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表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。
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数学代写|表示论代写Representation theory代考|A Trace Relation
Let $G=\exp \mathfrak{g}$ be an exponential solvable Lie group with Lie algebra $\mathfrak{g}$. If h,s and $\mathfrak{h}{2}$ are two polarizations of $\mathfrak{g}$ at $f \in \mathfrak{g}^{*}$ which satisfy the Pukanszky condition, the orbit method asserts that the monomial representations $\pi{i}=$ ind $_{H_{i}}^{G} \chi_{f}\left(H_{i}=\right.$ $\exp \left(h_{i}\right), 1 \leq i \leq 2$ ) of $G$ are irreducible and mutually equivalent. We are interested in constructing an explicit intertwining operator between these representations. Let us sketch the idea, which goes back to Vergne [151]. If we have
$$
\text { Tr } \mathrm{ad}{\mathfrak{h}{1} /\left(\mathfrak{h}{1} \cap \mathfrak{h}{2}\right)} X+\operatorname{Tr} \mathrm{ad}{\mathbf{h}{2} /\left(\mathfrak{h}{1} \cap \mathfrak{h}{2}\right)} X=0
$$ for any $X \in \mathfrak{h}{1} \cap \mathfrak{h}{2}$, then
$$
\Delta_{H_{1}, G}(h)=\Delta_{H_{2}, G}(h) \Delta_{H_{1} \cap H_{2}, H_{2}}(h)^{2}
$$
for all $h \in H_{1} \cap H_{2}$, and, for $\phi$ in the Hilbert space $\mathscr{H}{\pi{1}}$ of $\pi_{1}$ and $g \in G$, the function $\Phi_{g}$ on $H_{2}$ given by
$$
\Phi_{g}(h)=\phi(g h) \chi_{f}(h) \Delta_{H_{2}, G}^{-1 / 2}(h)
$$
verifies the relation
$$
\Phi_{g}(h x)=\Delta_{H_{1} \cap H_{2}, H_{2}}(x) \Phi_{g}(h)\left(h \in H_{2}, x \in H_{1} \cap H_{2}\right)
$$
Thus we can, at least formally, consider the integral
$$
\left(I_{b_{2} \mathfrak{b}} \phi\right)(g)=\oint_{H_{2} /\left(H_{1} \cap H_{2}\right)} \phi(g h) \chi_{f}(h) \Delta_{H_{2}, G}^{-1 / 2}(h) d v_{H_{2}, H_{1} \cap H_{2}}(h)
$$
for $\phi \in \mathscr{H}{\Pi}$ and $g \in G$. If this integral converges for any $g \in G$, it is clear that $I{\mathfrak{h}{2} \mathfrak{h}{1}} \phi$ verifies the covariance relation required on the elements of the space $\mathscr{H}{\pi{2}}$, and $I_{\left.\mathfrak{h}_{2} \mathfrak{h}\right) 1}$ commutes with the action of $G$ by left translations. In fact, Vergne proved the following proposition. An ideal of $g$ is said to be minimal non-central if it is minimal among all non-central ideals of $\mathfrak{g}$. For an ideal $a$ of $\mathfrak{g}$, we put
$$
\mathfrak{a}^{f}={X \in \mathfrak{g} ; f([X, \mathfrak{a}])={0}} .
$$
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Relations Between Two Polarizations
We keep the notations.
Remark 2.3.1 Without assuming the Pukanzsy condition Theorem $2.2 .2$ might fail, and we cannot write the integral of $(2.2 .1)$ even if $\pi_{1} \simeq \pi_{2}$. Indeed, let $\mathfrak{g}$ be the completely solvable Lie algebra of dimension 4 with basis $(T, P, Q, Z)$ satisfying
$$
[T, P]=\frac{1}{2} P,[T, Q]=\frac{1}{2} Q,[T, Z]=[P, Q]=Z .
$$
Let $f=Z^{} \in \mathfrak{g}^{}$. Then $\mathfrak{g}(f)={0}$ and
$$
\mathbf{h}{1}=\mathbb{R} T+\mathbb{R} P+\mathbb{R} Z, \mathbf{h}{2}=\mathbb{R} T+\mathbb{R} Q+\mathbb{R} Z
$$
belong to $M(f, \mathfrak{g})$, but neither $\mathfrak{h}{1}$ nor $\mathfrak{h}{2}$ verifies the Pukanszky condition.
