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最优控制是为一个动态系统确定一段时期内的控制和状态轨迹，以使性能指数最小化的过程。
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统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Calculus of Variations
We begin now the analysis of some optimization problems where the results about semiconcave functions and their singularities can be applied. In this chapter we consider what Fleming and Rishel [80] call “the simplest problem in the calculus of variations,” a case where the dynamic programming approach is particularly powerful, and which will serve as a guideline for the analysis of optimal control problems in the following.
The problem in the calculus of variations we study here has been introduced in Chapter 1, where some results have been given in the case where the integrand is independent of $t, x$. Here, we consider a general integrand, so that the minimizers no longer admit an explicit description as in the Hopf formula. However, the structure of minimizers is described by classical results: we give a result about existence and regularity of minimizers, and we show that they satisfy the well-known Euler-Lagrange equations. We then apply the dynamic programming approach and introduce the value function of the problem, which is semiconcave and is a viscosity solution of an associated Hamilton-Jacobi equation. The main purpose of our analysis is to study the singularities of the value function and their interpretation in the calculus of variations. For instance, we derive a correspondence between generalized gradients of the value function and the minimizing trajectories of the problem. This shows, in particular, that the singularities of the value function are exactly the endpoints for which the minimizer of the variational problem is not unique. In addition, we can bound the size of $\bar{\Sigma}$, the closure of the singular set, proving that it enjoys the same rectifiability properties of $\Sigma$ itself. This result is interesting because on the complement of $\bar{\Sigma}$ the value function has the same regularity as the data and can be computed by the method of characteristics.
The chapter is organized as follows. In Section $6.1$ we give the statement of the problem and the existence result for minimizers. In Section $6.2$ we show that minimizers are regular and derive the Euler-Lagrange equations. Starting from Section $6.3$ we focus our attention on problems with one free endpoint; we introduce the notions of irregular and conjugate point and we prove Jacobi’s necessary optimality condition. Then, in Section 6.4, we apply the dynamic programming approach to this problem. We show that the value function $u$ solves the associated Hamilton-Jacobi
equation in the viscosity sense and that it is semiconcave. In addition, the minimizers for the variational problem with a given final endpoint $(t, x)$ are in one-to-one correspondence with the elements of $D^{*} u(t, x)$; in particular, the differentiability of $u$ is equivalent to the uniqueness of the minimizer. We also show that $u$ is as regular as the data of the problem in the complement of the closure of its singular set $\Sigma$.
The rest of the chapter is devoted to study the structure of $\bar{\Sigma}$. Since the properties of $\Sigma$ are well known from the general analysis of Chapter 4 , we focus our attention on the set $\bar{\Sigma} \backslash \Sigma$. The starting point is given in Section $6.5$, where we show that $\bar{\Sigma}=\Sigma \cup \Gamma$, where $\Gamma$ is the set of conjugate points. In addition, we prove some results about conjugate points showing, roughly speaking, that these are the points at which the singularities of $u$ are generated. Then, in Section $6.6$, we prove that $\Sigma$ has the same rectifiability property as $\Sigma$, i.e., it is a countably $\mathcal{H}^{\prime n}$-rectifiable subset of $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n}$. By the previous remarks, this is equivalent to proving the rectifiability of $\Gamma \backslash \Sigma$. Combining a careful analysis of the hamiltonian system satisfied by the minimizing arcs with some tools from geometric measure theory, we obtain the finer estimate
$$
\mathcal{H}^{n-1+\frac{2}{R-1}}(\Gamma \backslash \Sigma)=0,
$$
where $k \geq 3$ is the differentiability class of the data. This yields in particular the desired Hausdorff estimate on $\bar{\Sigma}$, which shows that $u$ is as smooth as the data in the complement of a closed rectifiable set of codimension one.
