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黎曼几何是研究黎曼流形的微分几何学分支，黎曼流形是具有黎曼公制的光滑流形，即在每一点的切线空间上有一个内积，从一点到另一点平滑变化。
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数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Nonautonomous Vector Fields
Definition $2.13$ A nonautonomous vector field is family of vector fields $\left{X_{t}\right}_{t \in \mathbb{R}}$ such that the $\operatorname{map} X(t, q)=X_{t}(q)$ satisfies the following properties:
(C1) the map $t \mapsto X(t, q)$ is measurable for every fixed $q \in M$;
(C2) the map $q \mapsto X(t, q)$ is smooth for every fixed $t \in \mathbb{R}$;
(C3) for every system of coordinates defined in an open set $\Omega \subset M$ and every compact $K \subset \Omega$ and compact interval $I \subset \mathbb{R}$ there exist two functions $c(t), k(t)$ in $L^{\infty}(I)$ such that, for all $(t, x),(t, y) \in I \times K$,
$$
|X(t, x)| \leq c(t), \quad|X(t, x)-X(t, y)| \leq k(t)|x-y|
$$
Conditions (C1) and (C2) are equivalent to requiring that for every smooth function $a \in C^{\infty}(M)$ the scalar function $\left.(t, q) \mapsto X_{t} a\right|_{q}$ defined on $\mathbb{R} \times M$ is measurable in $t$ and smooth in $q$.
Remark $2.14$ In what follows we are mainly interested in nonautonomous vector fields of the following form:
$$
X_{t}(q)=\sum_{i=1}^{m} u_{i}(t) f_{i}(q)
$$
where the $u_{i}$ are $L^{\infty}$ functions and the $f_{i}$ are smooth vector fields on $M$. For this class of nonautonomous vector fields, assumptions (C1)-(C2) are trivially satisfied. Regarding $(\mathrm{C} 3)$, thanks to the smoothness of $f_{i}$, for every compact set $K \subset \Omega$ we can find two positive constants $C_{K}, L_{K}$ such that, for all $i=1, \ldots, m$, and $j=1, \ldots, n$, we have
$$
\left|f_{i}(x)\right| \leq C_{K}, \quad\left|\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}(x)\right| \leq L_{K}, \quad \forall x \in K,
$$
and we obtain, for all $(t, x),(t, y) \in I \times K$,
$$
|X(t, x)| \leq C_{K} \sum_{i=1}^{m}\left|u_{i}(t)\right|, \quad|X(t, x)-X(t, y)| \leq L_{K} \sum_{i=1}^{m}\left|u_{i}(t)\right| \cdot|x-y| .
$$
The existence and uniqueness of integral curves of a nonautonomous vector field are guaranteed by the following theorem (see [BP07]).
数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Differential of a Smooth Map
A smooth map between manifolds induces a map between the corresponding tangent spaces.
Definition $2.17$ Let $\varphi: M \rightarrow N$ be a smooth map between smooth manifolds and let $q \in M$. The differential of $\varphi$ at the point $q$ is the linear map
$$
\varphi_{, q}: T_{q} M \rightarrow T_{\varphi(q)} N $$ defined as follows: $$ \varphi_{, q}(v)=\left.\frac{d}{d t}\right|{t=0} \varphi(\gamma(t)) \quad \text { if } \quad v=\left.\frac{d}{d t}\right|{t=0} \gamma(t), \quad q=\gamma(0) .
$$
It is easily checked that this definition depends only on the equivalence class of $\gamma$.
The differential $\varphi_{: q}$ of a smooth map $\varphi: M \rightarrow N$ (see Figure 2.1), also called its pushforward, is sometimes denoted by the symbols $D_{q} \varphi$ or $d_{q} \varphi$. Exercise 2.18 Let $\varphi: M \rightarrow N, \psi: N \rightarrow Q$ be smooth maps between manifolds. Prove that the differential of the composition $\psi \circ \varphi: M \rightarrow Q$ satisfies $(\psi \circ \varphi){}=\psi{} \circ \varphi_{}$.
