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在理论物理学中，量子场论（QFT）是一个理论框架，它结合了经典场论、狭义相对论和量子力学。QFT在粒子物理学中被用来构建亚原子粒子的物理模型，在凝聚态物理学中被用来构建类粒子的模型。
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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|One-parameter Unitary Groups and Stone’s Theorem
A (strongly continuous) one-parameter unitary group is simply a (strongly continuous) unitary representation of $\mathbb{R}$, that is a map which associates to $t \in \mathbb{R}$ a unitary operator $U(t)$ on Hilbert space $\mathcal{H}$ in such a manner that
$$
U(s) U(t)=U(s+t),
$$
and (the continuity condition)
$$
\forall x, y \in \mathcal{H}, \lim _{t \rightarrow 0}(x, U(t)(y))=(x, y) .
$$
The archetypical example is the operator $U(t)$ on $L^{2}(\mathbb{R})$ given for $f \in L^{2}$ and $w \in \mathbb{R}$ by
$$
U(t)(f)(w)=\exp (\mathrm{i} t w / h) f(w) .
$$
This is simply the operator “multiplication by the function exp(it $\cdot / \hbar) . “$ Another example is the operator $V(t)$ on $L^{2}(\mathbb{R})$ given for $f \in L^{2}$ and $w \in \mathbb{R}$ by
$$
V(t)(f)(w)=f(w+t) .
$$
In both cases it is a nice exercise of elementary analysis to prove that these operators are strongly continuous. These one-parameter groups are closely related by the Fourier transform. Indeed,
$$
\widehat{V(t)(f)}=U(t) \hat{f} .
$$
Exercise 2.14.1 Make sure you understand every detail of the proof of the important formula (2.55)
Theorem 2.14.2 (Stone’s theorem) There is a one-to-one correspondence between the strongly continuous one-parameter unitary groups on a Hilbert space $\mathcal{H}$ and the self-adjoint operators on $\mathcal{H}$. Given the unitary group $U$, the corresponding self-adjoint operator $A$ is called the infinitesimal generator of U. It is defined by the formula ${ }^{58}$
$$
A(x)=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{h}{i}(U(t)(x)-x) .
$$
and its domain $\mathcal{D}=\mathcal{D}(A)$ is the set of $x$ for which the previous limit exists.
物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Time-evolution
Consider a physical system, the state of which is described by a vector in $\mathcal{H}$.
Principle 5 If the system does not change with time (not in the sense that it does not evolve, but in the sense that it is not subjected to variable external influences), its evolution between time $t_{0}$ and time $t_{1}$ is described by a unitary operator ${ }^{62} U\left(t_{1}, t_{0}\right)$.
This operator depends only on $t_{1}-t_{0}$, reflecting the fact that the laws of physics are believed not to change with time ${ }^{63}$
Please observe the notation: the evolution $U\left(t_{1}, t_{0}\right)$ is from $t_{0}$ to $t_{1}$. The reason for this notation is that the evolution of the system from $t_{0}$ to $t_{1}$ and then from $t_{1}$ to $t_{2}$ is represented by $U\left(t_{2}, t_{1}\right) U\left(t_{1}, t_{0}\right)$, which also represents the same evolution as $U\left(t_{2}, t_{0}\right)$ so that as in (2.45) these two operators should differ only by a phase, $U\left(t_{2}, t_{1}\right) U\left(t_{1}, t_{0}\right)=c U\left(t_{2}, t_{0}\right)$ for some $c$ of modulus 1. Thus $U\left(t_{2}-t_{1}, 0\right) U\left(t_{1}-t_{0}, 0\right)=c U\left(t_{2}-t_{0}, 0\right)$. This means that $U(t):=$ $U(t, 0)$ should be a projective representation of $\mathbb{R}$ in $\mathcal{H}$, and on physical grounds it should be continuous in some sense. As shown in Section $2.13$ this projective representation arises from a true representation, so we can as well assume that it already is a true representation, and Stone’s theorem describes these. Therefore, there exists a self-adjoint operator $H$ on $\mathcal{H}$ such that
$$
U(t)=\exp (-\mathrm{i} t H / \hbar) .
$$
Probably it is worth making explicit the following fundamental point:
The time-evolution of a quantum system is entirely deterministic.