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Existence of minimizers
Let us consider the problem in the calculus of variations of Chapter 1 in a more general setting. We fix $T>0$, a connected open set $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ and two closed subsets $S_{0}, S_{T} \subset \bar{\Omega}$. We denote by $\mathrm{AC}\left([0, T], \mathbb{R}^{n}\right)$ the class of all absolutely continuous arcs $\xi:[0, T] \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ and define the set of admissible arcs by
$$
\mathcal{A}=\left{\xi \in \mathrm{AC}\left([0, T], \mathbb{R}^{n}\right): \xi(t) \in \bar{\Omega} \text { for all } t \in[0, T], \xi(0) \in S_{0}, \xi(T) \in S_{T}\right}
$$
Moreover, we define the functionals $\Lambda, J$ on $\mathcal{A}$ by
$$
\Lambda(\xi)=\int_{0}^{T} L(s, \xi(s), \dot{\xi}(s)) d s
$$
and
$$
J(\xi)=\Lambda(\xi)+u_{0}(\xi(0))+u_{T}(\xi(T))
$$
Here $L:[0, T] \times \bar{\Omega} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ and $u_{0}, u_{T}: \bar{\Omega} \rightarrow \mathbb{R}$ are given continuous functions called running cost, initial cost and final cost, respectively, and $\Lambda$ is the action functional. We then consider the following minimization problem:
(CV) Find $\xi_{} \in \mathcal{A}$ such that $J\left(\xi_{}\right)=\min {J(\xi): \xi \in \mathcal{A}}$.
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Necessary conditions and regularity
We show in this section that the minimizing arcs for problem (CV) are regular and solve a system of equations called the Euler-Lagrange equations. Our analysis is restricted to those minimizers which are contained in $\Omega$; minimizers touching the boundary of $\Omega$ would require a longer analysis. We need some further assumptions on the data. Namely, we assume that the lagrangian $L$ is of class $C^{1}$ and that for all $r>0$ there exists $\mathcal{C}(r)>0$ such that
$$
\begin{aligned}
&\left|L_{x}(t, x, v)\right|+\left|L_{v}(t, x, v)\right| \leq \tilde{C}(r) \theta(|v|) \
&\forall t \in[0, T], x \in \bar{\Omega} \cap B_{r}, v \in \mathbb{R}^{n}
\end{aligned}
$$
where $\theta$ is the Nagumo function appearing in hypothesis (ii) of Theorem 6.1.2. Observe that property (iii) of the same theorem is implied by (6.6). In addition, we assume that $\theta$ satisfies
$$
\theta(q+m) \leq K_{M}[1+\theta(q)] \quad \forall m \in[0, M], q \geq 0
$$
It is easily checked that assumption (6.7) is satisfied for many classes of superlinear functions $\theta$, such as powers or exponentials. It is violated in cases where $\theta$ grows “very fast”, e.g., $\theta(q)=e^{e q}, q \in \mathbb{R}$.
最优控制代考
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Calculus of Variations
我们现在开始分析一些可以应用半凹函数及其奇异性的结果的优化问题。在本章中，我们考虑 Fleming 和 Rishel [80] 所说的“变分计算中最简单的问题”，这是动态规划方法特别强大的一种情况，它将作为分析最优控制问题的指南。以下。
我们在此处研究的变分计算问题已在第 1 章中介绍过，其中在被积函数独立于吨,X. 在这里，我们考虑一个一般被积函数，因此最小化器不再允许像 Hopf 公式中那样的明确描述。然而，最小化器的结构是由经典结果描述的：我们给出了最小化器的存在性和规律性的结果，并且我们证明了它们满足著名的欧拉-拉格朗日方程。然后我们应用动态规划方法并引入问题的价值函数，它是半凹的，是相关 Hamilton-Jacobi 方程的粘度解。我们分析的主要目的是研究价值函数的奇异性及其在变分法中的解释。例如，我们推导出值函数的广义梯度与问题的最小化轨迹之间的对应关系。这尤其表明，值函数的奇点正是变分问题的最小化器不是唯一的端点。此外，我们可以限制Σ¯，奇异集的闭包，证明它具有相同的可整流性质Σ本身。这个结果很有趣，因为在Σ¯值函数与数据具有相同的规律性，可以通过特征法计算。
本章组织如下。在部分6.1我们给出了问题的陈述和最小化器的存在结果。在部分6.2我们证明了最小化器是规则的并推导出欧拉-拉格朗日方程。从节开始6.3我们将注意力集中在一个免费端点的问题上；我们引入了不规则点和共轭点的概念，并证明了 Jacobi 的必要最优性条件。然后，在第 6.4 节中，我们将动态规划方法应用于这个问题。我们证明了价值函数在求解相关的 Hamilton-Jacobi
在粘度意义上的方程，它是半凹的。此外，具有给定最终端点的变分问题的最小化器(吨,X)与元素一一对应D∗在(吨,X); 特别是，可区分性在等价于最小化器的唯一性。我们还表明在与问题的数据在其奇异集的闭包的补中一样规则Σ.