There exist two open coadjoint orbits $O_{\pm}$of $G=\exp g$ :
$$
O_{+}=\left{l \in \mathfrak{g}^{} ; l(Z)>0\right}, O_{-}=\left{l \in \mathfrak{g}^{} ; l(Z)<0\right}
$$
Denoting by $\rho(\Omega)$ the irreducible unitary representation of $G$ corresponding to the orbit $\Omega \in \mathfrak{g}^{*} / G$, we know that $\pi_{1} \simeq \pi_{2} \simeq \rho\left(O_{+}\right) \oplus \rho\left(O_{-}\right)$(cf. [151]). However, it is evident that $\operatorname{Tr} \mathrm{ad}{\mathfrak{h}{1} /\left(\mathfrak{h}{1} \cap \mathfrak{h}{2}\right)} T=\operatorname{Tr} \mathrm{ad}{\mathfrak{h}{2} /\left(\mathfrak{h}{1} \cap \mathfrak{h}{2}\right)} T=1 / 2$.
When $G=\exp g$ is nilpotent and $K_{1}, K_{2}$ are analytic subgroups, the product $K_{1} K_{2}=\left{k_{1} k_{2} ; k_{1} \in K_{1}, k_{2} \in K_{2}\right}$ is always a closed subset of $G$ (cf. [97]). We denote by $\mathscr{H}\left(f, \mathfrak{h}{1}, G\right)$ the dense subspace of $\mathscr{H}{\pi_{1}}$ consisting of continuous functions with compact support modulo $H_{1}$. It follows that the integral (2.2.1) converges for $\phi \in \mathscr{H}\left(f, \mathbf{h}{1}, G\right)$. In fact, Lion proved that (2.2.1) gives an intertwining operator between $\pi{1}$ and $\pi_{2}$. On the other hand, when we pass to the exponential case $K_{1} K_{2}$ might not be closed, thus making the convergence of integral (2.2.1) a serious issue.
Example 2.3.2 Take
$$
G_{2}=\exp g_{2}=\left{\left(\begin{array}{ll}
a & b \
0 & 1
\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R}) ; a>0\right}(a x+b \text { group })
$$
The elements
$$
e_{1}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \
0 & 0
\end{array}\right), e_{2}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \
0 & 0
\end{array}\right)
$$
form a basis of $\mathfrak{g}{2}$ such that $\left[e{1}, e_{2}\right]=e_{2}$. Let $f=e_{2}^{} \in \mathfrak{g}{2}^{}, \mathfrak{t}{1}=\mathbb{R} e_{1}, \mathfrak{e}{2}=\mathbb{R}\left(e{1}+\right.$ $\left.e_{2}\right)$ and $K_{i}=\exp \mathfrak{t}{i}(i=1,2)$. Then $\mathfrak{t}{i} \in M\left(f, \mathfrak{g}{2}\right)$ but $\mathfrak{t}{i} \notin I\left(f, \mathfrak{g}{2}\right)(i=1,2)$. We immediately see $$ K{2} K_{1}=\left{g=\left(\begin{array}{ll}
a & b \
0 & 1
\end{array}\right) \in G_{2} ; b>-1\right}
$$
and $\mathfrak{t}{2}=g{0} \cdot \mathfrak{t}{1}$ with $g{0}=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \ 0 & 1\end{array}\right) \in G_{2}$.
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Vergne Polarizations
We retain the notations $G=\exp g, f \in \mathfrak{g}^{*}, \mathfrak{h}{j} \in I(f, \mathfrak{g})$ and $H{j}=\exp \left(\mathfrak{h}_{j}\right)$ for $j=1,2$.
Lemma 2.4.1 If $h_{1}$ is a Vergne polarization, then there exists a coexponential basis of $\mathrm{h}{1} \cap \mathrm{h}{2}$ in $\mathrm{h}{2}$ which is a part of a coexponential basis of $\mathrm{h}{1}$ in $\mathrm{g}$. Likewise, there exists a coexponential basis of $\mathrm{h}{1} \cap \mathrm{h}{2}$ in $\mathrm{h}{1}$ which is a part of a coexponential basis of $h{2}$ in $\mathrm{g}$. In particular, $\mathrm{H}{2} \mathrm{H}{1}$ (hence $\mathrm{H}{1} \mathrm{H}{2}$, too) is closed in $G$.