As we said, a smooth map induces a transformation of tangent vectors. If we deal with diffeomorphisms, we can also obtain a pushforward for a vector field.
数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Lie Brackets
In this section we introduce a fundamental notion for sub-Riemannian geometry, the Lie bracket of two vector fields $X$ and $Y$. Geometrically it is defined as an infinitesimal version of the pushforward of the second vector field along the flow of the first. As explained below, it measures how much $Y$ is modified by the flow of $X$.
Definition 2.22 Let $X, Y \in \operatorname{Vec}(M)$. We define their Lie bracket as the vector field
$$
[X, Y]:=\left.\frac{\partial}{\partial t}\right|{t=0} e{}^{-t X} Y . $$ Remark $2.23$ The geometric meaning of the Lie bracket can be understood by writing explicitly $$ \begin{aligned} {\left.[X, Y]\right|{q} } &=\left.\left.\frac{\partial}{\partial t}\right|{t=0} e_{}^{-t X} Y\right|{q}=\left.\frac{\partial}{\partial t}\right|{t=0} e_{}^{-t X}\left(\left.Y\right|{e^{t} X}(q)\right.\ &=\left.\frac{\partial}{\partial s \partial t}\right|{t=s=0} e^{-t X} \circ e^{s Y} \circ e^{t X}(q)
\end{aligned}
$$
Proposition 2.24 As derivations on functions, one has the identity
$$
\lfloor X, Y \mid=X Y-Y X
$$
Proof By definition of the Lie bracket we have $[X, Y] a=\left.(\partial / \partial t)\right|{t=0}$ $\left(e{}^{-t X} Y\right) a$. Hence we need to compute the first-order term in the expansion, with respect to $t$, of the map
$t \mapsto\left(e_{}^{-t X} Y\right) a .$ Using formula (2.28), we have $$ \left(e_{}^{-t X} Y\right) a=Y\left(a \circ e^{-t X}\right) \circ e^{t X} .
$$
By Remark 2.9, we have $a \circ e^{-t X}=a-t X a+O\left(t^{2}\right)$, hence
$$
\begin{aligned}
\left(e_{}^{-t X} Y\right) a &=Y\left(a-t X a+O\left(t^{2}\right)\right) \circ e^{t X} \ &=\left(Y a-t Y X a+\bar{O}\left(t^{2}\right)\right) \circ e^{t X} . \end{aligned} $$ Denoting $b=Y a-t Y X a+O\left(t^{2}\right), b_{t}=b \circ e^{t X}$, and using again the above expansion, we get $$ \begin{aligned} \left(e_{}^{-t X} Y\right) a &=\left(Y a-t Y X a+O\left(t^{2}\right)\right)+t X\left(Y a-t Y X a+O\left(t^{2}\right)\right)+O\left(t^{2}\right) \
&=Y a+t(X Y-Y X) a+O\left(t^{2}\right)
\end{aligned}
$$
which proves that the first-order term with respect to $t$ in the expansion is $(X Y-Y X) a$.
Proposition $2.24$ shows that $(\operatorname{Vec}(M),[\cdot, \cdot])$ is a Lie algebra.
黎曼几何代考
数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Nonautonomous Vector Fields
定义2.13非自治向量场是向量场族\left{X_{t}\right}_{t \in \mathbb{R}}\left{X_{t}\right}_{t \in \mathbb{R}}使得地图X(吨,q)=X吨(q)满足以下性质：
（C1）地图吨↦X(吨,q)是可测量的每个固定的q∈米;
(C2) 地图q↦X(吨,q)对于每个固定的都是平滑的吨∈R;
(C3) 对于在开放集中定义的每个坐标系统Ω⊂米和每一个契约ķ⊂Ω和紧区间我⊂R存在两个功能C(吨),ķ(吨)在大号∞(我)这样，对于所有人(吨,X),(吨,是)∈我×ķ,
|X(吨,X)|≤C(吨),|X(吨,X)−X(吨,是)|≤ķ(吨)|X−是|
条件 (C1) 和 (C2) 等价于要求每个平滑函数一个∈C∞(米)标量函数(吨,q)↦X吨一个|q定义于R×米是可测量的吨并平滑q.
