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强化学习是一种基于奖励期望行为和/或惩罚不期望行为的机器学习训练方法。一般来说，强化学习代理能够感知和解释其环境，采取行动并通过试验和错误学习。
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机器学习代写|强化学习project代写reinforence learning代考|Reinforcement Learning
Abstract Critic learning is a fundamental problem in Reinforcement Learning. This paper aims to review some of the basic contents, that are essential to understand critic learning. We review the most important objective functions in the context of critic learning, state some general error sources of policy evaluation methods and explain problems occurring for the off-policy case. Using this knowledge we then compare the fundamental approaches for critic learning, Temporal Differences and Residual Learning. In the end we give a short overview about some more recent critic-learning methods.
In the setting of Reinforcement Learning an agent interacts with an environment by performing actions and receiving reward. This interaction can be formulated as a Markov Decision Process (MDP), defined by a state set $\mathcal{S}$, an action set $\mathcal{A}$, a transition function $\mathcal{P}: \mathcal{S} \times \mathcal{A} \times \mathcal{S} \rightarrow \mathbb{R}$ and a reward function $R: \mathcal{S} \times \mathcal{A} \rightarrow \mathbb{R}$. At each discrete time step $t \in \mathbb{N}{\geq 0}$ the agent chooses an action $A{t}$ dependent on the current state $S_{t}$ of the environment and its current policy $\pi$. After performing the chosen action, the environment changes its state according to the transition function and the agent receives a reward $R_{t}$ according to the reward function [3].
The goal of Reinforcement Learning is to find the so-called optimal policy $\pi^{*}$, that maximizes the future expected discounted reward
$$
J(\pi)=\mathbb{E}{\mathcal{P}, \pi}\left[\sum{t=0}^{\infty} \gamma^{t} R_{t}\right]
$$
where $\gamma \in[0,1]$ is the discount factor. The discount factor can be used to determine how much importance is given to future rewards. Assuming ergodicity also allows to define a stationary distribution $\mu(s)$ over $\mathcal{S}$, that determines the probability for an agent to be in state $s$ at any time step $[3,4]$.
机器学习代写|强化学习project代写reinforence learning代考|Critic Learning
To maximize future rewards an estimation of the accumulated discounted reward is required. This accumulated reward is referred to as the value $v_{\pi}$ of a state $s$. The corresponding value function
$$
v_{\pi}(s)=\mathbb{E}{\mathcal{P}, \pi}\left[\sum{t=0}^{\infty} \gamma^{t} R_{t} \mid S_{0}=s\right]
$$
returns the value we can expect after starting in a state $s$ and following a policy $\pi$. Its estimation plays a fundamental role in Reinforcement Learning, because based on the values we can select the actions. For example, the important concept of policy iteration alternates between evaluating a policy, i.e. estimating the value of each state following a given policy, and improving the policy, e.g. making it greedy concerning the estimated values. When the state set is small and discrete, estimating the value function can be realized by tabular methods. Those methods simply try to learn and remember the true value for each state individually. However, tabular methods are not feasible, when the state space is large or continuous. One of the most common approaches in this case is learning a parametric function, that estimates the value of a given state as precise as possible. In this context, the idea of policy iteration is also called Actor-Critic Learning, where the term actor refers to the deduced policy and the term critic refers to the learned value function. So critic learning is the problem of learning a parametric value function given an MDP and a policy [11].