Proof We proceed by induction on $\operatorname{dim} G$. If there exists a non-trivial ideal a of $\mathfrak{g}$ on which $f$ vanishes, everything passes to the quotient $G / A$ with $A=\exp a$. This case will be excluded in what follows. If there exists a minimal ideal $a$ which is not central, we know (cf. [24, Chap. VI]) that a is contained in any element of $I(f, \mathfrak{g})$. Hence for $j=1,2, \mathfrak{h}{j} \subset \mathfrak{a}^{f} \neq \mathfrak{g}$. Suppose that the Vergne polarization $\mathfrak{h}{1}$ is constructed starting from a good sequence $\mathfrak{s}=\left(a_{j}\right){0 \leq j \leq n}$ of subalgebras, namely: $$ a{j-1} \subset a_{j}, \operatorname{dim}\left(a_{j}\right)=j, \mathbf{h}{1}=\sum{j=1}^{n} a_{j}\left(f_{j}\right), f_{j}=\left.f\right|{a{j}}(1 \leq j \leq n) .
$$
Put $\mathfrak{b}{j}=\mathfrak{a}{j} \cap \mathfrak{a}^{f}$ and $f_{j}^{\prime}=\left.f\right|{\mathfrak{b}{j}}(0 \leq j \leq n)$. There exists an index $j_{0}\left(1 \leq j_{0} \leq n\right)$ such that $\mathbf{b}{j 0}=\mathfrak{b}{j_{0}-1}$ and it is clear that $\mathfrak{s}^{\prime}=\left(\mathfrak{b}{j}\right){0 \leq j \leq n, j \neq j_{0}}$ is a good sequence of subalgebras of $\mathfrak{a}^{f}$. Since $\mathbf{h}{1}=\sum{j=1}^{n} a_{j}\left(f_{j}\right) \subset \mathbf{a}^{f}$, we see $a_{j}\left(f_{j}\right) \subset b_{j}\left(f_{j}^{\prime}\right)$ for every $j$ and hence
$$
\mathfrak{h}{1} \subset \sum{j=1}^{n} \mathfrak{b}{j}\left(f{j}^{\prime}\right)
$$
Well, $\mathfrak{h}_{1}$ being a Lagrangian subspace, we necessarily have equality in (2.4.1). Now it suffices to apply the induction hypothesis to $A^{f}=\exp \left(a^{f}\right)$.
Suppose now that there exists no minimal ideal of $\mathfrak{g}$ which is not central. Take the good sequence $s$ which defines $\mathfrak{h}{1}$. With our hypothesis, we necessarily have $\mathfrak{a}{1}=\mathfrak{z}$ and $f_{1} \neq 0$. If $\mathfrak{a}{2}$ is an ideal of $\mathfrak{g}$, the above reasoning shows that $\mathfrak{h}{1}$ is a Vergne polarization of the subalgebra $\left(a_{2}\right)^{f}$. If $h_{2} \subset\left(a_{2}\right)^{f}$, it suffices to apply the induction hypothesis. If not, we modify $\mathfrak{h}{2}$ to $\mathfrak{h}{2}^{\prime}=\left(\mathfrak{h}{2} \cap\left(\mathfrak{a}{2}\right)^{f}\right)+\mathfrak{a}{2}$ and $H{2}$ to $H_{2}^{\prime}=\exp \left(\mathfrak{h}{2}^{\prime}\right)$. From the Pukanszky condition we can take (cf. [24, Chap. VI]) a coexponential basis ${X}$ of $\left(a{2}\right)^{f}$ in $g$ in such a way that $X$ belongs to $h_{2}$. Take also $Y$ in $a_{2} \backslash a_{1}$
On the other hand, the induction hypothesis says that there exists a coexponential basis $\left{X_{1}^{\prime}, \ldots, X_{k}^{\prime}\right}$ to $\mathfrak{h}{1}$ in $\left(a{2}\right)^{f}$ which contains a coexponential basis $\left{X_{i_{1}}^{\prime}, \ldots, X_{i_{m}}^{\prime}\right}$ of $\mathfrak{h}{1} \cap \mathfrak{h}{2}^{\prime}$ in $\mathfrak{h}{2}^{\prime}$ and even in $\mathfrak{h}{2} \cap\left(a_{2}\right)^{f}$. Then $\left{X, X_{1}^{\prime}, \ldots, X_{k}^{\prime}\right}$ is a coexponential basis of $h_{1}$ in $\mathfrak{g}$, whose part $\left{X_{i_{1}}^{\prime}, \ldots, X_{i_{m}}^{\prime}\right}$ is coexponential for $\mathfrak{h}{1} \cap \mathfrak{h}{2}$ in $\boldsymbol{h}_{2}$.