评论2.14在下文中，我们主要对以下形式的非自治向量场感兴趣：
X吨(q)=∑一世=1米在一世(吨)F一世(q)
在哪里在一世是大号∞功能和F一世是光滑的向量场米. 对于这类非自治向量场，假设 (C1)-(C2) 很容易满足。关于(C3), 由于平滑F一世, 对于每个紧集ķ⊂Ω我们可以找到两个正常数Cķ,大号ķ这样，对于所有人一世=1,…,米， 和j=1,…,n， 我们有
|F一世(X)|≤Cķ,|∂F一世∂Xj(X)|≤大号ķ,∀X∈ķ,
我们为所有人获得(吨,X),(吨,是)∈我×ķ,
|X(吨,X)|≤Cķ∑一世=1米|在一世(吨)|,|X(吨,X)−X(吨,是)|≤大号ķ∑一世=1米|在一世(吨)|⋅|X−是|.
非自治向量场的积分曲线的存在性和唯一性由以下定理保证（参见[BP07]）。
数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Differential of a Smooth Map
流形之间的平滑映射会导致相应切线空间之间的映射。
定义2.17让披:米→ñ是光滑流形之间的光滑映射，让q∈米. 的差异披在这一点上q是线性映射
披,q:吨q米→吨披(q)ñ定义如下：
披,q(在)=dd吨|吨=0披(C(吨)) 如果 在=dd吨|吨=0C(吨),q=C(0).
很容易检查这个定义只依赖于等价类C.
差速器披:q光滑的地图披:米→ñ（见图 2.1），也称为前推，有时用符号表示Dq披或者dq披. 练习 2.18 让披:米→ñ,ψ:ñ→问是流形之间的平滑映射。证明组成的微分ψ∘披:米→问满足(ψ∘披)=ψ∘披.
正如我们所说，平滑映射会引起切向量的变换。如果我们处理微分同胚，我们还可以获得向量场的推进。
数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Lie Brackets
在本节中，我们介绍亚黎曼几何的一个基本概念，即两个向量场的李括号X和是. 在几何上，它被定义为第二个矢量场沿第一个矢量场的流动的无限小版本。如下所述，它测量多少是由流修改X.
定义 2.22 让X,是∈一个东西(米). 我们将它们的李括号定义为向量场
[X,是]:=∂∂吨|吨=0和−吨X是.评论2.23李括号的几何意义可以通过显式书写来理解
[X,是]|q=∂∂吨|吨=0和−吨X是|q=∂∂吨|吨=0和−吨X(是|和吨X(q) =∂∂s∂吨|吨=s=0和−吨X∘和s是∘和吨X(q)
命题 2.24 作为对函数的推导，一个有恒等式
⌊X,是∣=X是−是X
证明 根据李括号的定义，我们有[X,是]一个=(∂/∂吨)|吨=0 (和−吨X是)一个. 因此，我们需要计算展开中的一阶项，关于吨, 的地图
吨↦(和−吨X是)一个.使用公式（2.28），我们有
(和−吨X是)一个=是(一个∘和−吨X)∘和吨X.
根据备注 2.9，我们有一个∘和−吨X=一个−吨X一个+○(吨2)， 因此
(和−吨X是)一个=是(一个−吨X一个+○(吨2))∘和吨X =(是一个−吨是X一个+○¯(吨2))∘和吨X.表示b=是一个−吨是X一个+○(吨2),b吨=b∘和吨X，并再次使用上述展开式，我们得到
(和−吨X是)一个=(是一个−吨是X一个+○(吨2))+吨X(是一个−吨是X一个+○(吨2))+○(吨2) =是一个+吨(X是−是X)一个+○(吨2)
这证明了关于的一阶项吨在扩展是(X是−是X)一个.
主张2.24表明(一个东西(米),[⋅,⋅])是李代数。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。