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复杂网络是由数量巨大的节点和节点之间错综复杂的关系共同构成的网络结构。
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- Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|复杂网络代写complex networks代考|A New Error Function
We already said that we would like to use a statistical mechanics approach. The problem of finding a block structure which reflects the network as good as possible is then mapped onto finding the solution of a combinatorial optimization problem. Trying to approximate the adjacency matrix A of rank $r$ by a matrix B of rank $q<r$ means approximating $\mathbf{A}$ with a block model of only full and zero blocks. Formally, we can write this as $\mathbf{B}{i j}=B\left(\sigma{i}, \sigma_{j}\right)$ where $B(r, s)$ is a ${0,1}^{q \times q}$ matrix and $\sigma_{i} \in{1, \ldots, q}$ is the assignment of node $i$ from A into one of the $q$ blocks. We can view $B(r, s)$ as the adjacency matrix of the blocks in the network or as the image graph discussed in the previous chapter and its nodes represent the different equivalence classes into which the vertices of A may be grouped. From Table 3.1, we see that our error function can have only four different contributions. They should
- reward the matching of edges in $\mathbf{A}$ to edges in $\mathbf{B}$,
- penalize the matching of missing edges (non-links) in $\mathbf{A}$ to edges in $\mathbf{B}$,
- penalize the matching of edges in $\mathbf{A}$ to missing edges in $\mathbf{B}$ and
- reward the matching of missing edges in $\mathbf{A}$ to edges in $\mathbf{B}$
These four principles can be expressed via the following function:
$$
\begin{aligned}
Q({\sigma}, \mathbf{B})=& \sum_{i j} a_{i j} \underbrace{A_{i j} B\left(\sigma_{i}, \sigma_{j}\right)}{\text {links to links }}-\sum{i j} b_{i j} \underbrace{\left(1-A_{i j}\right) B\left(\sigma_{i}, \sigma_{j}\right)}{\text {non-links to links }} \ &-\sum{i j} c_{i j} \underbrace{A_{i j}\left(1-B\left(\sigma_{i}, \sigma_{j}\right)\right)}{\text {links to non-links }}+\sum{i j} d_{i j} \underbrace{\left(1-A_{i j}\right)\left(1-B\left(\sigma_{i}, \sigma_{j}\right)\right)}{\text {non-links to non-links }} \end{aligned} $$ in which $A{i j}$ denotes the adjacency matrix of the graph with $A_{i j}=1$, if an edge is present and zero otherwise, $\sigma_{i} \in{1,2, \ldots, q}$ denotes the role or group index of node $i$ in the graph and $a_{i j}, b_{i j}, c_{i j}, d_{i j}$ denote the weights of the individual contributions, respectively. The number $q$ determines the maximum number of groups allowed and can, in principle, be as large as $N$, the number of nodes in the network. Note that in an optimal assignment of nodes into groups it is not necessary to use all group indices as some indices may remain unpopulated in the optimal assignment.
统计代写|复杂网络代写complex networks代考|Fitting Networks to Image Graphs
The above-defined quality and error functions in principle consist of two parts. On one hand, there is the image graph $\mathbf{B}$ and on the other hand, there is the mapping of nodes of the network to nodes in the image graph, i.e., the assignment of nodes into blocks, which both determine the fit. Given a network $\mathbf{A}$ and an image graph $\mathbf{B}$, we could now proceed to optimize the assignment of nodes into groups ${\sigma}$ as to optimize (3.6) or any of the derived forms. This would correspond to “fitting” the network to the given image graph. This allows us to compare how well a particular network may be represented by a given image graph. We will see later that the search for cohesive subgroups is exactly of this type of analysis: If our image graph is made of isolated vertices which only connect to themselves, then we are searching for an assignment of nodes into groups such that nodes in the same group are as densely connected as possible and nodes in different groups as sparsely as possible. However, ultimately, we are interested also in the image graph which best fits to the network among all possible image graphs B. In principle, we could try out every possible image graph, optimize the assignment of nodes into blocks ${\sigma}$ and compare these fit scores. This quickly becomes impractical for even moderately large image graphs. In order to solve this problem, it is useful to consider the properties of the optimally fitting image graph $\mathbf{B}$ if we are given the networks plus the assignment of nodes into groups ${\sigma}$.
