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物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Riemann Sums for Stochastic Integrals
This section seeks to extend the Riemann sum stratagem described above in order to simplify and unify various conceptions of strong and weak stochastic integration; and to replace stochastic integrals by stochastic sums.
A stochastic process is a family of random variables $X=X_{\mathbf{T}}=\left(X_{s}\right), s \in \mathbf{T}$, where $\mathbf{T}$ is an infinite set such as $] 0, t]$. Stochastic integration is a device which constructs a random variable $Z$ from a process $X_{\mathrm{T}}$; such as
$$
Z=\int_{0}^{t} X_{s} d X_{s} .
$$
Example 23 Constructions of this kind have been given a variety of interpretations and meanings in chapter 8 (pages 383-446) of [MTRV], such as strong and weak stochastic integrals:
$$
\mathbf{S}{T}^{g}\left(X{\mathbf{T}}\right), \quad \mathcal{S}{\mathbf{T}}^{g}\left(X{\mathrm{T}}\right)
$$
where (in this case) the integrand $g$ is $X_{s}\left(X_{s^{\prime}}-X_{s}\right),=X_{s} d X_{s},\left(0 \leq s<s^{\prime} \leq t\right)$. In fact, provided $X_{\mathbf{T}}$ is standand Brownian motion, $\int_{0}^{t} X_{s} d X_{s}$ is $\mathcal{S}{\mathrm{T}}^{g}\left(X{\mathrm{T}}\right), a$
weak stochastic integral which evaluates as $\frac{1}{2} X_{t}^{2}-\frac{1}{2} t . \quad$ (See example 63 , pages $405-406$ of [MTRV].)
Expressed in terms of sample values $x_{s}(0<s<t)$, or in terms of sample path $x_{T}$, this result states that, with $x_{t}=x(t)$ given,
$$
\mathcal{S}{T}^{g}\left(x{T}\right)=\int_{0}^{t} x_{s} d x_{s}=\int_{0}^{t} x(s) d x(s)=\frac{1}{2} x_{t}^{2}-\frac{1}{2} t
$$
in some weak sense; where $\int_{0}^{t} x(s) d x(s)$ is a Stieltjes-type integral of the pointfunction $x(s)$ with respect to (increments of) the point-function $x(s)$.
(a) Equation (6.4) is a “weak” equation, which can only be valid in some sense of “average value” of one or other side, or both.
(b) Furthermore, the left hand side of (6.4) references infinitely many values $x_{s}$, corresponding to the infinitely many time instants $0<s<t . A s$ in (6.3), this suggests infinitely many sample measurements $x_{s}$. This is counter-intuitive as a method of calculation. It is not practically possible to sample every instant s of time.
In the discussion below, both of these issues are addressed by using (as in (6.4)) a Riemann sum method for the averaging required by (a), so each Riemann sum involves a finite sample consisting of only a finite number of times s.
物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Stochastic Sum as Observable
A new type of observable is required:
$$
f\left(X_{\mathbf{T}}, \mathcal{N}\right) \simeq f\left(x_{\mathbf{T}}, N\right)\left[\mathbf{R}^{\mathbf{T}}, F_{X_{\mathbf{T}}}\right]
$$
where $F_{X_{\mathbf{T}}}$ is a distribution function defined for $I[N] \in \mathcal{I}\left(\mathbf{R}^{\mathbf{T}}\right.$ ) (the set of cells in $\left.\mathbf{R}^{\mathbf{T}}\right)$
$$
F_{X_{\mathrm{T}}}: \mathcal{I} \mapsto[0,1], \quad 0 \leq F_{X_{\mathrm{T}}}(I[N]) \leq 1 .
