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如果所有导数的近似值（有限差分、有限元、有限体积等）在步长（Δt、Δx等）趋于零时都趋于精确值，则称该数值方法为一致的。如果误差不随时间（或迭代）增长，则表示数值方法是稳定的（如IVPs）。
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数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Qualitative Properties of the Solution and Maximum Principle
Before we introduce difference schemes for (2.1), we discuss a number of results that allow us to describe how the solution $u$ behaves. First, we wish to conclude that if the initial value $A$ and inhomogeneous term $f(t)$ are positive, then the solution $u(t)$ should also be positive for any value $t$ in $[0, T]$. This so-called positivity or monotonicity result should be reflected in our difference schemes (not all schemes possess this property). Second, we wish to know how the solution $u(t)$ grows or decreases as a function of time. The following two results deal with these issues.
Lemma 2.1 (Positivity). Let the operator $L$ be defined in Equation (2.1), and let $w$ be a well-behaved function satisfying the inequalities:
$$
\begin{aligned}
&L w(t) \geq 0 \forall t \in[0, T] \
&w(0) \geq 0
\end{aligned}
$$
Then the following result holds true:
$$
w(t) \geq 0 \forall t \in[0, T] .
$$
Roughly speaking, this lemma states that you cannot get a negative solution from positive input.
You can verify it by examining Equation (2.2) because all terms are positive. The following result gives bounds on the growth of $u(t)$.
Theorem 2.1 Let $u(t)$ be the solution of Equation (2.1). Then:
$$
|u(t)| \leq \frac{N}{\alpha}+|A| \forall t \in[0, T]
$$
where
$$
|f(t)| \leq N \forall t \in[0, T] .
$$
This result states that the value of the solution is bounded by the input data. In other words, it is a well-posed problem.
We wish to replicate these properties in our difference schemes for Equation (2.1). For completeness, we show the steps to be executed in order to produce the result in Equation (2.2).
$$
\text { Let } I(t)=\exp \left(\int_{0}^{t} a(s) d s\right), \quad I^{-1}(t)=\exp \left(-\int_{0}^{t} a(s) d s\right) \text {. }
$$
Then from Equation (2.1) we see:
$$
I(t)\left(\frac{d u}{d t}+a u\right)=I(t) f(t)
$$
or:
$$
\frac{d}{d t}(I(t) u)=I(t) f(t) .
$$
Integrating this equation between $t=0$ and $t=\xi$ gives:
$$
\begin{aligned}
&\left.\int_{0}^{\xi} \frac{d}{d t}(I(t) u) d t=\int_{0}^{\xi} I(t) f(t) d t \text { (and using the fact that } I(0)=1\right) \
&I(\xi) u(\xi)=u(0)+\int_{0}^{\xi} I(t) f(t) d t \
&u(\xi)=u(0) I^{-1}(\xi)+I^{-1}(\xi) \int_{0}^{\xi} I(t) f(t) d t \
&=\exp \left(-\int_{0}^{\xi} a(s) d s\right) u(0)+\exp \left(-\int_{0}^{\xi} a(s) d s\right) \int_{0}^{\xi} I(t) f(t) d t
\end{aligned}
$$
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Rationale and Generalisations
The IVP Equation (2.1) is a model for all the linear time-dependent differential equations that we encounter in this book. We no longer think in terms of scalar problems in which the functions in Equation (2.1) are scalar-valued, but we can view an ODE at different levels of abstraction. To this end, we focus on the generic homogeneous $O D E$ with solution $u(t)$ :
$$
\frac{d u}{d t}=A u, t>0 .
$$
This equation subsumes several special cases:
- The variable $A$ is a square matrix, and then Equation (2.4) represents a system of ODEs. This is a very important area of research having many applications in science, engineering, and finance.
- The variable $A$ is an ordinary or partial differential operator, and then Equation (2.4) represents an ODE in a Hilbert or Banach space.
