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物理代写|量子计算代写Quantum computer代考|Pauli Matrices and Dirac Matrices
For the imaginary unit $\sqrt{-1}$, we will use the designation $i \equiv \sqrt{-1}$. The matrices $\sigma_{1}, \sigma_{2}$, and $\sigma_{3}$ :
$$
\sigma_{1}=\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \
1 & 0
\end{array}\right], \quad \sigma_{2}=\left[\begin{array}{cc}
0 & -\mathrm{i} \
\mathrm{i} & 0
\end{array}\right], \quad \sigma_{3}=\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \
0 & -1
\end{array}\right],
$$
are called the Pauli matrices. They are widely used in quantum theory for describing half-integer spin particles, for example, an electron. (Spin is a quantum property of an elementary particle, its intrinsic angular momentum [1]. So, electrons, protons, and neutrinos have half-integer spin; the spin of photons and gravitons is an integer.).
The following properties are valid for the Pauli matrices.
(1) The Pauli matrices are Hermitian ${ }^{1}$ and unitary (see Appendix B on page 103):
$$
\forall k \in{1,2,3} \quad \sigma_{k}=\sigma_{k}^{\dagger}=\sigma_{k}^{-1} .
$$
(2) $\forall k \in{1,2,3}$, the square of the Pauli matrix is equal to the identity matrix:
$$
\sigma_{i}^{2}=\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \
0 & 1
\end{array}\right]
$$
(3) $\forall i, j \in{1,2,3}$, the equalities
$$
\sigma_{i} \sigma_{j}+\sigma_{j} \sigma_{i}=2 \delta_{i j}\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \
0 & 1
\end{array}\right]
$$
are valid. Here, is used a notation for the Kronecker symbol (see definition on page 3 ).
Note that the value ${A, B}=A B+B A$ is usually called anticommutator of matrices $A$ and $B$, and the value $[A, B]=A B-B A$ is called commutator. Next,for the identity matrix, we will apply the notation $I$, and for the zero one $O$. In particular, the formula (2.4) can be written as follows:
$$
\left{\sigma_{i}, \sigma_{j}\right}=2 \delta_{i j} I .
$$
The matrices $A$ and $B$ are called commutative, if $A B=B A$. Commutative matrices are always square and have the same order.
By definition, the condition $[A, B]=O$ is met for the commutative matrices [2]. It is clear that the Pauli matrices do not commutate with each other (see Exercise 1).
物理代写|量子计算代写Quantum computer代考|Let us prove the Jacobi2 identity
$$
[[P, Q], R]+[[Q, R], P]+[[R, P], Q] \equiv O
$$
that is valid for commutators of any matrices of size $n \times n$.
Proof.
We use the definition of the commutator $[P, Q]=P Q-Q P$, then
$$
\begin{aligned}
{[[P, Q], R] } &=[P Q-Q P, R]=(P Q-Q P) R-R(P Q-Q P) \
&=P Q R-Q P R-R P Q+R Q P
\end{aligned}
$$
Next, let us present in a similar manner the remaining summands in the sum:
$$
\begin{aligned}
&{[[Q, R], P]=Q R P-R Q P-P Q R+P R Q} \
&{[[R, P], Q]=R P Q-P R Q-Q R P+Q P R .}
\end{aligned}
$$
The sum of right-hand values (2.7), (2.8), and (2.9), as can be easily seen after the conversion of such summands, is zero. In this way, the Jacobi identity is proved.
Sometimes, in linear algebra and its applications, one has to use matrices split into rectangular parts or blocks [3,4]. Consider the rectangular matrix $A=\left(a_{i j}\right)$, where $1 \leqslant i \leqslant m, 1 \leqslant j \leqslant n$. Let $m=m_{1}+m_{2}$ and $n=n_{1}+n_{2}$.