The minus sign in (2.75) is conventional. The reason for this convention will appear in Section 9.7. Since $h$ has the dimension of an energy times a time, $H$ has the dimension of an energy. It is called the Hamiltonian of the system. Although this is certainly not obvious ${ }^{64}$
The Hamiltonian should be thought of as representing the energy of the system.
A consequence of (2.75) is that if $\psi$ belongs to the domain of $H$, then, by the second part of $(2.64), \psi(t):=U(t)(\psi)$ satisfies the equation
$$
\psi^{\prime}(t)=-\frac{\mathrm{i}}{h} H(\psi(t)) \text {. }
$$
物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Schrödinger and Heisenberg Pictures
The previous description of an evolving state $\psi(t)$ and of time-independent operators is called the Schrödinger picture.
We have seen that we may be able to improve matters by re-shuffling the state space using a unitary transformation. A fundamental idea is to try this using a time-dependent unitary transformation $V(t)$, replacing the state $\psi$ by $V(t)(\psi)$, and replacing the operator $A$ by $A(t)=V(t) A V(t)^{-1}$. Here we use a first simple implementation, with $V(t)=$ $\exp ($ it $H / \hbar)=U(t)^{-1}$. This is called the Heisenberg picture. In the Heisenberg picture the state $\psi(t)$ is replaced by $V(t)(\psi(t))=U(t)^{-1} U(t)(\psi)=\psi$, so that states do not change with time. On the other hand, an operator $A$ is replaced by the operator
$$
A(t)=U(t)^{-1} A U(t)=\exp (\mathrm{i} t H / \hbar) A \exp (-\mathrm{i} t H / \hbar) .
$$
Suppose that at time $t=0$ the system is in state $\psi$. Then, in the Schrödinger picture, the average value of $A$ at time $t$ is given by
$$
(\psi(t), A \psi(t))=(U(t) \psi, A U(t) \psi)=\left(\psi, U(t)^{-1} A U(t) \psi\right)=(\psi, A(t) \psi),
$$
where the last expression is the same quantity in the Heisenberg picture. Thus these two pictures are fortunately consistent with each other.
We may wonder why there is anything to gain by moving from the Schrödinger picture, where the simpler objects, the states, evolve, but where the complicated objects, the operators, are constant, to the Heisenberg picture where the simpler objects are constant, but the complicated ones evolve. One reason is that while it is correct in principle that the states, which are simply vectors of $\mathcal{H}$ are simpler objects than operators, it will often happen that the operators of interest have a simple description, while the states have a very complicated one. Another reason will be given at the end of the present section.
量子场论代考
物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|One-parameter Unitary Groups and Stone’s Theorem
一个（强连续）单参数酉群只是一个（强连续）酉表示R，这是一张与吨∈R单一算子在(吨)在希尔伯特空间H以这样的方式
在(s)在(吨)=在(s+吨),
和（连续性条件）
∀X,是∈H,林吨→0(X,在(吨)(是))=(X,是).
典型的例子是运营商在(吨)上大号2(R)给予F∈大号2和在∈R经过
在(吨)(F)(在)=经验(一世吨在/H)F(在).
这只是运算符“乘以函数 exp(it⋅/⁇).“另一个例子是运营商在(吨)上大号2(R)给予F∈大号2和在∈R经过
在(吨)(F)(在)=F(在+吨).
在这两种情况下，证明这些算子是强连续的，都是一个很好的初等分析练习。这些单参数组与傅里叶变换密切相关。的确，
在(吨)(F)^=在(吨)F^.