本章的其余部分专门研究结构Σ¯. 由于属性Σ从第 4 章的一般分析中众所周知，我们将注意力集中在集合上Σ¯∖Σ. 起点在章节中给出6.5, 我们证明Σ¯=Σ∪Γ， 在哪里Γ是共轭点的集合。此外，我们证明了一些关于共轭点的结果，粗略地说，这些是在被生成。然后，在部分6.6, 我们证明Σ具有与Σ, 即它是一个可数的H′n-可纠正的子集R×Rn. 通过前面的评论，这相当于证明了Γ∖Σ. 结合对最小化弧所满足的哈密顿系统的仔细分析与几何测度理论中的一些工具，我们得到了更精细的估计
Hn−1+2R−1(Γ∖Σ)=0,
在哪里ķ≥3是数据的可微性类别。这特别产生了所需的豪斯多夫估计Σ¯，这表明在与封闭的可校正余维集补集中的数据一样平滑。
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Existence of minimizers
让我们在更一般的背景下考虑第 1 章变分法中的问题。我们修复吨>0, 连通开集Ω⊂Rn和两个封闭子集小号0,小号吨⊂Ω¯. 我们表示一种C([0,吨],Rn)所有绝对连续弧的类X:[0,吨]→Rn并通过以下方式定义允许弧的集合
\mathcal{A}=\left{\xi \in \mathrm{AC}\left([0, T], \mathbb{R}^{n}\right): \xi(t) \in \bar{ \Omega} \text { 对于所有 } t \in[0, T], \xi(0) \in S_{0}, \xi(T) \in S_{T}\right}\mathcal{A}=\left{\xi \in \mathrm{AC}\left([0, T], \mathbb{R}^{n}\right): \xi(t) \in \bar{ \Omega} \text { 对于所有 } t \in[0, T], \xi(0) \in S_{0}, \xi(T) \in S_{T}\right}
此外，我们定义泛函Λ,Ĵ在一种经过
Λ(X)=∫0吨大号(s,X(s),X˙(s))ds
和
Ĵ(X)=Λ(X)+在0(X(0))+在吨(X(吨))
这里大号:[0,吨]×Ω¯×Rn→R和在0,在吨:Ω¯→R给定连续函数，分别称为运行成本、初始成本和最终成本，并且Λ是动作泛函。然后我们考虑以下最小化问题：
(CV) FindX∈一种这样Ĵ(X)=分钟Ĵ(X):X∈一种.
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Necessary conditions and regularity
我们在本节中展示了问题 (CV) 的最小化弧是规则的，并求解了一个称为 Euler-Lagrange 方程的方程组。我们的分析仅限于那些包含在Ω; 接触边界的最小化器Ω将需要更长的分析时间。我们需要对数据做一些进一步的假设。即，我们假设拉格朗日大号是一流的C1这对所有人r>0那里存在C(r)>0这样
|大号X(吨,X,在)|+|大号在(吨,X,在)|≤C~(r)θ(|在|) ∀吨∈[0,吨],X∈Ω¯∩乙r,在∈Rn
在哪里θ是出现在定理 6.1.2 的假设 (ii) 中的 Nagumo 函数。观察同一定理的性质 (iii) 由 (6.6) 暗示。此外，我们假设θ满足
θ(q+米)≤ķ米[1+θ(q)]∀米∈[0,米],q≥0
很容易检查假设（6.7）对于许多类别的超线性函数都满足θ，例如幂或指数。它在以下情况下被违反θ增长“非常快”，例如，θ(q)=和和q,q∈R.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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