Let us draw horizontal and vertical lines and split the matrix $A$ into four rectangular blocks:Thus, the matrix $A$ is presented in the form of a block matrix, consisting of the blocks $B_{11}, B_{12}, B_{21}$, and $B_{22}$ of size $m_{1} \times n_{1}, m_{1} \times n_{2}, m_{2} \times n_{1}$, and $m_{2} \times n_{2}$, respectively.
物理代写|量子计算代写Quantum computer代考|Dirac matrices
As an example of a block matrix setting, we provide the definition of the Dirac matrices. Four Dirac matrices $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$, and $\beta$ are part of the equation named after him for a half-integer spin relativistic particle, and are expressed in terms of the Pauli matrices $\sigma_{k}, k=1,2,3$, as follows [5]:
$$
\alpha_{k}=\left[\begin{array}{cc}
O & \sigma_{k} \
\sigma_{k} & O
\end{array}\right], \quad \beta=\left[\begin{array}{cc}
I & O \
O & -I
\end{array}\right]
$$
(Relativistic particles are the particles whose velocity is close to the velocity of light.)
Each of the Dirac matrices has a Hermitian property and a property of being unitary. Moreover, for all $l, m \in{1,2,3}$ the equalities
$$
\begin{aligned}
\alpha_{l} \alpha_{m}+\alpha_{m} \alpha_{l} &=2 \delta_{l m} I, \
\alpha_{l} \beta+\beta \alpha_{l} &=O
\end{aligned}
$$
are valid. Note that the size of matrices $I$ and $O$ in formulas (2.12) and (2.13) is equal to $4 \times 4$.
Using the concept of a block matrix, it is easy to write down the definition of the tensor product of square matrices $A \otimes B$, defined as $A=\left(a_{i j}\right), i, j=1,2, \ldots, n_{A}$, and $B=\left(b_{i j}\right), i, j=1,2, \ldots, n_{B}$ :
$$
A \otimes B=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} B & a_{12} B & \ldots & a_{1 n_{A}} B \
a_{21} B & a_{22} B & \ldots & a_{2 n_{A}} B \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a_{n_{A} 1} B & a_{n_{A} 2} B & \ldots & a_{n_{A} n_{A}} B
\end{array}\right]
$$
where $a_{11} B$ is a block with size $n_{B} \times n_{B}$, consisting of elements of the form $a_{11} b_{i j}$, block $a_{12} B$ consists of elements of the form $a_{12} b_{i j}$, etc.
Note that for the tensor product operation, the sizes of matrices $A$ and $B$ do not have to be the same, i.e. $n_{A} \neq n_{B}$.
量子计算代考
物理代写|量子计算代写Quantum computer代考|Pauli Matrices and Dirac Matrices
对于虚数单位−1, 我们将使用名称一世≡−1. 矩阵σ1,σ2， 和σ3 :
σ1=[01 10],σ2=[0−一世 一世0],σ3=[10 0−1],
称为泡利矩阵。它们在量子理论中被广泛用于描述半整数自旋粒子，例如电子。（自旋是基本粒子的一种量子特性，它的固有角动量 [1]。因此，电子、质子和中微子具有半整数自旋；光子和引力子的自旋是整数。）。
以下性质对泡利矩阵有效。
(1) Pauli 矩阵是 Hermitian 矩阵1和单一的（参见第 103 页的附录 B）：
∀ķ∈1,2,3σķ=σķ†=σķ−1.
(2) ∀ķ∈1,2,3，泡利矩阵的平方等于单位矩阵：
σ一世2=[10 01]
(3) ∀一世,j∈1,2,3, 等式
σ一世σj+σjσ一世=2d一世j[10 01]
是有效的。在这里，使用了克罗内克符号的符号（参见第 3 页的定义）。
请注意，该值一个,乙=一个乙+乙一个通常称为矩阵的反对易子一个和乙, 和值[一个,乙]=一个乙−乙一个称为换向器。接下来，对于单位矩阵，我们将应用符号我，对于零一○. 特别地，公式（2.4）可以写成：
\left{\sigma_{i}, \sigma_{j}\right}=2 \delta_{i j} I 。\left{\sigma_{i}, \sigma_{j}\right}=2 \delta_{i j} I 。
矩阵一个和乙被称为可交换的，如果一个乙=乙一个. 交换矩阵总是方阵并且具有相同的阶。
根据定义，条件[一个,乙]=○满足交换矩阵[2]。很明显，泡利矩阵不会相互交换（参见练习 1）。
物理代写|量子计算代写Quantum computer代考|Let us prove the Jacobi2 identity
$$
[[P, Q], R]+[[Q, R], P]+[[R, P], Q] \equiv O
$$
这对任何大小矩阵的交换器都有效 $n \times n$.