- The variable $A$ is a tridiagonal or block tridiagonal matrix that originates from a semi-discretisation in space of a time-dependent partial differential equation (PDE) using the Method of Lines (MOL) as discussed in Chapter $20 .$
- The formal solution of $(2.4)$ is:
$$
u(t)=u(0) e^{A t}, \quad t>0
$$
In other words, we express the solution in terms of the exponential function of a matrix or of a differential operator. In the former case, there are many ways to compute the exponential of a matrix (see Moler and Van Loan (2003)). - The solution of Equation (2.4) can be simplified by matrix or operator splitting of the operator $A$ :
$$
\begin{aligned}
&A=A_{1}+A_{2} \
&\frac{d u}{d t}=A_{1} u \
&\frac{d u}{d t}=A_{2} u .
\end{aligned}
$$
For example, we can split a matrix $A$ into two simpler matrices, or we can split an operator $A$ into its convection and diffusion components. In other words, we solve Equation (2.4) as a sequence of simpler problems in (2.6). These topics will be discussed in Chapters 18,22 , and 23 . - The initial value problem (2.1) was originally used as a model test of finite difference methods in (Dahlquist (1956)). The resulting results and insights are helpful when dealing more complex IVPs.
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|DISCRETISATION OF INITIAL VALUE PROBLEMS: FUNDAMENTALS
We now discuss finding an approximate solution to Equation (2.1) using the finite difference method. We introduce several popular schemes as well as defining standardised notation.
The interval or range where the solution of Equation $(2.1)$ is defined is $[0, T]$. When approximating the solution using finite difference equations, we use a discrete set of points in $[0, T]$ where the discrete solution will be calculated. To this end, we divide $[0, T]$ into $N$ equal intervals of length $k$, where $k$ is a positive number called the step size. (We also use the symbol $\Delta t$ to denote the step size in many cases.) We number these discrete points as shown in Figure 2.1. In general all coefficients and discrete functions will be defined at these mesh points only. We adopt the following notation:
$$
\begin{aligned}
&a^{n}=a\left(t_{n}\right), f^{n}=f\left(t_{n}\right) \
&a^{n, \theta}=a\left(\theta t_{n}+(1-\theta) t_{n+1}\right), 0 \leq \theta \leq 1,0 \leq n \leq N-1 \
&u^{n, \theta}=\theta u^{n}+(1-\theta) u^{n+1}, 0 \leq n \leq N-1 \text { (function to be calculated). }
\end{aligned}
$$
Not only do we have to approximate functions at mesh points, but we also have to come up with a scheme to approximate the derivative appearing in Equation (2.1). There are several possibilities, and they are based on divided differences. For example, the following divided differences approximate the first derivative of $u$ at the mesh point $t_{n}=n * k$;
$$
\left.\begin{array}{l}
D_{+} u^{n} \equiv \frac{u^{n+1}-u^{n}}{k} \
D_{-} u^{n} \equiv \frac{u^{n}-u^{n-1}}{k} \
D_{0} u^{n} \equiv \frac{u^{n+1}-u^{n-1}}{2 k}
\end{array}\right}
$$
The first two divided differences are called one-sided differences and give first-order accuracy to the derivative, while the last divided difference is called a centred approximation to the derivative. In fact, by using a Taylor’s expansion (assuming sufficient
smoothness of $u$ ), we can prove the following:
$$
\left{\begin{array}{l}
\left|D_{\pm} u\left(t_{n}\right)-u^{\prime}\left(t_{n}\right)\right| \leq M k, n=0,1, \ldots \
\left|D_{0} u\left(t_{n}\right)-u^{\prime}\left(t_{n}\right)\right| \leq M k^{2}, n=0,1, \ldots
\end{array}\right.
$$
Note that the first two approximations use two consecutive mesh points while the last formula uses three consecutive mesh points.
We now decide on how to approximate Equation (2.1) using finite differences. To this end, we need to introduce two new concepts:
- One-step and multistep methods
- Explicit and implicit schemes.
A one-step method is a finite difference scheme that calculates the solution at time-level $n+1$ in terms of the solution at time-level $n$. No information at levels $n-1$, $n-2$, or previous levels is needed in order to calculate the solution at level $n+1$. A multistep method, on the other hand, is a difference scheme where the solution at level $n+1$ is determined by values at levels $n, n-1$ and possibly previous time levels. Multistep methods are more complicated than one-step methods, and we concentrate solely on the latter methods in this book.