表示论代考
数学代写|表示论代写Representation theory代考|A Trace Relation
让G=经验G是具有李代数的指数可解李群G. 如果 h,s 和H2是两个极化G在F∈G∗满足 Pukanszky 条件，轨道方法断言单项式表示圆周率一世=工业H一世GχF(H一世= 经验(H一世),1≤一世≤2） 的G是不可约且相互等价的。我们有兴趣在这些表示之间构建一个明确的交织运算符。让我们勾勒出这个想法，这可以追溯到 Vergne [151]。如果我们有
Tr 一个dH1/(H1∩H2)X+Tr一个dH2/(H1∩H2)X=0对于任何X∈H1∩H2， 然后
ΔH1,G(H)=ΔH2,G(H)ΔH1∩H2,H2(H)2
对所有人H∈H1∩H2, 并且, 对于φ在希尔伯特空间H圆周率1的圆周率1和G∈G， 功能披G上H2由
披G(H)=φ(GH)χF(H)ΔH2,G−1/2(H)
验证关系
披G(HX)=ΔH1∩H2,H2(X)披G(H)(H∈H2,X∈H1∩H2)
因此，我们至少可以正式地考虑积分
(我b2bφ)(G)=∮H2/(H1∩H2)φ(GH)χF(H)ΔH2,G−1/2(H)d在H2,H1∩H2(H)
为了φ∈H圆周率和G∈G. 如果这个积分收敛于任何G∈G， 很清楚我H2H1φ验证空间元素所需的协方差关系H圆周率2， 和我H2H)1通勤与行动G通过左翻译。事实上，Vergne 证明了以下命题。一个理想的G如果它在所有非中心理想中是最小的，则称它是最小的非中心理想G. 为了一个理想一个的G， 我们把
一个F=X∈G;F([X,一个])=0.
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Relations Between Two Polarizations
我们保留符号。
备注 2.3.1 不假设 Pukanzsy 条件定理2.2.2可能会失败，我们不能写出积分(2.2.1)即使圆周率1≃圆周率2. 确实，让G是有基的完全可解的 4 维李代数(吨,磷,问,从)令人满意的
[吨,磷]=12磷,[吨,问]=12问,[吨,从]=[磷,问]=从.
让F=从∈G. 然后G(F)=0和
H1=R吨+R磷+R从,H2=R吨+R问+R从
属于米(F,G), 但两者都不H1也不H2验证 Pukanszky 条件。
存在两个开放的共轨轨道○±的G=经验G :
O_{+}=\left{l \in \mathfrak{g}^{} ; l(Z)>0\right}, O_{-}=\left{l \in \mathfrak{g}^{} ; l(Z)<0\右}O_{+}=\left{l \in \mathfrak{g}^{} ; l(Z)>0\right}, O_{-}=\left{l \in \mathfrak{g}^{} ; l(Z)<0\右}
表示ρ(Ω)的不可约单一表示G对应轨道Ω∈G∗/G， 我们知道圆周率1≃圆周率2≃ρ(○+)⊕ρ(○−)（参见[151]）。然而，很明显，Tr一个dH1/(H1∩H2)吨=Tr一个dH2/(H1∩H2)吨=1/2.