$$
In addition to dependence on joint occurrences $\left(x_{s}\right)=x_{\mathbf{T}}$, an observable $f$ is permitted to depend explicitly on partitions $N=\left{s_{1}, \ldots, s_{n-1}, s_{n}\right}$ of $\mathbf{T}$. Likewise, a distribution function $F_{X_{\mathrm{T}}}$ depends on cells $I=I[N]$, and may depend explicitly on the partitions $N=\left{s_{1}, \ldots, s_{n-1}, s_{n}\right}$ of T which (with $s_{n}=t$ ) are the “cylinder labels”, or dimension labels, of the cylindrical intervals $I[N]$ in $\mathbf{R}^{\mathbf{T}}$. For example, with $\left.\left.I_{t}=\right] u_{t}, v_{t}\right](t \in N)$, the incremental Gaussian distribution function $G$ of (5.8) (see page 115 above) depends explicitly on the parameters $u_{t}, v_{t}$, and $t$, for $t \in N$.
A left hand limit (or vertex) $u_{t}$ for a partitioning component cell $\left.I_{t}=\right] u_{t}, v_{t}$ ] $(t \in N)$ is a right hand limit or vertex of an adjoining cell $I_{t}^{\prime}$. Thus, choice of a partition $\mathcal{P}$ of domain $\mathbf{R}^{\mathbf{T}}$ reduces to choice of finite samples $N$ of times, along with choices $\left{u_{t}\right}$ of finite samples of vertices for $t \in N$.
As outlined in Section $6.2$, the fundamental step is to define the expectation $\mathrm{E}\left[f\left(X_{\mathrm{T}}, \mathcal{N}\right)\right]$; that is, to define the integral of $f\left(x_{\mathrm{T}}, N\right)$ with respect to distribution function $F(I[N])$. In particular, when $f\left(x_{\mathbf{T}}, N\right)=\mathcal{R}{\mathbf{T}}^{g}\left(x{\mathbf{T}}, N\right)$, (or $\left.f_{\mathbf{T}}^{g}\left(x_{\mathbf{T}}, N\right)\right)$
$$
\begin{aligned}
\mathrm{E}\left[\mathcal{R}{\mathbf{T}}^{g}\left(X{T}, \mathcal{N}\right)\right], &=\int_{\mathbf{R}^{\mathbf{T}}}\left(\mathcal{R}{\mathbf{T}}^{g}\left(x{\mathbf{T}}, N\right)\right) F(I[N]), \
\text { or } \mathrm{E}\left[\oiint_{\mathbf{T}}^{g}\left(X_{\mathbf{T}}, \mathcal{N}\right)\right], &=\int_{\mathbf{R}^{\mathrm{T}}}\left(\oiint_{\mathbf{T}}^{g}\left(x_{\mathbf{T}}, N\right)\right) F(I[N])
\end{aligned}
$$
so $f_{\mathrm{T}}^{g}\left(X_{\mathbf{T}}, \mathcal{N}\right.$ ) is a random variable. Chapter 4 (pages 111-182) of [MTRV] deals with the integration in $\mathbf{R}^{S}$ of integrands of the form $h\left(x_{S}, N, I[N]\right)$, where $S$ is any infinite set (such as intervals of time $\mathbf{T}$ or $T$ ), including integrands $f\left(x_{S}, N\right) F(I[N])$. Briefly, $f\left(x_{S}, N\right) F(I[N])$ is integrable on $\mathbf{R}^{S}$, with integral
$$
\int_{\mathbf{R}^{S}} f\left(x_{S}, N\right) F(I[N])=\alpha,
$$
if, given $\varepsilon>0$, there exists a gauge $\gamma=\left(L, \delta_{\mathcal{N}}\right)$ such that, for every $\gamma$-fine division $\mathcal{D}$ of $\mathbf{R}^{S}$, the corresponding Riemann sums satisfy
$$
\left|\alpha-(\mathcal{D}) \sum f\left(x_{S}, N\right) F(I[N])\right|<\varepsilon
$$
Chapter 4 of [MTRV] provides a theory of variation for functions $h(x, N, I[N])$ which is applicable to functions $F(I[N])$ and $f(x, N) F(I[N])$. So, for instance, $F(I[N]$ ) (defined on cells $I[N])$ can be extended to an “outer measure” on arbitrary subsets $A$ of $\mathbf{R}^{S}$. Chapter 4 also provides limit theorems for integrals (such as integrability of limits of integrable functions), and Fubini’s theorem for integrands defined on product domains of the form $\mathbf{R}^{S^{\prime}} \times \mathbf{R}^{S^{\prime \prime}}$.
