上界C. 作为一种=b, 我们简单地表示|一种|一种,b经过|一种|一种.
常用的诱导范数米×n矩阵
\mathbf{A}=\left{a_{i j}\right}_{m \times n}=\left[\mathbf{a}{1}, \ldots, \mathbf{a}{n}\right]\mathbf{A}=\left{a_{i j}\right}_{m \times n}=\left[\mathbf{a}{1}, \ldots, \mathbf{a}{n}\right]
如下面所述：
|一种|1=最大限度|在|1≤1|∑j=1n在j一种j|1,(一种=b=1)
≤最大限度|在|1≤1∑j=1n|在j|⋅|一种j|1（通过三角不等式）
=最大限度1≤j≤n|一种j|1=最大限度1≤j≤n∑一世=1米|一种一世j|
（不等式成立在=和l在哪里l= 参数最大限度1≤j≤n|一种j|1) 这只是最大绝对列总和
的矩阵。
|\mathbf{A}|_{\infty}=\max {|\mathbf{u}|{\infty \leq 1}}\left{\max {1 \leq i \leq m}\left|\sum {j=1}^{n} a_{i j} u_{j}\right|\right}, \quad(a=b=\infty)|\mathbf{A}|_{\infty}=\max {|\mathbf{u}|{\infty \leq 1}}\left{\max {1 \leq i \leq m}\left|\sum {j=1}^{n} a_{i j} u_{j}\right|\right}, \quad(a=b=\infty)
=最大限度1≤一世≤米∑j=1n|一种一世j|,（IE，u_{j}=\operatorname{sgn}\left{a_{i j}\right} \forall ju_{j}=\operatorname{sgn}\left{a_{i j}\right} \forall j)
这只是矩阵的最大绝对行和。
在特殊情况下一种=b=2，诱导范数称为谱范数或ℓ2规范。矩阵的谱范数一种是 A 的最大奇异值或正半定矩阵的最大特征值的平方根一种吨一种， IE。
|\mathbf{A}|_{2}=\sup \left{|\mathbf{A} \mathbf{u}|_{2} \mid|\mathbf{u}|_{2} \leq 1\右}=\sigma_{\max }(\mathbf{A})=\sqrt{\lambda_{\max }\left(\mathbf{A}^{T} \mathbf{A}\right)}|\mathbf{A}|_{2}=\sup \left{|\mathbf{A} \mathbf{u}|_{2} \mid|\mathbf{u}|_{2} \leq 1\右}=\sigma_{\max }(\mathbf{A})=\sqrt{\lambda_{\max }\left(\mathbf{A}^{T} \mathbf{A}\right)}
矩阵 A 的奇异值将在 (1.109) 中定义，它们与对应的特征值的关系一种吨一种（或者一种一种吨) 在后面的 1.2.6 小节中由 (1.116) 给出。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。