机器学习代写|强化学习project代写reinforence learning代考|Objective Functions and Temporal Differences
To assess the quality of a parametric value function, first we review the mean squared error between the approximate and the true values of the states as an objective function. When approximating the true value function, it is more important to estimate those states correctly, that have a higher frequency of occurrence, than those, that only occur infrequently. Therefore the mean squared errors are weighted using the
stationary distribution $\mu(s)$. This weighted mean squared error, or simply mean squared error, is thus given by
$$
\overline{\mathrm{VE}}(\theta)=\mathbb{E}{\mu}\left[\left(\hat{v}{\theta}(s)-v_{\pi}(s)\right)^{2}\right],
$$
which is identical to $\sum_{s \in \mathcal{S}} \mu(s)\left[\hat{v}{\theta}(s)-v{\pi}(s)\right]^{2}$, assuming a finite state set. The $\theta$ refers to the parameters of the parametric function. ${ }^{1}$
There is one central insight when discussing critic learning. That is, that there is no parametric value function, that can achieve $\overline{\mathrm{VE}}(\theta)=0$, as long as the true value function is non-trivial and the number of parameters is less than the number of states [11]. Hence all parametric value functions only form a subspace inside the total space of all possible value functions, that map states $s \in \mathcal{S}$ to real numbers $\mathbb{R}$. This subspace is referred to as $\mathcal{H}{\theta}$. As already mentioned, usually $v{\pi} \notin \mathcal{H}{\theta}$. Nevertheless there is a value function $\hat{v}{\theta} \in \mathcal{H}{\theta}$, that is closest to the true value function in terms of the mean squared error, i.e. $\theta=\arg \min {\theta^{\prime}} \overline{\mathrm{VE}}\left(\theta^{\prime}\right)$. This function can be obtained by applying the projection operator $\Pi$ onto the true value function. This operator projects the true value function from outside to inside of $\mathcal{H}{\theta}$, i.e. $$ \left(\Pi v{\pi}\right)(s) \doteq \hat{v}{\theta}(s) \quad \text { with } \quad \theta=\arg \min {\theta^{\prime}} \overline{\mathrm{VE}}\left(\theta^{\prime}\right) .
$$
The most straightforward way to learn the approximation value function is to get an estimator for the true value of each state $v_{\pi}(s)$ and then use a standard optimization technique to obtain the parameters $\theta$, that minimize the mean squared error. Monte Carlo (MC) estimates of the true values can be used for that. That means, that the actor starts interaction with the environment and retrospectively calculates the discounted average reward for each state visited after finishing the interaction and observing the rewards. This kind of estimation is unbiased and thus the optimization procedure, assuming convexity, will eventually result in $\Pi v_{\pi}$. But learning the critic using MC estimates is not preferable due to two main reasons. First, we have to wait until the end of the interaction between actor and environment before being able to update and improve the approximation value function. Second, the estimates of the state values, although being unbiased, suffers from a high variance. Thus the learning process is very slow and requires extensive interaction between actor and environment $[3,11]$.
强化学习代写
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摘要 批评学习是强化学习中的一个基本问题。本文旨在回顾一些对理解批评学习至关重要的基本内容。我们回顾了批评学习背景下最重要的目标函数，陈述了一些政策评估方法的一般错误来源，并解释了政策外案例中出现的问题。然后，利用这些知识，我们比较了批评学习、时间差异和残差学习的基本方法。最后，我们简要概述了一些最近的批评学习方法。
在强化学习的设置中，代理通过执行动作和接收奖励来与环境交互。这种交互可以表述为马尔可夫决策过程（MDP），由状态集定义小号, 一个动作集一种, 一个转移函数磷:小号×一种×小号→R和奖励函数R:小号×一种→R. 在每个离散时间步 $t \in \mathbb{N} {\geq 0}吨H和一种G和n吨CH这这s和s一种n一种C吨一世这n一个{t}d和p和nd和n吨这n吨H和C在rr和n吨s吨一种吨和英石}这F吨H和和n在一世r这n米和n吨一种nd一世吨sC在rr和n吨p这l一世C是\pi.一种F吨和rp和rF这r米一世nG吨H和CH这s和n一种C吨一世这n,吨H和和n在一世r这n米和n吨CH一种nG和s一世吨ss吨一种吨和一种CC这rd一世nG吨这吨H和吨r一种ns一世吨一世这nF在nC吨一世这n一种nd吨H和一种G和n吨r和C和一世在和s一种r和在一种rdR_{t}$ 根据奖励函数 [3]。
强化学习的目标是找到所谓的最优策略圆周率∗, 最大化未来的预期折扣奖励Ĵ(圆周率)=和磷,圆周率[∑吨=0∞C吨R吨]
在哪里C∈[0,1]是折扣因子。折扣因子可用于确定对未来奖励的重视程度。假设遍历性也允许定义一个平稳分布μ(s)超过小号，它决定了一个代理处于状态的概率s在任何时间步[3,4].
