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主成分分析（PCA）是计算主成分并使用它们对数据进行基础改变的过程，有时只使用前几个主成分，而忽略其余部分。
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统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Missing Not at Random
A number of statistical approaches have been developed to cope with nonignorable missing mechanisms and such approaches have been applied in different analytic frameworks. However, the approaches used in PCA have typically focused on assumptions of ignorability $[19,21,42]$. Recently, Geraci and Farcomeni [11] extended Tipping and Bishop’s [42] EM approach to the case in which the vector $\mathbf{y}$ is partially observed and the missing data mechanism is nonignorable. Specifically, they proposed an adaptation of Ibrahim et al.’s [17] methods for missing responses in random-effects models with non-monotone patterns of missing data.
Suppose that $\mathbf{y}{i}$ contains $s{i}, s_{i}<p$, missing values. The $i$ th contribution to the complete data density of $\left(\mathbf{y}{i}, \mathbf{u}{i}, \mathbf{m}{i}\right)$ is given by $$ f\left(\mathbf{y}{i}, \mathbf{u}{i}, \mathbf{m}{i} \mid \boldsymbol{\theta}, \eta\right)=f\left(\mathbf{y}{i} \mid \mathbf{u}{i}, \boldsymbol{\theta}\right) f\left(\mathbf{u}{i}\right) f\left(\mathbf{m}{i} \mid \mathbf{y}{i}, \eta\right), \quad i=1, \ldots, n, $$ where the additional factor $f\left(\mathbf{m}{i} \mid \mathbf{y}{i}, \eta\right)$, indexed by the parameter $\eta$, is the MDM, which we assume to be independent from $\mathbf{u}{i}$. This assumption simplifies the subsequent steps of the estimation algorithm, although it can be relaxed at the cost of increased computational time (see $[17,18]$ for a discussion).
Estimation of $\boldsymbol{\theta}$ would in general require marginalizing the log-likelihood based on (10) over the unobserved data, which however leads to a rather intractable integral of dimension $s_{i}+q$. Instead, the EM algorithm can be applied. The E-step at the $(t+1)$ th iteration is defined as follows:
$$
Q\left(\lambda \mid \lambda^{(t)}\right)=\mathrm{E}{\mathbf{z}, \mathbf{u} \mid \mathbf{x}, \mathbf{m}, \lambda^{(m}}{l(\lambda ; \mathbf{Y}, \mathbf{U}, \mathbf{M})} $$ with $\lambda=(\boldsymbol{\theta}, \eta) \quad$ and $\quad l(\lambda ; \mathbf{Y}, \mathbf{U}, \mathbf{M})=\sum{i}^{n} \log f\left(\mathbf{y}{i} \mid \mathbf{u}{i}, \boldsymbol{\theta}\right)+\log f\left(\mathbf{u}{i}\right)+$ $\log f\left(\mathbf{m}{i} \mid \mathbf{y}{i}, \eta\right)$, and where the expectation is taken with respect to the conditional distribution of $\mathbf{z}{i}$ and $\mathbf{u}_{i}$, given the observed data, evaluated at $\lambda^{(t)}$.
The E-step (11), however, does not yet offer a computational advantage since it is not easy to solve analytically. Therefore, Geraci and Farcomeni [11] applied a Monte Carlo E-step [17]. They considered an adaptive rejection Metropolis sampling (ARMS) algorithm [12] and specified the following MDM
$$
f\left(\mathbf{m}{i} \mid \mathbf{y}{i}, \eta\right)=\prod_{j=1}^{p} \pi_{i j}^{m_{i j}}\left(1-\pi_{i j}\right)^{1-m_{i j}}
$$
where $\pi_{i j}$ is the probability that $y_{i j}$ is missing, conditional on the response $\mathbf{y}_{i}$. The ARMS algorithm is convenient as, basically, no tuning is needed. In addition, it is run in parallel for each row of the data matrix, which therefore greatly speeds up the computation. Moreover, the PPCA Gaussian model provides scope for further reductions in computational time during the calculation of the E-step. All the technical details are given in appendix.
统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Appendix – EM Algorithm for PPCA with MNAR Values
In this appendix, we provide additional details on the Monte Carlo EM algorithm introduced in Sect. $3.2$ and we derive a simplified E-step where the random effects are integrated out from the complete data log-likelihood.