什么时候G=经验G是幂零的并且ķ1,ķ2是分析子组，乘积K_{1} K_{2}=\left{k_{1} k_{2} ; k_{1} \in K_{1}, k_{2} \in K_{2}\right}K_{1} K_{2}=\left{k_{1} k_{2} ; k_{1} \in K_{1}, k_{2} \in K_{2}\right}总是一个闭子集G（参见[97]）。我们表示H(F,H1,G)的稠密子空间H圆周率1由具有紧凑支持模数的连续函数组成H1. 因此积分 (2.2.1) 收敛于φ∈H(F,H1,G). 事实上，Lion 证明了 (2.2.1) 给出了圆周率1和圆周率2. 另一方面，当我们传递到指数情况时ķ1ķ2可能不会关闭，从而使积分 (2.2.1) 的收敛成为一个严重的问题。
示例 2.3.2 取
G_{2}=\exp g_{2}=\left{\left(\begin{array}{ll} a & b \ 0 & 1 \end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb {R}); a>0\right}(a x+b \text { group })G_{2}=\exp g_{2}=\left{\left(\begin{array}{ll} a & b \ 0 & 1 \end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb {R}); a>0\right}(a x+b \text { group })
要素
和1=(10 00),和2=(01 00)
形成一个基础G2这样[和1,和2]=和2. 让F=和2∈G2,吨1=R和1,和2=R(和1+ 和2)和ķ一世=经验吨一世(一世=1,2). 然后吨一世∈米(F,G2)但吨一世∉我(F,G2)(一世=1,2). 我们立即看到
K{2} K_{1}=\left{g=\left(\begin{array}{ll} a & b \ 0 & 1 \end{array}\right) \in G_{2} ; b>-1\右}K{2} K_{1}=\left{g=\left(\begin{array}{ll} a & b \ 0 & 1 \end{array}\right) \in G_{2} ; b>-1\右}
和吨2=G0⋅吨1和G0=(1−1 01)∈G2.
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Vergne Polarizations
我们保留符号G=经验G,F∈G∗,Hj∈我(F,G)和Hj=经验(Hj)为了j=1,2.
引理 2.4.1 如果H1是 Vergne 极化，则存在一个共指数基H1∩H2在H2它是共指数基的一部分H1在G. 同样，存在一个共指数基H1∩H2在H1它是共指数基的一部分H2在G. 尤其是，H2H1（因此H1H2, 太) 被封闭在G.
证明 我们通过归纳继续暗淡G. 如果存在一个非平凡的理想 aG在哪个F消失，一切都传递给商G/一个和一个=经验一个. 下文将排除这种情况。如果存在最小理想一个这不是中心的，我们知道（参见 [24，Chap. VI]）a 包含在我(F,G). 因此对于j=1,2,Hj⊂一个F≠G. 假设 Vergne 极化H1是从一个好的序列开始构建的s=(一个j)0≤j≤n子代数，即：
一个j−1⊂一个j,暗淡(一个j)=j,H1=∑j=1n一个j(Fj),Fj=F|一个j(1≤j≤n).
放bj=一个j∩一个F和Fj′=F|bj(0≤j≤n). 存在索引j0(1≤j0≤n)这样bj0=bj0−1很明显s′=(bj)0≤j≤n,j≠j0是一个很好的子代数序列一个F. 自从H1=∑j=1n一个j(Fj)⊂一个F， 我们看一个j(Fj)⊂bj(Fj′)对于每个j因此
H1⊂∑j=1nbj(Fj′)
出色地，H1作为拉格朗日子空间，我们在（2.4.1）中必然有等式。现在只需将归纳假设应用于一个F=经验(一个F).
现在假设不存在G这不是中心。采取好的顺序s它定义了H1. 根据我们的假设，我们必然有一个1=和和F1≠0. 如果一个2是一个理想的G, 上述推理表明H1是子代数的 Vergne 极化(一个2)F. 如果H2⊂(一个2)F, 应用归纳假设就足够了。如果不是，我们修改H2至H2′=(H2∩(一个2)F)+一个2和H2至H2′=经验(H2′). 根据 Pukanszky 条件，我们可以采用（参见 [24，Chap. VI]）一个共指数基础X的(一个2)F在G以这样的方式X属于H2. 也拿是在一个2∖一个1
另一方面，归纳假设说存在一个共指数基\left{X_{1}^{\prime}, \ldots, X_{k}^{\prime}\right}\left{X_{1}^{\prime}, \ldots, X_{k}^{\prime}\right}至H1在(一个2)F其中包含一个共指数基\left{X_{i_{1}}^{\prime}, \ldots, X_{i_{m}}^{\prime}\right}\left{X_{i_{1}}^{\prime}, \ldots, X_{i_{m}}^{\prime}\right}的H1∩H2′在H2′甚至在H2∩(一个2)F. 然后\left{X, X_{1}^{\prime}, \ldots, X_{k}^{\prime}\right}\left{X, X_{1}^{\prime}, \ldots, X_{k}^{\prime}\right}是一个共指数基H1在G, 谁的部分\left{X_{i_{1}}^{\prime}, \ldots, X_{i_{m}}^{\prime}\right}\left{X_{i_{1}}^{\prime}, \ldots, X_{i_{m}}^{\prime}\right}是共指数的H1∩H2在H2.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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