物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Stochastic Sum as Random Variable
This section follows through on the definitions of Section 6.3, using familiar examples to illustrate the theory of stochastic sums, as replacement for both strong and weak stochastic integrals in chapter 8 of [MTRV]. The examples are based on the functions $g_{1}$ to $g_{9}$ of pages 391-392; also listed in (5.31) and (5.32) at the end of Chapter 5 above.
The notation is as set out in section $8.2$ of MTRV (pages $386-390$ ); with
$\mathbf{T}=] 0, t]$ replacing the symbol $\mathcal{T}=] 0, t]$ of $[\mathrm{MTRV}] .$ For any given $x_{\mathbf{T}} \in \mathbf{R}^{\mathbf{T}}$,
$$
\begin{aligned}
z_{s} &\left.=] s, s^{\prime}\right], & & 0 \leq s<s^{\prime} \leq t, \
\mathbf{x}\left(z_{s}\right) &=x\left(s^{\prime}\right)-x(s), & & x=x_{\mathrm{T}} \in \mathbf{R}^{\mathrm{T}}, \
g &=g\left(x_{s}, s, \mathbf{x}\left(z_{s}\right), z_{s}\right), & & \text { a stochastic summand (or integrand), } \
\mathbf{X}\left(z_{s}\right) &=X\left(s^{\prime}\right)-X(s), & & X=X_{\mathrm{T}} \text { an observable in sample space } \mathbf{R}^{\mathrm{T}}, \
N &=\left{s_{1}, \ldots, s_{n-1}, s_{n}\right}, & & \text { a partition of } \mathbf{T}, \text { or finite subset of } \mathbf{T}, \
z_{j} &\left.=] s_{j-1}, s_{j}\right], & j=1, \ldots, n, \quad s_{0}=0, s_{n}=t .
\end{aligned}
$$
For $g=g_{1}, \ldots, g_{9}$ of $(8.16)$ in page 419 of [MTRV], evaluations of stochastic integrals (strong and weak) have been given in [MTRV]. The idea here is to illustrate stochastic summation by replacing ${ }^{4}$ the stochastic integrals $\mathbf{S}{\mathbf{T}}^{g{j}}\left(X_{\mathbf{T}}\right)$ or $\mathcal{S}{\mathbf{T}}^{g{j}}\left(X_{\mathbf{T}}\right)$ with corresponding stochastic sums of the form
$$
\int_{\mathbf{T}}^{g_{j}}\left(X_{\mathbf{T}}, \mathcal{N}\right)=\sum_{j=1}^{n} g_{j}\left(X_{s_{j}}, s_{j}, \mathbf{X}\left(z_{s_{j}}\right), z_{s_{j}}\right)
$$
电动力学代考
物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Riemann Sums for Stochastic Integrals
本节试图扩展上述黎曼和策略，以简化和统一强和弱随机积分的各种概念；并用随机和代替随机积分。
随机过程是一系列随机变量X=X吨=(Xs),s∈吨， 在哪里吨是一个无限集，例如]0,吨]. 随机积分是一种构造随机变量的装置从从一个过程X吨; 如
从=∫0吨XsdXs.
