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数值分析是根据数学模型提出的问题，建立求解问题的数值计算方法并进行方法的理论分析，直到编制出算法程序上机计算得到数值结果，以及对结果进行分析。
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统计代写|数值分析和优化代写numerical analysis and optimazation代考|Lagrange Form of Polynomial Interpolation
The simplest case is to find a straight line
$$
p(x)=a_{1} x+a_{0}
$$
through a pair of points given by $\left(x_{0}, f_{0}\right)$ and $\left(x_{1}, f_{1}\right)$. This means solving 2 equations, one for each data point. Thus we have 2 degrees of freedom. For a quadratic curve there are 3 degrees of freedom, fitting a cubic curve we have 4 degrees of freedom, etc.
Let $\mathbb{P}{n}[x]$ denote the linear space of all real polynomials of degree at most $n$. Each $p \in \mathbb{P}{n}[x]$ is uniquely defined by its $n+1$ coefficients. This gives $n+1$ degrees of freedom, while interpolating $x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}$ gives rise to $n+1$ conditions.
As we have mentioned above, in determining the polynomial interpolant we can solve a linear system of equations. However, this can be done more easily.
Definition 3.1 (Lagrange cardinal polynomials). These are given by
$$
L_{k}(x):=\prod_{\substack{l=0 \ l \neq k}}^{n} \frac{x-x l}{x_{k}-x_{l}}, \quad x \in \mathbb{R}
$$
Note that the Lagrange cardinal polynomials lie in $\mathbb{P}{n}[x]$. It is easy to verify that $L{k}\left(x_{k}\right)=1$ and $L_{k}\left(x_{j}\right)=0$ for $j \neq k$. The interpolant is then given by the Lagrange formula
$$
p(x)=\sum_{k=0}^{n} f_{k} L_{k}(x)=\sum_{k=0}^{n} f_{k} \prod_{\substack{l=0 \ l \neq k}}^{n} \frac{x-x_{l}}{x_{k}-x_{l}} .
$$
Exercise 3.1. Let the function values $f(0), f(1), f(2)$, and $f(3)$ be given. We want to estimate
$$
f(-1), f^{\prime}(1) \text { and } \int_{0}^{3} f(x) d x .
$$
To this end, we let $p$ be the cubic polynomial that interpolates these function values, and then approximate by
$$
p(-1), p^{\prime}(1) \text { and } \int_{0}^{3} p(x) d x
$$
Using the Lagrange formula, show that every approximation is a linear combination of the function values with constant coefficients and calculate these coefficients. Show that the approximations are exact if $f$ is any cubic polynomial.
统计代写|数值分析和优化代写numerical analysis and optimazation代考|Newton Form of Polynomial Interpolation
Another way to describe the polynomial interpolant was introduced by Newton. First we need to introduce some concepts, however.
Definition $3.2$ (Divided difference). Given pairwise distinct points $x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n} \in[a, b]$, let $p \in \mathbb{P}{n}[x]$ interpolate $f \in C^{m}[a, b]$ at these points. The coefficient of $x^{n}$ in $p$ is called the divided difference of degree $n$ and denoted by $f\left[x{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$.
From the Lagrange formula we see that
$$
f\left[x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right]=\sum_{k=0}^{n} f\left(x_{k}\right) \prod_{\substack{l=0 \ l \neq k}}^{n} \frac{1}{x_{k}-x_{l}}
$$
Theorem 3.2. There exists $\xi \in[a, b]$ such that
$$
f\left[x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right]=\frac{1}{n !} f^{(n)}(\xi) .
$$
Proof. Let $p$ be the polynomial interpolant. The difference $f-p$ has at least $n+1$ zeros. By applying Rolle’s theorem $n$ times, it follows that the $n^{\text {th }}$ derivative $f^{(n)}-p^{(n)}$ is zero at some $\xi \in[a, b]$. Since $p$ is of degree $n, p^{(n)}$ is constant, say $c$, and we have $f^{(n)}(\xi)=c$. On the other hand the coefficient of $x^{n}$ in $p$ is given by $\frac{1}{n !} c$, since the $n^{\text {th }}$ derivative of $x^{n}$ is $n !$. Hence we have
$$
f\left[x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right]=\frac{1}{n !} c=\frac{1}{n !} f^{(n)}(\xi)
$$
Thus, divided differences can be used to approximate derivatives.
