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统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Density Approximations
In the previous section some of the most elementary properties, i.e. moments, of the MLEs in the $B R M, E B R M_{B}^{3}$ and $E B R M_{W}^{3}$ were derived. In these models the exact distribution of the MLEs is difficult to obtain in a useful form. Thus, one needs to rely on either simulations or approximations. In general, simulations may be useful in some particular cases, but can often become computationally demanding, for example when used to solve distributional problems connected to high-dimensional statistical problems.
When finding approximations of distributions, it may be advisable to start from the asymptotic distribution under the assumption of a large number of independent observations. It is a fairly natural approximation strategy that one should let the asymptotic result direct the approximation. For example, if the distribution of a statistic converges to the normal distribution, it is natural to approximate with a normal distribution. The art in this connection resides in the correction of the approximation for the finite number of independent observations concerned. Moreover, in any serious context it is always of interest to indicate the error of the approximation and the best approach here is to find a sharp upper bound of the error.
Distributions of a statistic can be approximated in many ways, for example, by approximating the statistic itself, by approximating the characteristic function before transforming it back into a density, by approximating the density function or by directly approximating the distribution function. In this section a special type of density approximation will be considered which is termed Edgeworth-type expansion. From the derivation of this type of approximation it follows that one approximates the characteristic function by excluding higher terms in a Taylor series expansion of the characteristic function. At this stage the knowledge of moments and cumulants is crucial. Thereafter an inverse transform is applied to obtain the density approximation. The reason for calling this type of approximation
an Edgeworth-type expansion is that it is based on the normal distribution. However, the correct term is Gram-Charlier A series expansion. Usually the difference between Edgeworth and Gram-Charlier expansions lies in the organization of terms in the expansion, which then affects the approximation when series are truncated. The reason for choosing the term “Edgeworth-type expansion” is that in our approach we do not have to distinguish between the Gram-Charlier and Edgeworth expansions, and at the same time, the term “Gram-Charlier expansion” is incorrect from a historical perspective (see Hald, 2002).
This chapter focuses mainly on the approximation of the distribution of the maximum likelihood estimators of the mean parameters. Here the results are unexpectedly beautiful. The same approach could be adopted for the estimators of the dispersion estimators, but in this case it is not possible to bound the errors of the approximations and therefore no results will be presented.
统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Preparation
Let $\boldsymbol{Y}$ be a random matrix variable with density $f_{Y}\left(\boldsymbol{Y}{o}\right)$. The density $f{Y}\left(\boldsymbol{Y}{o}\right)$ should be approximated via another random variable $X$ and its density $f{X}\left(\boldsymbol{Y}{o}\right)$, and knowledge about the cumulants for both distributions. Moreover, the approximating density and the characteristic functions are going to be differentiated several times and this will be based on the following matrix derivative. Definition $\mathbf{5 . 1}$ Let $\boldsymbol{Y}$ be a function of $\boldsymbol{X}$. The $k$ th matrix derivative is defined by $\frac{d^{k} \boldsymbol{Y}}{d \boldsymbol{X}^{k}}=\frac{d}{\boldsymbol{X}} \frac{d^{k-1} \boldsymbol{Y}}{d \boldsymbol{X}^{k-1}}, \quad k=1,2, \ldots$ and $$ \frac{d \boldsymbol{Y}}{d \boldsymbol{X}}=\frac{d \operatorname{vec}^{\prime} \boldsymbol{Y}}{d \operatorname{vec} \boldsymbol{X}}, \quad \frac{d^{0} \boldsymbol{Y}}{d \boldsymbol{X}^{0}}=\boldsymbol{Y} $$ where, if $\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{p \times q}$, $$ \frac{d}{d X}=\left(\frac{d}{d x{11}}, \ldots \frac{d}{d x_{p 1}}, \frac{d}{d x_{12}}, \ldots, \frac{d}{d x_{p 2}}, \ldots, \frac{d}{d x_{1 q}}, \ldots, \frac{d}{d x_{p q}}\right)^{\prime} .
$$
Note that a more precise, but clumsy, notation would have been $\frac{d^{k} \boldsymbol{Y}}{(d X)^{k}}$ or $\frac{d^{k} \boldsymbol{Y}}{d X d X}$; i.e. here in Definition $5.1, \boldsymbol{X}^{k}$ does not denote the matrix power.
Since the Edgeworth-type expansion is based on knowledge about multivariate cumulants, it is necessary to define them. Let $\varphi_{X}(T)$ denote the characteristic
function (Fourier transform),
$$
\varphi_{X}(T)=E\left[e^{i t r\left(T^{\prime} X\right)}\right]
$$
where $i$ is the imaginary unit, and then the $k$ th cumulant $c_{k}[X]$ is presented in the next definition.