例 23 此类结构在 [MTRV] 的第 8 章（第 383-446 页）中给出了多种解释和含义，例如强和弱随机积分：
小号吨G(X吨),小号吨G(X吨)
其中（在这种情况下）被积函数G是Xs(Xs′−Xs),=XsdXs,(0≤s<s′≤吨). 事实上，只要X吨是标准布朗运动，∫0吨XsdXs是小号吨G(X吨),一个
弱随机积分，其评估为12X吨2−12吨.（参见示例 63，页405−406[地铁]。）
以样本值表示Xs(0<s<吨)，或就样本路径而言X吨，这个结果表明，与X吨=X(吨)给定，
小号吨G(X吨)=∫0吨XsdXs=∫0吨X(s)dX(s)=12X吨2−12吨
在某种微弱的意义上；在哪里∫0吨X(s)dX(s)是点函数的 Stieltjes 型积分X(s)关于点函数的（增量）X(s).
(a) 方程（6.4）是一个“弱”方程，它只能在某种意义上的一侧或另一侧或两者的“平均值”上有效。
(b) 此外，(6.4) 的左侧引用了无限多的值Xs, 对应于无数个时刻0<s<吨.一个s在 (6.3) 中，这表明有无限多的样本测量Xs. 作为一种计算方法，这是违反直觉的。实际上不可能对每一个瞬间进行采样。
在下面的讨论中，这两个问题都通过使用（如（6.4）中的）黎曼和方法来解决（a）所需的平均，因此每个黎曼和都涉及一个由有限次数 s 组成的有限样本.
物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Stochastic Sum as Observable
需要一种新的可观察对象：
F(X吨,ñ)≃F(X吨,ñ)[R吨,FX吨]
在哪里FX吨是定义为的分布函数我[ñ]∈我(R吨) （单元格的集合R吨)
FX吨:我↦[0,1],0≤FX吨(我[ñ])≤1.
除了对联合事件的依赖(Xs)=X吨, 一个可观察的F允许显式依赖分区N=\left{s_{1}, \ldots, s_{n-1}, s_{n}\right}N=\left{s_{1}, \ldots, s_{n-1}, s_{n}\right}的吨. 同样，分布函数FX吨取决于细胞我=我[ñ], 并且可能显式依赖于分区N=\left{s_{1}, \ldots, s_{n-1}, s_{n}\right}N=\left{s_{1}, \ldots, s_{n-1}, s_{n}\right}T 其中（与sn=吨) 是圆柱间隔的“圆柱标签”或尺寸标签我[ñ]在R吨. 例如，与我吨=]在吨,在吨](吨∈ñ), 增量高斯分布函数G（5.8）（见上文第 115 页）显式取决于参数在吨,在吨， 和吨， 为了吨∈ñ.
左手极限（或顶点）在吨对于分区组件单元我吨=]在吨,在吨 ] (吨∈ñ)是相邻单元格的右手边限或顶点我吨′. 因此，分区的选择磷领域的R吨减少到有限样本的选择ñ时代，连同选择\left{u_{t}\right}\left{u_{t}\right}的顶点的有限样本吨∈ñ.
如部分所述6.2，基本步骤是定义期望和[F(X吨,ñ)]; 也就是说，定义积分F(X吨,ñ)关于分布函数F(我[ñ]). 特别是，当F(X吨,ñ)=R吨G(X吨,ñ)， （或者F吨G(X吨,ñ))
和[R吨G(X吨,ñ)],=∫R吨(R吨G(X吨,ñ))F(我[ñ]), 或者 和[\oiint吨G(X吨,ñ)],=∫R吨(\oiint吨G(X吨,ñ))F(我[ñ])
所以F吨G(X吨,ñ) 是一个随机变量。[MTRV] 的第 4 章（第 111-182 页）涉及R小号形式的被积函数H(X小号,ñ,我[ñ])， 在哪里小号是任何无限集（例如时间间隔吨或者吨)，包括被积函数F(X小号,ñ)F(我[ñ]). 简要地，F(X小号,ñ)F(我[ñ])可积在R小号, 积分
∫R小号F(X小号,ñ)F(我[ñ])=一个,
如果，给定e>0, 存在一个规范C=(大号,dñ)这样，对于每个C-精细划分D的R小号, 对应的黎曼和满足
|一个−(D)∑F(X小号,ñ)F(我[ñ])|<e
[MTRV] 的第 4 章提供了函数的变分理论H(X,ñ,我[ñ])适用于函数F(我[ñ])和F(X,ñ)F(我[ñ]). 所以，例如，F(我[ñ]) （在单元格上定义我[ñ])可以扩展到任意子集的“外部度量”一个的R小号. 第 4 章还提供了积分的极限定理（例如可积函数极限的可积性），以及定义在形式乘积域上的被积函数的 Fubini 定理R小号′×R小号′′.