统计代写|数值分析和优化代写numerical analysis and optimazation代考|Polynomial Best Approximations
We now turn our attention to best approximations where best is defined by a norm (possibly introduced by a scalar product) which we try to minimize. Recall that a scalar or inner product is any function $\mathbb{V} \times \mathbb{R}$, where $\mathbb{V}$ is a real vector space, subject to the three axioms
Symmetry:
$$
\langle x, y\rangle=\langle y, x\rangle \text { for all } x, y \in \mathbb{V},
$$
Non-negativity:
$\langle x, x\rangle \geq 0$ for all $x \in \mathbb{V}$ and $\langle x, x\rangle=0$ if and only if $x=0$, and
Linearity:
$$
\langle a x+b y, z\rangle=a\langle x, z\rangle+b\langle y, z\rangle \text { for all } x, y, z \in \mathbb{V}, a, b \in \mathbb{R} \text {. }
$$
We already encountered the vector space $\mathbb{R}^{n}$ and its scalar product with the QR factorization of matrices. Another example of a vector space is the space of polynomials of degree $n, \mathbb{P}_{n}[x]$, but no scalar product has been defined for it so far.
Once a scalar product is defined, we can define orthogonality: $x, y \in \mathbb{V}$ are orthogonal if $\langle x, y\rangle=0$. A norm can be defined by
$$
|x|=\sqrt{\langle x, x\rangle} \quad x \in \mathbb{V} .
$$
For $\mathbb{V}=C[a, b]$, the space of all continuous functions on the interval $[a, b]$, we can define a scalar product using a fixed positive function $w \in C[a, b]$, the weight function, in the following way
$$
\langle f, g\rangle:=\int_{a}^{b} w(x) f(x) g(x) d x \text { for all } f, g \in C[a, b] .
$$
All three axioms are easily verified for this scalar product. The associated norm is
$$
|f|_{2}=\sqrt{\langle f, f\rangle}=\sqrt{\int_{a}^{b} w(x) f^{2}(x) d x} .
$$
For $w(x) \equiv 1$ this is known as the $L_{2}$-norm. Note that $\mathbb{P}{n}$ is a subspace of $C[a, b]$. Generally $L{p}$ norms are defined by
$$
|f|_{p}=\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{p} d x\right)^{1 / p}
$$
The vector space of functions for which this integral exists is denoted by $L_{p}$. Unless $p=2$, this is a normed space, but not an inner product space, because this norm does not satisfy the parallelogram equality given by
$$
2|f|_{p}^{2}+2|g|_{p}^{2}=|f+g|_{p}^{2}+|f-g|_{p}^{2}
$$
required for a norm to have an associated inner product.
Let $g$ be an approximation to the function $f$. Often $g$ is chosen to lie in a certain subspace, for example the space of polynomials of a certain degree. The best approximation chooses $g$ such that the norm of the error $|f-g|$ is minimized. Different choices of norm give different approximations.
For $p \rightarrow \infty$ the norm becomes
$$
|f|_{\infty}=\max {x \in[a, b]}|f(x)|{.}
$$
We actually have already seen the best $L_{\infty}$ approximation from $\mathbb{P}{n}[x]$. It is the interpolating polynomial where the interpolation points are chosen to be the Chebyshev points. This is why the best approximation with regards to the $L{\infty}$ norm is sometimes called the Chebyshev approximation. It is also known as Minimax approximation, since the problem can be rephrased as finding $g$ such that
$$
\min {g} \max {x \in[a, b]}|f(x)-g(x)| .
$$
数值分析代写
统计代写|数值分析和优化代写numerical analysis and optimazation代考|Lagrange Form of Polynomial Interpolation
最简单的情况是找到一条直线
p(X)=一种1X+一种0
通过给定的一对点(X0,F0)和(X1,F1). 这意味着求解 2 个方程，每个数据点一个。因此我们有 2 个自由度。对于二次曲线有 3 个自由度，拟合三次曲线我们有 4 个自由度，依此类推。
让磷n[X]最多表示所有实数多项式的线性空间n. 每个p∈磷n[X]由其唯一定义n+1系数。这给n+1自由度，同时插值X0,X1,…,Xn引起n+1条件。
正如我们上面提到的，在确定多项式插值时，我们可以求解线性方程组。然而，这可以更容易地完成。
定义 3.1（拉格朗日基数多项式）。这些是由
大号ķ(X):=∏l=0 l≠ķnX−XlXķ−Xl,X∈R
请注意，拉格朗日基数多项式位于磷n[X]. 很容易验证大号ķ(Xķ)=1和大号ķ(Xj)=0为了j≠ķ. 插值然后由拉格朗日公式给出
p(X)=∑ķ=0nFķ大号ķ(X)=∑ķ=0nFķ∏l=0 l≠ķnX−XlXķ−Xl.