统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Density Approximation for the Mean Parameter
For the $B R M$, presented in Definition $2.1$, the density of $\widehat{\boldsymbol{B}}-\boldsymbol{B}$ is now approximated. It is assumed that $\widehat{\boldsymbol{B}}$ is unique, i.e. the matrices $\boldsymbol{A}$ and $\boldsymbol{C}$ are of full rank, and therefore (see Corollary 3.1)
$$
\widehat{B}-B=\left(\boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{S}^{-1} \boldsymbol{A}\right)^{-1} \boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{S}^{-1}(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{B C}) \boldsymbol{C}^{\prime}\left(\boldsymbol{C} \boldsymbol{C}^{\prime}\right)^{-1}
$$
is discussed, where $\boldsymbol{S} \sim W_{p}(\boldsymbol{\Sigma}, n-k)$. Since (see Appendix B, Theorem B.18 (ii))
$$
\frac{1}{n-k} S \stackrel{P}{\rightarrow} \mathbf{\Sigma}, \quad n \rightarrow \infty
$$
a natural approximating quantity is
$$
\boldsymbol{B}{\Sigma}-\boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{A}\right)^{-1} \boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{C}) \boldsymbol{C}^{\prime}\left(\boldsymbol{C} \boldsymbol{C}^{\prime}\right)^{-1} $$ Moreover, $\boldsymbol{B}{\Sigma}$ is normally distributed and
$$
\begin{aligned}
&E[\widehat{\boldsymbol{B}}-\boldsymbol{B}]=E\left[\boldsymbol{B}{\Sigma}-\boldsymbol{B}\right]=\mathbf{0}, \ &D[\widehat{\boldsymbol{B}}]-D\left[\boldsymbol{B}{\Sigma}\right]=\frac{p-q}{n-k-p+q-1}\left(\boldsymbol{C} \boldsymbol{C}^{\prime}\right)^{-1} \otimes\left(\boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{A}\right)^{-1},
\end{aligned}
$$
where (5.14) is obtained from $D[\widehat{\boldsymbol{B}}]$, presented in Corollary $4.1$ (ii), and $D\left[\boldsymbol{B}{\Sigma}\right]$ is established with the help of Appendix B, Theorem B.19 (iii). In many natural applications $\left(\boldsymbol{C} \boldsymbol{C}^{\prime}\right)^{-1}$ will become small, or at least its elements are bounded when $n \rightarrow \infty$, and therefore the first two moments (cumulants) of $\widehat{\boldsymbol{B}}$ and $\boldsymbol{B}{\Sigma}$ are close to each other. We also know that $\widehat{\boldsymbol{B}}-\widehat{\boldsymbol{B}}{\Sigma} \stackrel{P}{\rightarrow} \mathbf{0}$ as $n \rightarrow \infty$ (see the proof of Theorem 4.1). Hence, many properties of $\widehat{\boldsymbol{B}}$ support the idea of approximating the density of $\widehat{\boldsymbol{B}}-\boldsymbol{B}$ with the density of $\boldsymbol{B}{\Sigma}-\boldsymbol{B}$. The consequences of this approach are studied now and our starting point is the next important observation:
$$
\widehat{\boldsymbol{B}}-\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}{\Sigma}-\boldsymbol{B}-\boldsymbol{U} $$ where $$ \boldsymbol{U}=\left(\boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{S}^{-1} \boldsymbol{A}\right)^{-1} \boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{S}^{-1}\left(\boldsymbol{P}{A, \Sigma}-\boldsymbol{I}\right)(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{C}) \boldsymbol{C}^{\prime}\left(\boldsymbol{C} \boldsymbol{C}^{\prime}\right)^{-1}
$$
Now $\left(\boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{A}\right)^{-1} \boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{X} \boldsymbol{C}^{\prime}\left(\boldsymbol{C} \boldsymbol{C}^{\prime}\right)^{-1}$ and $\left(\boldsymbol{P}{A, \Sigma}-\boldsymbol{I}\right) \boldsymbol{X} \boldsymbol{C}^{\prime}\left(\boldsymbol{C} \boldsymbol{C}^{\prime}\right)^{-1}$ are independent (see Appendix B, Theorem B.19 (x)) and $\boldsymbol{X} \boldsymbol{C}^{\prime}\left(\boldsymbol{C} \boldsymbol{C}^{\prime}\right)^{-1}$ is independent of $\boldsymbol{S}$ (see Appendix B, Theorem B.19 (viii)). Therefore, $\boldsymbol{B}{\Sigma}$ and $\boldsymbol{U}$ are independently
distributed. Hence, Theorem $5.2$ can be applied and the following quantities are needed if $m=3$ is chosen in Theorem $5.2$ :
$$
\begin{aligned}
&\boldsymbol{B}{\Sigma}-\boldsymbol{B} \sim N{q, k}\left(\boldsymbol{0},\left(\boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{A}\right)^{-1},\left(\boldsymbol{C} \boldsymbol{C}^{\prime}\right)^{-1}\right) \
&E[\boldsymbol{U}]=\mathbf{0}, \quad E\left[\boldsymbol{u}^{\otimes 3}\right]=\mathbf{0}, \quad(\boldsymbol{u}=\operatorname{vec} \boldsymbol{U}), \
&E\left[\boldsymbol{u}^{\otimes 2}\right]=\operatorname{vec}\left(D[\widehat{\boldsymbol{B}}]-D\left[\boldsymbol{B}_{\Sigma}\right]\right)=\frac{p-q}{n-k-p+q-1} \operatorname{vec}\left(\left(\boldsymbol{C} \boldsymbol{C}^{\prime}\right)^{-1} \otimes\left(\boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{A}\right)^{-1}\right) .