机器学习代写|强化学习project代写reinforence learning代考|Critic Learning
为了使未来的奖励最大化，需要估计累积的折扣奖励。这种累积的奖励被称为价值在圆周率一个国家的s. 对应的值函数
在圆周率(s)=和磷,圆周率[∑吨=0∞C吨R吨∣小号0=s]
返回一个状态开始后我们可以期待的值s并遵循政策圆周率. 它的估计在强化学习中起着基础性的作用，因为我们可以根据这些值来选择动作。例如，策略迭代的重要概念在评估策略（即估计遵循给定策略的每个状态的值）和改进策略（例如使其对估计值变得贪婪）之间交替。当状态集较小且离散时，可以通过表格的方法来估计值函数。这些方法只是尝试单独学习和记住每个状态的真实值。但是，当状态空间很大或连续时，表格方法是不可行的。在这种情况下，最常见的方法之一是学习参数函数，它尽可能精确地估计给定状态的值。在这种情况下，策略迭代的思想也称为 Actor-Critic 学习，其中术语 actor 指的是推导的策略，而术语critic 指的是学习的价值函数。因此，批评学习是在给定 MDP 和策略 [11] 的情况下学习参数值函数的问题。
机器学习代写|强化学习project代写reinforence learning代考|Objective Functions and Temporal Differences
为了评估参数值函数的质量，首先我们将状态的近似值和真实值之间的均方误差作为目标函数进行审查。在逼近真值函数时，正确估计那些出现频率更高的状态比那些仅不经常出现的状态更重要。因此，均方误差使用
平稳分布μ(s). 因此，该加权均方误差或简称均方误差由下式给出
在和¯(θ)=和μ[(在^θ(s)−在圆周率(s))2],
这与∑s∈小号μ(s)[在^θ(s)−在圆周率(s)]2，假设一个有限状态集。这θ指参数函数的参数。1
在讨论批评学习时，有一个核心见解。也就是说，没有参数值函数，可以实现在和¯(θ)=0，只要真值函数是非平凡的并且参数的数量小于状态的数量[11]。因此，所有参数值函数仅在所有可能值函数的总空间内形成一个子空间，映射状态s∈小号实数R. 这个子空间被称为Hθ. 如前所述，通常在圆周率∉Hθ. 尽管如此，还是有一个价值函数在^θ∈Hθ，即在均方误差方面最接近真值函数，即θ=参数分钟θ′在和¯(θ′). 这个函数可以通过应用投影算子来获得圆周率到真值函数上。该算子将真值函数从外部投影到内部Hθ， IE(圆周率在圆周率)(s)≐在^θ(s) 和 θ=参数分钟θ′在和¯(θ′).
学习近似值函数最直接的方法是获取每个状态的真实值的估计量在圆周率(s)然后使用标准优化技术来获得参数θ，最小化均方误差。可以使用真实值的蒙特卡罗 (MC) 估计。这意味着，actor 开始与环境交互，并在完成交互并观察奖励后回溯计算每个访问状态的折扣平均奖励。这种估计是无偏的，因此假设凸性的优化过程最终将导致圆周率在圆周率. 但是由于两个主要原因，使用 MC 估计学习评论家并不可取。首先，我们必须等到actor和环境之间的交互结束，才能更新和改进近似值函数。其次，状态值的估计虽然没有偏倚，但方差很大。因此学习过程非常缓慢，需要演员和环境之间的广泛互动[3,11].
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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