证明。
我们使用换向器的定义 $[P, Q]=P Q-Q P$ ，然后
$$
[[P, Q], R]=[P Q-Q P, R]=(P Q-Q P) R-R(P Q-Q P) \quad=P Q R-Q P R-R P Q+R Q P
$$
接下来，让我们以类似的方式呈现 sum 中的剩余加数:
$$
[[Q, R], P]=Q R P-R Q P-P Q R+P R Q \quad[[R, P], Q]=R P Q-P R Q-Q R P+Q P R
$$
右手边的值 (2.7)、(2.8) 和 (2.9) 之和，在这些和数的转换之后可以很容易地看出，为零。这样就证明了Jacobi 恒 等式边。
有时，在线性代数及其应用中，必须使用分割成矩形部分或块的矩阵 $[3,4]$ 。考虑矩形矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)$ ，在哪里 $1 \leqslant i \leqslant m, 1 \leqslant j \leqslant n$. 让 $m=m_{1}+m_{2}$ 和 $n=n_{1}+n_{2}$.
让我们绘制水平和垂直线并拆分矩阵 $A$ 分成四个矩形块：因此，矩阵 $A$ 以块矩阵的形式呈现，由块组成 $B_{11}, B_{12}, B_{21}$ ，和 $B_{22}$ 大小的 $m_{1} \times n_{1}, m_{1} \times n_{2}, m_{2} \times n_{1}$ ，和 $m_{2} \times n_{2}$ ，分别。
物理代写|量子计算代写Quantum computer代考|Dirac matrices
作为块矩阵设置的示例，我们提供了狄拉克矩阵的定义。四个狄拉克矩阵 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ ，和 $\beta$ 是半整数自旋相对论粒 子方程的一部分，并用泡利矩阵表示 $\sigma_{k}, k=1,2,3 ，$ 如下[5]:
(相对论粒子是速度接近光速的粒子。)
每个狄拉克矩阵都具有厄米特性质和西性质。此外，对于所有 $l, m \in 1,2,3$ 平等
$$
\alpha_{l} \alpha_{m}+\alpha_{m} \alpha_{l}=2 \delta_{l m} I, \alpha_{l} \beta+\beta \alpha_{l} \quad=O
$$
是有效的。注意矩阵的大小 $I$ 和 $O$ 在公式 (2.12) 和 (2.13) 中等于 $4 \times 4$.
使用块矩阵的概念，很容易写出方阵张量积的定义 $A \otimes B$ ，定义为 $A=\left(a_{i j}\right), i, j=1,2, \ldots, n_{A}$ ，和 $B=\left(b_{i j}\right), i, j=1,2, \ldots, n_{B}$ :
$A \otimes B=\left[\begin{array}{lllllllllll}a_{11} B & a_{12} B & \ldots & a_{1 n_{A}} B & a_{21} B & a_{22} B & \ldots & a_{2 n_{A}} B & \vdots & \ddots & \vdots a_{n_{A} 1} B\end{array}\right.$
在哪里 $a_{11} B$ 是一个有大小的块 $n_{B} \times n_{B}$ ，由形式的元素组成 $a_{11} b_{i j}$ ，堵塞 $a_{12} B$ 由表单元素组成 $a_{12} b_{i j} ， E T C$ 。
请注意，对于张量积运算，矩阵的大小 $A$ 和 $B$ 不必相同，即 $n_{A} \neq n_{B}$.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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