物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Stochastic Sum as Random Variable
本节继续第 6.3 节的定义，使用熟悉的例子来说明随机和理论，以替代 [MTRV] 第 8 章中的强和弱随机积分。示例基于函数G1至G9第 391-392 页；也在上面第 5 章末尾的 (5.31) 和 (5.32) 中列出。
符号如部分所述8.2MTRV（页386−390); 和
吨=]0,吨]替换符号吨=]0,吨]的[米吨R在].对于任何给定的X吨∈R吨,
\begin{aligned} z_{s} &\left.=] s, s^{\prime}\right], & & 0 \leq s<s^{\prime} \leq t, \ \mathbf{x} \left(z_{s}\right) &=x\left(s^{\prime}\right)-x(s), & & x=x_{\mathrm{T}} \in \mathbf{R} ^{\mathrm{T}}, \ g &=g\left(x_{s}, s, \mathbf{x}\left(z_{s}\right), z_{s}\right), & & \text { 一个随机和（或被积函数）， } \ \mathbf{X}\left(z_{s}\right) &=X\left(s^{\prime}\right)-X(s), & & X=X_{\mathrm{T}} \text { 样本空间中的一个观测值 } \mathbf{R}^{\mathrm{T}}, \N &=\left{s_{1}, \ldots, s_ {n-1}, s_{n}\right}, & & \text { } \mathbf{T}, \text { 或 } \mathbf{T}, \z_{j} &\ 的有限子集left.=] s_{j-1}, s_{j}\right], & j=1, \ldots, n, \quad s_{0}=0, s_{n}=t。\end{对齐}\begin{aligned} z_{s} &\left.=] s, s^{\prime}\right], & & 0 \leq s<s^{\prime} \leq t, \ \mathbf{x} \left(z_{s}\right) &=x\left(s^{\prime}\right)-x(s), & & x=x_{\mathrm{T}} \in \mathbf{R} ^{\mathrm{T}}, \ g &=g\left(x_{s}, s, \mathbf{x}\left(z_{s}\right), z_{s}\right), & & \text { 一个随机和（或被积函数）， } \ \mathbf{X}\left(z_{s}\right) &=X\left(s^{\prime}\right)-X(s), & & X=X_{\mathrm{T}} \text { 样本空间中的一个观测值 } \mathbf{R}^{\mathrm{T}}, \N &=\left{s_{1}, \ldots, s_ {n-1}, s_{n}\right}, & & \text { } \mathbf{T}, \text { 或 } \mathbf{T}, \z_{j} &\ 的有限子集left.=] s_{j-1}, s_{j}\right], & j=1, \ldots, n, \quad s_{0}=0, s_{n}=t。\end{对齐}
为了G=G1,…,G9的(8.16)在 [MTRV] 的第 419 页中，[MTRV] 中给出了随机积分（强和弱）的评估。这里的想法是通过替换来说明随机求和4随机积分小号吨Gj(X吨)或者小号吨Gj(X吨)具有相应的随机和形式
∫吨Gj(X吨,ñ)=∑j=1nGj(Xsj,sj,X(和sj),和sj)
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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。