An explicit difference scheme is one where the solution at time $n+1$ can be calculated from the information at level $n$ directly. No extra arithmetic is needed: for example, using division or matrix inversion. An implicit finite difference scheme is one in which the terms involving the approximate solution at level $n+1$ are grouped together and only then can the solution at this level be found. Obviously, implicit methods are more difficult to program than explicit methods because we must solve a system of equations at each time step.
数值方法代写
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Qualitative Properties of the Solution and Maximum Principle
在我们介绍 (2.1) 的差分方案之前，我们讨论了一些结果，这些结果使我们能够描述解决方案在行为。首先，我们希望得出结论，如果初始值一种和不齐项F(吨)为正，则解在(吨)对于任何值也应该是正数吨在[0,吨]. 这种所谓的正性或单调性结果应该反映在我们的差分方案中（并非所有方案都具有此属性）。二、想知道怎么解决在(吨)随时间增加或减少。以下两个结果处理了这些问题。
引理 2.1（积极性）。让运营商大号在等式（2.1）中定义，并让在是满足不等式的表现良好的函数：
大号在(吨)≥0∀吨∈[0,吨] 在(0)≥0
那么以下结果成立：
在(吨)≥0∀吨∈[0,吨].
粗略地说，这个引理表明你不能从正输入中得到负解。
您可以通过检查等式 (2.2) 来验证它，因为所有项都是正数。以下结果给出了增长的界限在(吨).
定理 2.1 让在(吨)是方程（2.1）的解。然后：
|在(吨)|≤ñ一种+|一种|∀吨∈[0,吨]
在哪里
|F(吨)|≤ñ∀吨∈[0,吨].
该结果表明解决方案的值受输入数据的限制。换句话说，这是一个适定问题。
我们希望在方程（2.1）的差分方案中复制这些属性。为了完整起见，我们展示了为产生等式 (2.2) 中的结果而要执行的步骤。
让 一世(吨)=经验(∫0吨一种(s)ds),一世−1(吨)=经验(−∫0吨一种(s)ds).
然后从方程（2.1）我们看到：
一世(吨)(d在d吨+一种在)=一世(吨)F(吨)
或者：
dd吨(一世(吨)在)=一世(吨)F(吨).
积分之间的这个方程吨=0和吨=X给出：
∫0Xdd吨(一世(吨)在)d吨=∫0X一世(吨)F(吨)d吨 （并使用以下事实 一世(0)=1) 一世(X)在(X)=在(0)+∫0X一世(吨)F(吨)d吨 在(X)=在(0)一世−1(X)+一世−1(X)∫0X一世(吨)F(吨)d吨 =经验(−∫0X一种(s)ds)在(0)+经验(−∫0X一种(s)ds)∫0X一世(吨)F(吨)d吨
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Rationale and Generalisations
IVP 方程（2.1）是我们在本书中遇到的所有线性时间相关微分方程的模型。我们不再考虑方程 (2.1) 中的函数是标量值的标量问题，但我们可以在不同抽象级别上查看 ODE。为此，我们专注于泛型同构这D和有溶液在(吨) :
d在d吨=一种在,吨>0.
这个等式包含了几种特殊情况：
- 变量一种是一个方阵，则方程 (2.4) 表示一个 ODE 系统。这是一个非常重要的研究领域，在科学、工程和金融领域有许多应用。
- 变量一种是普通或偏微分算子，则方程 (2.4) 表示希尔伯特或巴纳赫空间中的 ODE。
- 变量一种是一个三对角矩阵或块三对角矩阵，它源自使用线法 (MOL) 对时间相关偏微分方程 (PDE) 进行空间半离散化，如第 1 章所述20.
- 的正式解决方案(2.4)是：
在(吨)=在(0)和一种吨,吨>0
换句话说，我们用矩阵或微分算子的指数函数来表达解。在前一种情况下，有很多方法可以计算矩阵的指数（参见 Moler 和 Van Loan (2003)）。 - 方程（2.4）的解可以通过矩阵或算子的算子拆分来简化一种 :
一种=一种1+一种2 d在d吨=一种1在 d在d吨=一种2在.