The Monte Carlo E-step requires sampling from $f\left(\mathbf{z}{i}, \mathbf{u}{i} \mid \mathbf{x}{i}, \mathbf{m}{i}, \lambda^{(t)}\right)$. This task can be carried out efficiently via ARMS [12] using the full conditionals
$$
\begin{aligned}
&f\left(\mathbf{z}{i} \mid \mathbf{x}{i}, \mathbf{u}{i}, \mathbf{m}{i}, \lambda^{(t)}\right) \propto f\left(\mathbf{y}{i} \mid \mathbf{u}{i}, \lambda^{(t)}\right) f\left(\mathbf{m}{i} \mid \mathbf{y}{i}, \lambda^{(t)}\right) \
&f\left(\mathbf{u}{i} \mid \mathbf{x}{i}, \mathbf{z}{i}, \mathbf{m}{i}, \lambda^{(t)}\right) \propto f\left(\mathbf{y}{i} \mid \mathbf{u}{i}, \lambda^{(t)}\right) f\left(\mathbf{u}{i}\right) \end{aligned} $$ An implementation of ARMS is available in the R package HI [35]. A sample $\xi{i 1}, \ldots, \xi_{i K}$ for $i=1, \ldots, n$ is obtained at each EM iteration $t$, where the $\left(s_{i}+q\right) \times 1$ vector $\xi_{i k}=\left(\overline{\mathbf{z}}{i k}, \overline{\mathbf{u}}{i k}\right), k=1, \ldots, K$, contains ‘imputed’ values for $\mathbf{z}{i}$ and $\mathbf{u}{i}$ (with the understanding that $\boldsymbol{\xi}{i k}=\overline{\mathbf{u}}{i k}$ if $s_{i}=0$ ). Here the Monte Carlo sample size $K$ is kept constant throughout. Alternative strategies with varying $K^{(t)}$ that may increase the speed or the accuracy of the EM algorithm can be considered $[2,17]$. The E-step (11) is approximated by
$$
Q\left(\lambda \mid \lambda^{(t)}\right)=\frac{1}{K} \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{K} l\left(\lambda ; \xi_{i k}, \mathbf{x}{i}, \mathbf{m}{i}\right)
$$
The maximization of (15) with respect to $\lambda$ is straightforward. Define $\tilde{\mathbf{y}}{i k}=\left(\tilde{\mathbf{z}}{i k}, \mathbf{x}{i}\right)$ if $s{i}>0$ or $\tilde{\mathbf{y}}{i k}=\mathbf{y}{i}$ if $s_{i}=0, i=1, \ldots, n, k=1, \ldots, K$. The maximum likelihood solution of the M-step at the $(t+1)$ th iteration is given by
$$
\begin{aligned}
\hat{\boldsymbol{\mu}}^{(t+1)} &=\frac{1}{n K} \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{K}\left(\tilde{\mathbf{y}}{i k}-\hat{\mathbf{W}}^{(t)} \tilde{\mathbf{u}}{i k}\right) \
\hat{\mathbf{W}}^{(t+1)} &=\left{\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{K}\left(\tilde{\mathbf{y}}{i k}-\hat{\boldsymbol{\mu}}^{(t+1)}\right) \tilde{\mathbf{u}}{i k}^{\top}\right}\left(\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{K} \tilde{\mathbf{u}}{i k} \tilde{\mathbf{u}}{i k}^{T}\right)^{-1} \
\hat{\psi}^{(t+1)} &=\frac{1}{n K p} \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{K}\left|\tilde{\mathbf{y}}{i k}-\hat{\boldsymbol{\mu}}^{(t+1)}-\hat{\mathbf{W}}^{(t+1)} \tilde{\mathbf{u}}{i k}\right|_{2}^{2}
\end{aligned}
$$
Analogously, the MLE of $\eta$ can be easily obtained using standard results for generalized linear models.
统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|PCA and Robust PCAs
Let us consider a training set of $N n$-dimensional samples $\left{\mathbf{x}{i}\right}{i=1^{*}}^{N}$ Assuming that the samples have zero-mean, PCA is to find an orthonormal projection matrix $\mathbf{W} \in$ $\mathbb{R}^{n \times m}\left(m \ll n\right.$ ) by which the projected samples $\left{\mathbf{y}{i}=\mathbf{W}^{T} \mathbf{x}{i}\right}_{i=1}^{N}$ have the maximum variance in the reduce space. It is formulated as the following:
$$
\mathbf{W}{P C A}=\underset{\mathbf{W}}{\arg \max } \operatorname{tr}\left(\mathbf{W}^{T} \mathbf{S W}\right) $$ where $\mathbf{S}=\frac{1}{N} \sum{i=1}^{N} \mathbf{x}{i} \mathbf{x}{i}^{T}$ is a sample covariance matrix and $\operatorname{tr}(\mathbf{A})$ is the trace of a square matrix $\mathbf{A}$. The projection matrix $\mathbf{W}{P C A}$ can be also found from the viewpoint of projection errors, i.e., it minimizes the average of the squared projection errors or reconstruction errors. Mathematically, it is represented as the optimization problem minimizing the following cost function: $$ J{L_{2}}(\mathbf{W})=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\left|\mathbf{x}{i}-\mathbf{W} \mathbf{W}^{T} \mathbf{x}{i}\right|_{2}^{2}
$$
where $|\mathbf{x}|_{2}$ is the $L_{2}$-norm of a vector $\mathbf{x}$. The two optimization problems are equivalent and easily solved by obtaining the $m$ eigenvectors associated with the $m$ largest eigenvalues of $\mathbf{S}$. Although PCA is simple and powerful, it is prone to outliers [8, 13] because $J_{L_{2}}(\mathbf{W})$ is based on the mean squared reconstruction error. To learn a subspace robust to outliers, Ke and Kanade [13] proposed to minimize an $L_{1}$-norm based objective function as follows:
$$
J_{L_{1}}(\mathbf{W})=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\left|\mathbf{x}{i}-\mathbf{W} \mathbf{W}^{T} \mathbf{x}{i}\right|_{1}
$$
where $|\mathbf{x}|_{1}$ is the $L_{1}$-norm of a vector $\mathbf{x}$. They also present an iterative method to obtain the solution for minimizing $J_{L_{1}}(\mathbf{W})$.