统计代写|复杂网络代写complex networks代考|The Optimal Image Graph
We have already seen that the two terms of (3.7) are extremized by the same $B\left(\sigma_{i}, \sigma_{j}\right)$. It is instructive to introduce the abbreviations
$$
\begin{aligned}
m_{r s} &=\sum_{i j} w_{i j} A_{i j} \delta\left(\sigma_{i}, r\right) \delta\left(\sigma_{j}, s\right) \text { and } \
{\left[m_{r s}\right]{p{i j}} } &=\sum_{i j} p_{i j} \delta\left(\sigma_{i}, r\right) \delta\left(\sigma_{j}, s\right),
\end{aligned}
$$
and write two equivalent formulations for our quality function:
$$
\begin{aligned}
&\mathbf{Q}^{1}({\sigma}, \mathbf{B})=\sum_{r, s}\left(m_{r s}-\gamma\left[m_{r s}\right]{p{i j}}\right) B(r, s) \text { and } \
&Q^{0}({\sigma}, \mathbf{B})=-\sum_{r, s}\left(m_{r s}-\gamma\left[m_{r s}\right]{p{i j}}\right)(1-B(r, s))
\end{aligned}
$$
Now the sums run over the group indices instead of nodes and $m_{r s}$ denotes the number of edges between nodes in group $r$ and $s$ and $\left[m_{r s}\right]{p{i j}}$ is the sum of penalties between nodes in group $r$ and $s$. Interpreting $p_{i j}$ indeed as a probability or expected weight, the symbol $[\cdot]{p{i j}}$ denotes an expectation value under the assumption of a link(weight) distribution $p_{i j}$, given the current assignment of nodes into groups. That is, $\left[m_{r s}\right]{p{i j}}$ is the expected number (weight) of edges between groups $r$ and $s$. The equivalence of maximizing (3.13) and minimizing (3.14) shows that our quality function is insensitive to whether we optimize the matching of edges or missing edges between the network and the image graph.
Let us now consider the properties of an image graph with $q$ roles and a corresponding assignment of roles to nodes which would achieve the highest $Q$ across all image graphs with the same number of roles. From (3.13) and (3.14) we find immediately that for a given assignment of nodes into blocks ${\sigma}$ we achieve that $Q$ is maximal only when $B_{r s}=1$ for every $\left(m_{r s}-\left[m_{r s}\right]\right)>0$ and $B_{r s}=0$ for every $\left(m_{r s}-\left[m_{r s}\right]\right)<0$. This means that for the best fitting image graph, we have more links than expected between nodes in roles connected in the image graph. Further, we have less links than expected between nodes in roles disconnected in the image graph.
This suggests a simple way to eliminate the need for a given image graph by considering the following quality function:
$$
Q({\sigma})=\frac{1}{2} \sum_{r, s}\left|m_{r s}-\gamma\left[m_{r s}\right]\right|
$$
The factor $1 / 2$ enters to make the scores of $Q, Q^{0}$ and $Q^{1}$ comparable. From the assignment of roles that maximizes (3.15), we can read off the image graph simply by setting
$$
\begin{aligned}
&B_{r s}=1, \text { if }\left(m_{r s}-\gamma\left[m_{r s}\right]\right)>0 \text { and } \