例如，我们可以拆分一个矩阵一种分成两个更简单的矩阵，或者我们可以拆分一个运算符一种分为对流和扩散成分。换句话说，我们将方程（2.4）求解为（2.6）中的一系列更简单的问题。这些主题将在第 18、22 和 23 章中讨论。 - 初始值问题 (2.1) 最初在 (Dahlquist (1956)) 中用作有限差分方法的模型检验。在处理更复杂的 IVP 时，得到的结果和见解很有帮助。
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|DISCRETISATION OF INITIAL VALUE PROBLEMS: FUNDAMENTALS
我们现在讨论使用有限差分法寻找方程（2.1）的近似解。我们介绍了几种流行的方案以及定义标准化符号。
方程解的区间或范围(2.1)被定义为[0,吨]. 当使用有限差分方程逼近解时，我们使用一组离散的点[0,吨]将计算离散解的位置。为此，我们分[0,吨]进入ñ等长间隔ķ， 在哪里ķ是一个正数，称为步长。（我们也使用符号Δ吨在许多情况下表示步长。）我们对这些离散点进行编号，如图 2.1 所示。一般来说，所有系数和离散函数都将仅在这些网格点处定义。我们采用以下符号：
一种n=一种(吨n),Fn=F(吨n) 一种n,θ=一种(θ吨n+(1−θ)吨n+1),0≤θ≤1,0≤n≤ñ−1 在n,θ=θ在n+(1−θ)在n+1,0≤n≤ñ−1 （要计算的函数）。
我们不仅要逼近网格点处的函数，而且我们还必须提出一个方案来逼近方程（2.1）中出现的导数。有几种可能性，它们是基于分歧的。例如，以下划分的差异近似于的一阶导数在在网格点吨n=n∗ķ;
\left.\begin{array}{l} D_{+} u^{n} \equiv \frac{u^{n+1}-u^{n}}{k} \ D_{-} u^{ n} \equiv \frac{u^{n}-u^{n-1}}{k} \ D_{0} u^{n} \equiv \frac{u^{n+1}-u^{ n-1}}{2 k} \end{数组}\right}\left.\begin{array}{l} D_{+} u^{n} \equiv \frac{u^{n+1}-u^{n}}{k} \ D_{-} u^{ n} \equiv \frac{u^{n}-u^{n-1}}{k} \ D_{0} u^{n} \equiv \frac{u^{n+1}-u^{ n-1}}{2 k} \end{数组}\right}
前两个划分的差异称为单边差分，并为导数提供一阶精度，而最后一个划分的差异称为导数的中心近似。事实上，通过使用泰勒展开式（假设足够
光滑度在)，我们可以证明如下：
$$
\left{|D±在(吨n)−在′(吨n)|≤米ķ,n=0,1,… |D0在(吨n)−在′(吨n)|≤米ķ2,n=0,1,…\对。
$$
请注意，前两个近似使用两个连续的网格点，而最后一个公式使用三个连续的网格点。
我们现在决定如何使用有限差分逼近方程（2.1）。为此，我们需要引入两个新概念：
- 一步法和多步法
- 显式和隐式方案。
一步法是一种有限差分方案，它在时间级计算解n+1就时间层面的解决方案而言n. 没有级别信息n−1, n−2，或者需要以前的级别才能计算级别的解决方案n+1. 另一方面，多步法是一种差分方案，其中水平的解决方案n+1由级别的值决定n,n−1可能还有以前的时间水平。多步法比一步法更复杂，本书只关注后一种方法。
显式差分方案是一种在时间上的解决方案n+1可以从级别的信息中计算出来n直接地。不需要额外的算术：例如，使用除法或矩阵求逆。隐式有限差分格式是其中涉及级别近似解的项n+1组合在一起，然后才能找到该级别的解决方案。显然，隐式方法比显式方法更难编程，因为我们必须在每个时间步求解方程组。
数值方法代写
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Lipschitz Continuous Functions
我们现在检查将一个度量空间映射到另一个度量空间的函数。特别是，我们讨论了连续性和 Lipschitz 连续性的概念。
在度量空间的背景下讨论这些概念很方便。
定义 1.7 让(X,d1)和(是,d2)是两个度量空间。一个函数F从X进入是据说在该点是连续的一种∈X如果对于每个e>0存在一个d>0这样：
d2(F(X),F(一种))<e 每当 d1(X,一种)<d
这是第节中连续性概念的概括1.2（定义 1.1）。我们应该注意到，这个定义是指一个函数在一个点上的连续性。因此，函数可以在某些点是连续的，而在其他点是不连续的。
定义1.8一个函数F从度量空间(X,d1)进入度量空间(是,d2)被称为在集合上一致连续和⊂X如果对于每个e>0存在一个d>0这样：
d2(F(X),F(是))<e 每当 X,是∈和 和 d1(X,是)<d
如果函数F是一致连续的，则它是连续的，但反过来不一定是正确的。统一连续性适用于集合中的所有点和，而法向连续性仅在单个点上定义。
定义 1.9 让F:[一种,b]→R是一个实值函数，假设我们可以找到两个常数米和一种这样|F(X)−F(是)|≤米|X−是|一种,∀X,是∈[一种,b]. 然后我们说F满足有序的 Lipschitz 条件一种，我们写F∈唇(一种).