主成分分析代考
统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Missing Not at Random
已经开发了许多统计方法来应对不可忽视的缺失机制，并且这些方法已应用于不同的分析框架。然而，PCA 中使用的方法通常侧重于可忽略性假设[19,21,42]. 最近，Geraci 和 Farcomeni [11] 将 Tipping 和 Bishop 的 [42] EM 方法扩展到向量是是部分观察到的，缺失数据机制是不可忽略的。具体来说，他们提出了对 Ibrahim 等人的 [17] 方法的改编，用于在具有非单调缺失数据模式的随机效应模型中缺失响应。
假设是一世包含s一世,s一世<p，缺失值。这一世对完整数据密度的贡献(是一世,在一世,米一世)是（谁）给的
F(是一世,在一世,米一世∣θ,这)=F(是一世∣在一世,θ)F(在一世)F(米一世∣是一世,这),一世=1,…,n,其中附加因子F(米一世∣是一世,这), 由参数索引这, 是 MDM，我们假设它独立于在一世. 这个假设简化了估计算法的后续步骤，尽管它可以以增加计算时间为代价来放宽（参见[17,18]讨论）。
估计θ通常需要在未观察到的数据上边缘化基于 (10) 的对数似然，但这会导致维度的相当棘手的积分s一世+q. 相反，可以应用 EM 算法。E 步在(吨+1)第一次迭代定义如下：
问(λ∣λ(吨))=和和,在∣X,米,λ(米l(λ;是,在,米)和λ=(θ,这)和l(λ;是,在,米)=∑一世n日志F(是一世∣在一世,θ)+日志F(在一世)+ 日志F(米一世∣是一世,这)，并且期望是关于条件分布的和一世和在一世，给定观察到的数据，在λ(吨).
然而，E-step (11) 还没有提供计算优势，因为它不容易解析求解。因此，Geraci 和 Farcomeni [11] 应用了 Monte Carlo E-step [17]。他们考虑了一种自适应拒绝 Metropolis 采样 (ARMS) 算法 [12] 并指定了以下 MDM
F(米一世∣是一世,这)=∏j=1p圆周率一世j米一世j(1−圆周率一世j)1−米一世j
在哪里圆周率一世j是概率是一世j缺失，以响应为条件是一世. ARMS 算法很方便，因为基本上不需要调整。此外，它对数据矩阵的每一行都并行运行，因此大大加快了计算速度。此外，PPCA 高斯模型为进一步减少 E 步计算期间的计算时间提供了空间。所有的技术细节都在附录中给出。
统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Appendix – EM Algorithm for PPCA with MNAR Values
在本附录中，我们提供了有关第 3 节中介绍的 Monte Carlo EM 算法的更多详细信息。3.2我们推导出一个简化的 E 步，其中随机效应从完整的数据对数似然中整合出来。
Monte Carlo E-step 需要从F(和一世,在一世∣X一世,米一世,λ(吨)). 这个任务可以通过 ARMS [12] 使用完整的条件有效地执行
F(和一世∣X一世,在一世,米一世,λ(吨))∝F(是一世∣在一世,λ(吨))F(米一世∣是一世,λ(吨)) F(在一世∣X一世,和一世,米一世,λ(吨))∝F(是一世∣在一世,λ(吨))F(在一世)R 包 HI [35] 中提供了 ARMS 的实现。一个样品X一世1,…,X一世ķ为了一世=1,…,n在每次 EM 迭代中获得吨, 其中(s一世+q)×1向量X一世ķ=(和¯一世ķ,在¯一世ķ),ķ=1,…,ķ, 包含“估算”值和一世和在一世（理解为X一世ķ=在¯一世ķ如果s一世=0）。这里是蒙特卡洛样本量ķ始终保持不变。具有不同的替代策略ķ(吨)可以考虑提高 EM 算法的速度或准确性[2,17]. E-step (11) 近似为
问(λ∣λ(吨))=1ķ∑一世=1n∑ķ=1ķl(λ;X一世ķ,X一世,米一世)
(15) 的最大化关于λ很简单。定义是~一世ķ=(和~一世ķ,X一世)如果s一世>0或者是~一世ķ=是一世如果s一世=0,一世=1,…,n,ķ=1,…,ķ. M 步的最大似然解(吨+1)第一次迭代由下式给出