练习 2.14.1 确保你理解重要公式 (2.55) 证明的每一个细节
定理 2.14.2（斯通定理） 在希尔伯特空间上的强连续单参数酉群之间存在一一对应的关系H和自伴算子H. 给定酉群在, 对应的自伴算子一个被称为 U 的无穷小生成器。它由公式定义58
一个(X)=林吨→0H一世(在(吨)(X)−X).
及其域D=D(一个)是集合X存在先前的限制。
物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Time-evolution
考虑一个物理系统，其状态由向量描述H.
原则 5 如果系统不随时间变化（不是说它不进化，而是说它不受可变的外部影响），它在不同时间的进化吨0和时间吨1由酉算子描述62在(吨1,吨0).
该运算符仅取决于吨1−吨0，反映了物理定律被认为不会随时间变化的事实63
请注意符号：进化在(吨1,吨0)来自吨0至吨1. 这种表示法的原因是系统从吨0至吨1然后从吨1至吨2表示为在(吨2,吨1)在(吨1,吨0)，这也代表了相同的演变在(吨2,吨0)因此，在 (2.45) 中，这两个运算符应该仅相差一个相位，在(吨2,吨1)在(吨1,吨0)=C在(吨2,吨0)对于一些C模数 1. 因此在(吨2−吨1,0)在(吨1−吨0,0)=C在(吨2−吨0,0). 这意味着在(吨):= 在(吨,0)应该是一个投影表示R在H，并且在物理上它在某种意义上应该是连续的。如部分所示2.13这个投影表示来自一个真实的表示，所以我们也可以假设它已经是一个真实的表示，而斯通定理描述了这些。因此，存在一个自伴算子H上H这样
在(吨)=经验(−一世吨H/⁇).
或许有必要明确以下基本点：
量子系统的时间演化完全是确定性的。
(2.75) 中的减号是常规的。这种约定的原因将出现在第 9.7 节中。自从H具有能量乘以时间的维度，H具有能量的维度。它被称为系统的哈密顿量。虽然这肯定不是很明显64
哈密顿量应该被认为代表系统的能量。
(2.75) 的结果是，如果ψ属于的领域H，然后，由第二部分(2.64),ψ(吨):=在(吨)(ψ)满足方程
ψ′(吨)=−一世HH(ψ(吨)).
物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Schrödinger and Heisenberg Pictures
先前对演化状态的描述ψ(吨)和时间无关的算子称为薛定谔图。
我们已经看到，我们可以通过使用酉变换重新洗牌状态空间来改善问题。一个基本的想法是使用时间相关的单一变换来尝试这个在(吨), 替换状态ψ经过在(吨)(ψ), 并替换运算符一个经过一个(吨)=在(吨)一个在(吨)−1. 这里我们使用第一个简单的实现，在(吨)= 经验(它H/⁇)=在(吨)−1. 这就是所谓的海森堡图。海森堡画中的国家ψ(吨)被替换为在(吨)(ψ(吨))=在(吨)−1在(吨)(ψ)=ψ，因此状态不会随时间变化。另一方面，运营商一个被运营商取代
一个(吨)=在(吨)−1一个在(吨)=经验(一世吨H/⁇)一个经验(−一世吨H/⁇).
假设当时吨=0系统处于状态ψ. 然后，在薛定谔图上，平均值一个有时吨是（谁）给的
(ψ(吨),一个ψ(吨))=(在(吨)ψ,一个在(吨)ψ)=(ψ,在(吨)−1一个在(吨)ψ)=(ψ,一个(吨)ψ),
其中最后一个表达式与海森堡图中的量相同。因此，这两张照片幸运的是彼此一致。
我们可能想知道为什么从薛定谔图（其中更简单的对象（状态）在进化，但复杂的对象（操作符）是恒定的）到海森堡图（其中更简单的对象是恒定的）会有所收获，但是复杂的进化。一个原因是，虽然原则上是正确的，但状态只是简单的向量H是比操作符更简单的对象，经常会发生感兴趣的操作符有一个简单的描述，而状态有一个非常复杂的描述。另一个原因将在本节末尾给出。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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