我们举个例子。让F(X)=X2在区间[一种,b].
然后：
|F(X)−F(是)|=|X2−是2|=|(X+是)(X−是)|≤(|X|+|是|)|X−是| ≤米|X−是|， 在哪里 米=2最大限度(|一种|,|b|).
因此F∈唇(1).
与 Lipschitz 连续性相关的概念称为收缩。
定义 1.10 让(X,d1)和(是,d2)是度量空间。转变吨从X进入是如果存在一个数字，则称为收缩λ∈(0,1)这样：
d2(吨(X),吨(是))≤λd1(X,是) 对全部 X,是∈X
通常，收缩将一对点映射到另一对更靠近的点。收缩总是持续的。
发现和应用收缩映射的能力具有相当大的理论和数值价值。例如，可以通过应用不动点定理来证明随机微分方程 (SDE) 具有唯一解：
- Brouwer 不动点定理
- 角谷不动点定理
- 巴拿赫不动点定理
- Schauder 不动点定理
我们的兴趣在于以下不动点定理。
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|INTRODUCTION AND OBJECTIVES
在本章中，我们介绍了一类微分方程，其中最高阶导数是一个。此外，这些方程只有一个独立变量（在几乎所有应用中都扮演时间的角色）。简而言之，这些被称为常微分方程 (ODE) 正是因为它依赖于单个变量。
ODE 出现在许多应用领域，例如力学、生物学、工程、动力系统、经济学和金融学等。正是出于这个原因，我们用两个专门的章节来介绍它们。
本章讨论了以下主题：
- ODE 的励志示例
- ODE 的定性性质
- ODE 初值问题的常见有限差分格式
- 一些理论基础。
在第 3 章中，我们继续讨论 ODE，包括代码示例C++和 Python。
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|BACKGROUND AND PROBLEM STATEMENT
在本节中，我们将介绍本书的第一个微分方程。它是一个标量一阶线性常微分方程（ODE），我们将从几个定性和定量的角度对其进行分析。
考虑有界区间[0,吨]在哪里吨>0. 例如，该间隔可以表示时间或距离。在大多数情况下，我们会将此间隔视为代表时间值。在区间中，我们定义了 ODE 的初始值问题 (IVP)：
大号在=在′(吨)+一种(吨)在(吨)=F(吨),吨∈[0,吨] 和 一种(吨)≥一种>0,∀吨∈[0,吨] 在(0)=一种
在哪里大号是一阶线性微分算子，涉及关于时间变量的导数，并且一种=一种(吨)是一个严格的正函数[0,吨]. 术语F(吨)称为非均匀强迫项，它独立于在. 最后，IVP 的解决方案必须指定为吨=0; 这就是所谓的初始条件。
一般来说，问题（2.1）有一个唯一的解决方案：
在(吨)=一世1(吨)+一世2(吨) 一世1(吨)=一种经验(−∫0吨一种(s)ds) 一世2(吨)=经验(−∫0吨一种(s)ds)∫0吨经验(∫0X一种(s)ds))F(X)dX
（参见 Hochstadt (1964)，其中所谓的积分因子用于确定解。）
的一个特殊情况(2.1)是当右手项F(吨)为零并且一种(吨)是恒定的；在这种情况下，解变成一个没有任何积分的简单指数项，这将在我们稍后检查差分方案以确定它们的可行性时使用。特别是，除非引入一些修改，否则对于上述特殊情况表现不佳的方案将不适合更一般或更复杂的问题。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。