\begin{aligned} \hat{\boldsymbol{\mu}}^{(t+1)} &=\frac{1}{n K} \sum_{i=1}^{n} \sum_{k= 1}^{K}\left(\tilde{\mathbf{y}}{i k}-\hat{\mathbf{W}}^{(t)} \tilde{\mathbf{u}}{i k}\右) \ \hat{\mathbf{W}}^{(t+1)} &=\left{\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{K}\left( \tilde{\mathbf{y}}{i k}-\hat{\boldsymbol{\mu}}^{(t+1)}\right) \tilde{\mathbf{u}}{i k}^{\top }\right}\left(\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{K} \tilde{\mathbf{u}}{i k} \tilde{\mathbf{u}} {i k}^{T}\right)^{-1} \ \hat{\psi}^{(t+1)} &=\frac{1}{n K p} \sum_{i=1}^ {n} \sum_{k=1}^{K}\left|\tilde{\mathbf{y}}{i k}-\hat{\boldsymbol{\mu}}^{(t+1)}-\ hat{\mathbf{W}}^{(t+1)} \tilde{\mathbf{u}}{i k}\right|_{2}^{2} \end{aligned}\begin{aligned} \hat{\boldsymbol{\mu}}^{(t+1)} &=\frac{1}{n K} \sum_{i=1}^{n} \sum_{k= 1}^{K}\left(\tilde{\mathbf{y}}{i k}-\hat{\mathbf{W}}^{(t)} \tilde{\mathbf{u}}{i k}\右) \ \hat{\mathbf{W}}^{(t+1)} &=\left{\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{K}\left( \tilde{\mathbf{y}}{i k}-\hat{\boldsymbol{\mu}}^{(t+1)}\right) \tilde{\mathbf{u}}{i k}^{\top }\right}\left(\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{K} \tilde{\mathbf{u}}{i k} \tilde{\mathbf{u}} {i k}^{T}\right)^{-1} \ \hat{\psi}^{(t+1)} &=\frac{1}{n K p} \sum_{i=1}^ {n} \sum_{k=1}^{K}\left|\tilde{\mathbf{y}}{i k}-\hat{\boldsymbol{\mu}}^{(t+1)}-\ hat{\mathbf{W}}^{(t+1)} \tilde{\mathbf{u}}{i k}\right|_{2}^{2} \end{aligned}
类似地，MLE这可以使用广义线性模型的标准结果轻松获得。
统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|PCA and Robust PCAs
让我们考虑一个训练集ñn维样本\left{\mathbf{x}{i}\right}{i=1^{*}}^{N}\left{\mathbf{x}{i}\right}{i=1^{*}}^{N}假设样本均值为零，PCA就是找一个正交投影矩阵在∈ Rn×米(米≪n) 投影样本\left{\mathbf{y}{i}=\mathbf{W}^{T} \mathbf{x}{i}\right}_{i=1}^{N}\left{\mathbf{y}{i}=\mathbf{W}^{T} \mathbf{x}{i}\right}_{i=1}^{N}在减少空间中具有最大方差。其公式如下：
在磷C一个=参数最大限度在tr(在吨小号在)在哪里小号=1ñ∑一世=1ñX一世X一世吨是一个样本协方差矩阵，并且tr(一个)是方阵的迹一个. 投影矩阵在磷C一个也可以从投影误差的角度求得，即最小化平方投影误差或重构误差的平均值。在数学上，它表示为最小化以下成本函数的优化问题：
Ĵ大号2(在)=1ñ∑一世=1ñ|X一世−在在吨X一世|22
在哪里|X|2是个大号2-向量的范数X. 这两个优化问题是等价的，通过得到米与相关的特征向量米的最大特征值小号. 虽然 PCA 简单而强大，但它很容易出现异常值 [8, 13]，因为Ĵ大号2(在)基于均方重构误差。为了学习对异常值具有鲁棒性的子空间，Ke 和 Kanade [13] 建议最小化大号1-基于范数的目标函数如下：
Ĵ大号1(在)=1ñ∑一世=1ñ|X一世−在在吨X一世|1
在哪里|X|1是个大号1-向量的范数X. 他们还提出了一种迭代方法来获得最小化的解决方案Ĵ大号1(在).
统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。
金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。