&B_{r s}=0, \text { if }\left(m_{r s}-\gamma\left[m_{r s}\right]\right) \leq 0
\end{aligned}
$$
复杂网络代写
统计代写|复杂网络代写complex networks代考|A New Error Function
我们已经说过我们想使用统计力学方法。寻找一个尽可能好地反映网络的块结构的问题然后被映射到寻找组合优化问题的解决方案。试图逼近秩的邻接矩阵 Ar由秩矩阵 Bq<r意味着近似一种具有只有完整块和零块的块模型。形式上，我们可以这样写乙一世j=乙(σ一世,σj)在哪里乙(r,s)是一个0,1q×q矩阵和σ一世∈1,…,q是节点的赋值一世从 A 到其中之一q块。我们可以查看乙(r,s)作为网络中块的邻接矩阵或前一章讨论的图像图，它的节点表示可以将 A 的顶点分组到的不同等价类。从表 3.1 中，我们看到我们的误差函数只能有四种不同的贡献。他们应该
- 奖励边缘的匹配一种到边缘乙,
- 惩罚缺失边（非链接）的匹配一种到边缘乙,
- 惩罚边缘的匹配一种缺少边缘乙和
- 奖励缺失边的匹配一种到边缘乙
这四个原则可以通过以下函数来表达：
问(σ,乙)=∑一世j一种一世j一种一世j乙(σ一世,σj)⏟链接到链接 −∑一世jb一世j(1−一种一世j)乙(σ一世,σj)⏟非链接链接 −∑一世jC一世j一种一世j(1−乙(σ一世,σj))⏟链接到非链接 +∑一世jd一世j(1−一种一世j)(1−乙(σ一世,σj))⏟非链接到非链接 其中一种一世j表示图的邻接矩阵一种一世j=1，如果存在边，否则为零，σ一世∈1,2,…,q表示节点的角色或组索引一世在图中和一种一世j,b一世j,C一世j,d一世j分别表示个人贡献的权重。数字q确定允许的最大组数，原则上可以与ñ, 网络中的节点数。请注意，在将节点最佳分配到组中时，不必使用所有组索引，因为某些索引可能在最佳分配中保持未填充。
统计代写|复杂网络代写complex networks代考|Fitting Networks to Image Graphs
上述定义的质量和误差函数原则上由两部分组成。一方面，有图像图乙另一方面，存在网络节点到图像图中节点的映射，即将节点分配到块中，这两者都决定了拟合。给定一个网络一种和图像图乙，我们现在可以继续优化节点到组的分配σ至于优化（3.6）或任何派生形式。这将对应于将网络“拟合”到给定的图像图。这使我们能够比较给定图像图可以表示特定网络的程度。稍后我们将看到对内聚子组的搜索正是这种类型的分析：如果我们的图像图是由仅连接到它们自己的孤立顶点组成的，那么我们正在搜索将节点分配到组中，使得相同的节点组尽可能密集连接，不同组中的节点尽可能稀疏。然而，最终，我们也对所有可能的图像图 B 中最适合网络的图像图感兴趣。原则上，我们可以尝试所有可能的图像图，优化节点到块的分配σ并比较这些拟合分数。即使对于中等大小的图像，这也很快变得不切实际。为了解决这个问题，考虑最优拟合图像图的属性是有用的乙如果给定网络加上将节点分配到组中σ.
统计代写|复杂网络代写complex networks代考|The Optimal Image Graph
我们已经看到 (3.7) 的两个项被相同的极值化了乙(σ一世,σj). 引入缩略语是有益的
米rs=∑一世j在一世j一种一世jd(σ一世,r)d(σj,s) 和 [米rs]p一世j=∑一世jp一世jd(σ一世,r)d(σj,s),
并为我们的质量函数写两个等价的公式：
问1(σ,乙)=∑r,s(米rs−C[米rs]p一世j)乙(r,s) 和 问0(σ,乙)=−∑r,s(米rs−C[米rs]p一世j)(1−乙(r,s))
现在总和在组索引而不是节点上运行米rs表示组中节点之间的边数r和s和 $\left[m_{rs}\right] {p {ij}}一世s吨H和s在米这Fp和n一种l吨一世和sb和吨在和和nn这d和s一世nGr这在pr一种nds.一世n吨和rpr和吨一世nGp_{ij}一世nd和和d一种s一种pr这b一种b一世l一世吨是这r和Xp和C吨和d在和一世GH吨,吨H和s是米b这l[\cdot] {p {ij}}d和n这吨和s一种n和Xp和C吨一种吨一世这n在一种l在和在nd和r吨H和一种ss在米p吨一世这n这F一种l一世nķ(在和一世GH吨)d一世s吨r一世b在吨一世这np_{ij},G一世在和n吨H和C在rr和n吨一种ss一世Gn米和n吨这Fn这d和s一世n吨这Gr这在ps.吨H一种吨一世s,\left[m_{rs}\right] {p {ij}}一世s吨H和和Xp和C吨和dn在米b和r(在和一世GH吨)这F和dG和sb和吨在和和nGr这在psr一种nd新元。最大化（3.13）和最小化（3.14）的等价性表明我们的质量函数对我们是否优化网络和图像图之间的边缘匹配或缺失边缘不敏感。
现在让我们考虑一个图像图的属性q角色和相应的角色分配给节点，这将达到最高问跨具有相同数量角色的所有图像图。从 (3.13) 和 (3.14) 我们立即发现对于给定的节点分配到块σ我们做到了问只有当乙rs=1对于每个(米rs−[米rs])>0和乙rs=0对于每个(米rs−[米rs])<0. 这意味着对于最佳拟合图像图，我们在图像图中连接的角色节点之间的链接比预期的要多。此外，我们在图像图中断开连接的角色节点之间的链接少于预期。
这提出了一种通过考虑以下质量函数来消除对给定图像图的需求的简单方法：
问(σ)=12∑r,s|米rs−C[米rs]|
因素1/2进入得分问,问0和问1可比。从最大化（3.15）的角色分配中，我们可以简单地通过设置
乙rs=1, 如果 (米rs−C[米rs])>0 和 乙rs=0, 如果 (米rs−C[米rs])≤0
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随机过程代考
在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。
贝叶斯方法代考
贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
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机器学习代写
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多元统计分析代考
基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。