\end{aligned}
$$
回归分析代写
统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Density Approximations
在上一节中，导出了 、BRM、EBRMB3 和 EBRMW3 中 MLE 的一些最基本的性质，即矩。在这些模型中，很难以有用的形式获得 MLE 的精确分布。因此，需要依赖模拟或近似值。一般来说，模拟在某些特定情况下可能很有用，但通常会变得对计算要求很高，例如当用于解决与高维统计问题相关的分布问题时。
在寻找分布的近似值时，在大量独立观察的假设下，从渐近分布开始可能是可取的。让渐近结果指导近似是一种相当自然的近似策略。例如，如果一个统计量的分布收敛到正态分布，那么用正态分布来近似是很自然的。在这方面的技术在于对有限数量的相关独立观察的近似值的校正。此外，在任何严肃的情况下，指出近似误差总是很有意义的，这里最好的方法是找到一个明显的误差上限。
统计量的分布可以通过多种方式进行近似，例如，通过近似统计量本身，通过在将特征函数转换回密度之前对其进行近似，通过对密度函数进行近似或通过直接对分布函数进行近似。在本节中，将考虑一种特殊类型的密度近似，称为 Edgeworth 型展开。从这种近似的推导可以得出，通过排除特征函数的泰勒级数展开中的较高项来近似特征函数。在这个阶段，矩和累积量的知识是至关重要的。此后应用逆变换以获得密度近似。调用这种近似的原因
埃奇沃斯式展开是基于正态分布。然而，正确的术语是 Gram-Charlier A 系列展开。通常，Edgeworth 和 Gram-Charlier 展开之间的区别在于展开中项的组织，这会影响序列被截断时的近似。选择术语“Edgeworth 型扩展”的原因是，在我们的方法中，我们不必区分 Gram-Charlier 和 Edgeworth 扩展，同时，术语“Gram-Charlier 扩展”是不正确的历史观点（见 Hald，2002）。
本章主要关注平均参数的最大似然估计分布的近似。这里的结果出乎意料的漂亮。色散估计器的估计器可以采用相同的方法，但在这种情况下，不可能限制近似值的误差，因此不会给出结果。
统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Preparation
令 Y 为密度为 fY(Yo) 的随机矩阵变量。密度 fY(Yo) 应该通过另一个随机变量 X 及其密度 fX(Yo)，以及关于两个分布的累积量的知识。此外，近似密度和特征函数将多次微分，这将基于以下矩阵导数。定义 $\mathbf{5 。1}令令\boldsymbol{Y}为为\boldsymbol{X}$ 的函数。第 k 矩阵导数定义为 $\frac{d^{k} \boldsymbol{Y}}{d \boldsymbol{X}^{k}}=\frac{d}{\boldsymbol{X}} \frac{d^{k-1} \boldsymbol{Y}}{d \boldsymbol{X}^{k-1}}, \quad k=1,2,
$$
请注意，更精确但笨拙的符号应该是 dkY(dX)k 或 dkYdXdX; 即在定义 中，5.1中，Xk 不表示矩阵幂。
由于 Edgeworth 型展开式基于关于多元累积量的知识，因此有必要对其进行定义。令 φX(T) 表示特征
函数（傅里叶变换），
$$
\varphi_{X}(T)=E\left[e^{itr\left(T^{\prime} X\right)}\right]
$$
其中 i 是虚单位，然后在下一个定义中给出第 k 次累积量 ck[X]。
统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Density Approximation for the Mean Parameter
对于定义 2.1 中提出的 BRM，B^−B 的密度现在是近似的。假设 B^ 是唯一的，即矩阵 A 和 C 是满秩的，因此（参见推论 3.1）
$$
\widehat{B}-B=\left(\boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{S}^{-1} \boldsymbol{A}\right)^{-1} \boldsymbol{A}^ {\prime} \boldsymbol{S}^{-1}(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{BC}) \boldsymbol{C}^{\prime}\left(\boldsymbol{C}讨论了\boldsymbol{C}^{\prime}\right)^{-1}
$$
，其中 S∼Wp(Σ,nk)。由于（见附录 B，定理 B.18 (ii)）
$$
\frac{1}{nk} S \stackrel{P}{\rightarrow} \mathbf{\Sigma}, \quad n \rightarrow \infty
$$
一个自然的近似量是
$$
\boldsymbol{B}{\Sigma}-\boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \ boldsymbol{A}\right)^{-1} \boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{C}) \boldsymbol{C}^{\prime}\left(\boldsymbol{C} \boldsymbol{C}^{\prime}\right)^{-1} $$ 此外，BΣ 是正态分布且
$$
\begin{aligned}