练习 3.1。让函数值F(0),F(1),F(2)， 和F(3)被给予。我们想估计
F(−1),F′(1) 和 ∫03F(X)dX.
为此，我们让p是插值这些函数值的三次多项式，然后近似为
p(−1),p′(1) 和 ∫03p(X)dX
使用拉格朗日公式，证明每个近似值都是具有常数系数的函数值的线性组合，并计算这些系数。证明近似值是精确的，如果F是任何三次多项式。
统计代写|数值分析和优化代写numerical analysis and optimazation代考|Newton Form of Polynomial Interpolation
牛顿介绍了另一种描述多项式插值的方法。然而，首先我们需要介绍一些概念。
定义3.2（分差）。给定成对不同的点X0,X1,…,Xn∈[一种,b]， 让p∈磷n[X]插F∈C米[一种,b]在这些点上。系数Xn在p称为分度差n并表示为F[X0,X1,…,Xn].
从拉格朗日公式我们可以看出
F[X0,X1,…,Xn]=∑ķ=0nF(Xķ)∏l=0 l≠ķn1Xķ−Xl
定理 3.2。那里存在X∈[一种,b]这样
F[X0,X1,…,Xn]=1n!F(n)(X).
证明。让p是多项式插值。区别F−p至少有n+1零。通过应用罗尔定理n次，因此nth 衍生物F(n)−p(n)在某些时候为零X∈[一种,b]. 自从p有学位n,p(n)是恒定的，比如说C，我们有F(n)(X)=C. 另一方面，系数Xn在p是（谁）给的1n!C，因为nth 的导数Xn是n!. 因此我们有
F[X0,X1,…,Xn]=1n!C=1n!F(n)(X)
因此，划分的差异可用于近似导数。
统计代写|数值分析和优化代写numerical analysis and optimazation代考|Polynomial Best Approximations
我们现在将注意力转向最佳近似值，其中最佳值由我们试图最小化的范数（可能由标量积引入）定义。回想一下，标量或内积是任何函数在×R， 在哪里在是一个实向量空间，服从三个公理
对称：
⟨X,是⟩=⟨是,X⟩ 对全部 X,是∈在,
非消极性：
⟨X,X⟩≥0对全部X∈在和⟨X,X⟩=0当且仅当X=0，和
线性：
⟨一种X+b是,和⟩=一种⟨X,和⟩+b⟨是,和⟩ 对全部 X,是,和∈在,一种,b∈R.
我们已经遇到了向量空间Rn及其与矩阵的 QR 分解的标量积。向量空间的另一个例子是多项式空间n,磷n[X]，但到目前为止还没有为它定义标量积。
一旦定义了标量积，我们就可以定义正交性：X,是∈在是正交的，如果⟨X,是⟩=0. 一个规范可以定义为
|X|=⟨X,X⟩X∈在.
为了在=C[一种,b], 区间上所有连续函数的空间[一种,b]，我们可以使用固定的正函数定义标量积在∈C[一种,b], 权重函数, 方式如下
⟨F,G⟩:=∫一种b在(X)F(X)G(X)dX 对全部 F,G∈C[一种,b].
对于这个标量积，所有三个公理都很容易验证。相关的规范是
|F|2=⟨F,F⟩=∫一种b在(X)F2(X)dX.
为了在(X)≡1这被称为大号2-规范。注意磷n是一个子空间C[一种,b]. 一般来说大号p规范定义为
|F|p=(∫一种b|F(X)|pdX)1/p
存在该积分的函数的向量空间表示为大号p. 除非p=2，这是一个范数空间，但不是一个内积空间，因为这个范数不满足由给出的平行四边形等式
2|F|p2+2|G|p2=|F+G|p2+|F−G|p2
规范需要有一个相关的内积。
让G是函数的近似值F. 经常G被选择位于某个子空间中，例如某个次数的多项式空间。最佳近似选择G这样误差的范数|F−G|被最小化。范数的不同选择给出不同的近似值。
为了p→∞规范变成
|F|∞=最大限度X∈[一种,b]|F(X)|.
我们实际上已经看到了最好的大号∞从近似磷n[X]. 它是插值多项式，其中插值点被选为切比雪夫点。这就是为什么关于大号∞范数有时称为切比雪夫近似。它也被称为 Minimax 逼近，因为这个问题可以重新表述为G这样
分钟G最大限度X∈[一种,b]|F(X)−G(X)|.
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随机过程代考
在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。
贝叶斯方法代考
贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
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机器学习代写
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多元统计分析代考
基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。