&E[\widehat{\boldsymbol{B}}-\boldsymbol{B}]=E\left[\boldsymbol{B}{\Sigma}-\boldsymbol{B}\right]=\mathbf{0}, \ &D [\widehat{\boldsymbol{B}}]-D\left[\boldsymbol{B}{\Sigma}\right]=\frac{pq}{nk-p+q-1}\left(\boldsymbol{C } \boldsymbol{C}^{\prime}\right)^{-1} \otimes\left(\boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{A} \right)^{-1},
\end{对齐}
$$
其中 (5.14) 是从 D[B^] 得到的，在推论 4.1 (ii) 和 D[BΣ] 中表示是在附录 B，定理 B.19 (iii) 的帮助下建立的。在许多自然应用中 (CC′)−1 会变小，或者至少当 时它的元素是有界的n→∞时它的元素是有界的，因此 B^ 和 BΣ 的前两个矩（累积量）彼此接近。我们也知道 B^−B^Σ→P0 as n→∞（见定理 4.1 的证明）。因此，B^ 的许多属性支持用 的密度来近似B的密度来近似\widehat{\boldsymbol{B}}-\boldsymbol{B}的密度的想法\Sigma}-\boldsymbol{B}的密度的想法\Sigma}-\boldsymbol{B}. 现在研究这种方法的后果，我们的出发点是下一个重要的观察：
$$
\widehat{\boldsymbol{B}}-\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}{\Sigma}-\boldsymbol{B}-\boldsymbol{U}其中其中\boldsymbol{U}= \left(\boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{S}^{-1} \boldsymbol{A}\right)^{-1} \boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{S }^{-1}\left(\boldsymbol{P}{A, \Sigma}-\boldsymbol{I}\right)(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{C }) \boldsymbol{C}^{\prime}\left(\boldsymbol{C} \boldsymbol{C}^{\prime}\right)^{-1}
$$
现在 粗体符号(A′Σ−1A)−1A′\粗体符号Σ−1XC′(CC′)−1 和 (PA,Σ−I)XC′(CC′)−1 是独立的（见附录 B，定理 B.19 (x)）和 XC′(CC′)−1 独立于 S（见附录 B，定理 B.19 (viii) ）。因此，BΣ 和 U 是独立的
分散式。因此，可以应用定理 5.2，如果在定理 5.2 中选择 m=3，则需要以下数量：
$$
\begin{aligned}
&\boldsymbol{B} {\Sigma}-\boldsymbol{B} \sim N {q, k}\left(\boldsymbol{0},\left(\boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{A}\right)^ {-1},\left(\boldsymbol{C} \boldsymbol{C}^{\prime}\right)^{-1}\right) \
&E[\boldsymbol{U}]=\mathbf{0}, \quad E\left[\boldsymbol{u}^{\otimes 3}\right]=\mathbf{0}, \quad(\boldsymbol{u}=\operatorname{vec} \boldsymbol{U}), \
&E\left[\boldsymbol{u}^{\otimes 2}\right]=\operatorname{vec}\left(D[\widehat{\boldsymbol{B}}]-D\left[\boldsymbol{B}_ {\Sigma}\right]\right)=\frac{pq}{nk-p+q-1} \operatorname{vec}\left(\left(\boldsymbol{C} \boldsymbol{C}^{\prime }\right)^{-1} \otimes\left(\boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{A}\right)^{-1}\right ) .
\end{对齐}
$$
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随机过程代考
在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。
贝叶斯方法代考
贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
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机器学习代写
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多元统计分析代考
基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。