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统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Superdifferential of a semiconcave function
The superdifferential of a semiconcave function enjoys many properties that are not valid for a general Lipschitz continuous function, and that can be regarded as extensions of analogous properties of concave functions. We start with the following basic estimate. Throughout the section $A \subset \mathbb{R}^{n}$ is an open set.
Proposition 3.3.1 Let $u: A \rightarrow \mathbb{R}$ be a semiconcave function with modulus $\omega$ and let $x \in A$. Then, a vector $p \in \mathbb{R}^{n}$ belongs to $D^{+} u(x)$ if and only if
$$
u(y)-u(x)-\langle p, y-x\rangle \leq|y-x| \omega(|y-x|)
$$
Jor any pont y EA such that $[y, r\rfloor$ s. $_{-}$
Proof – If $p \in \mathbb{R}^{n}$ satisfies (3.18), then, by the very definition of superdifferential, $p \in D^{+} u(x)$. In order to prove the converse, let $p \in D^{+} u(x)$. Then, dividing the semiconcavity inequality $(2.1)$ by $(1-\lambda)|x-y|$, we have
$$
\left.\left.\frac{u(y)-u(x)}{|y-x|} \leq \frac{u(x+(1-\lambda)(y-x))-u(x)}{(1-\lambda)|y-x|}+\lambda \omega(|x-y|), \quad \forall \lambda \in\right] 0,1\right] .
$$
Hence, taking the limit as $\lambda \rightarrow 1^{-}$, we obtain
$$
\frac{u(y)-u(x)}{|y-x|} \leq \frac{\langle p, y-x\rangle}{|y-x|}+\omega(|x-y|),
$$
since $p \in D^{+} u(x)$. Estimate (3.18) follows.
Remark 3.3.2 In particular, if $u$ is concave on a convex set $A$. we find that $p \in$ $D^{+} u(x)$ if and only if
$$
u(y) \geq u(x)+\langle p, y-x\rangle, \quad \forall y \in A .
$$
In convex analysis (see Appendix A. 1) this property is usually taken as the definition of the superdifferential. Therefore, the Fréchet super- and subdifferential coincide with the classical semidifferentials of convex analysis in the case of a concave (resp. convex) function.
Before investigating further properties of the superdifferential, let us show how Proposition 3.3.1 easily yields a compactness property for semiconcave functions.
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Marginal functions
A function $u: A \rightarrow \mathbb{R}$ is called a marginal function if it can be written in the form
$$
u(x)=\inf _{s \in S} F(s, x),
$$
where $S$ is some topological space and the function $F: S \times A \rightarrow \mathbb{R}$ depends smoothly on $x$. Functions of this kind appear often in the literature, sometimes with different names (see e.g., the lower $C^{k}$-functions in [123]).
Under suitable regularity assumptions for $F$, a marginal function is semiconcave.
For instance, Corollary $2.1 .6$ immediately implies the following.
Proposition 3.4.1 Let $A \subset \mathbb{R}^{n}$ be open and let $S \subset \mathbb{R}^{m}$ be compact. If $F=F(s, x)$ is continuous in $C(S \times A)$ together with its partial derivatives $D_{x} F$, then the function u defined in (3.34) belongs to $\mathrm{SC}{l o c}(A)$. If $D{x x}^{2} F$ also exists and is continuous in $S \times A$, then $u \in \mathrm{SCL}{l o c}(A)$. We now show that the converse also holds. Theorem 3.4.2 Let $u: A \rightarrow \mathbb{R}$ be a semiconcave function. Then $u$ can be locally written as the minimum of functions of class $C^{1}$. More precisely, for any $K \subset A$ compact, there exists a compact set $S \subset \mathbb{R}^{2 n}$ and a continuous function $F: S \times K \rightarrow$ $\mathbb{R}$ such that $F(s, \cdot)$ is $C^{1}$ for any $s \in S$, the gradients $D{x} F(s, \cdot)$ are equicontinuous, and
$$
u(x)=\min _{s \in S} F(s, x), \quad \forall x \in K .
$$
If the modulus of semiconcavity of $u$ is linear, then $F$ can be chosen such that $F(s,-)$ is $C^{2}$ for any $s$, with uniformly bounded $C^{2}$ norm.
Proof – Let $\omega$ be the modulus of semiconcavity of $u$ and let $\omega_{1}$ be a function such that $\omega_{1}(0)=0$, that $\omega_{1}(r) \geq \omega(r)$ and that the function $x \rightarrow|x| \omega_{1}(|x|)$ belongs to $C^{1}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$. The existence of such an $\omega_{1}$ has been proved in Lemma 3.1.8. If $\omega$ is linear we simply take $\omega_{1} \equiv \omega$.
Let us set $S=\left{(y, p): y \in K, p \in D^{+} u(y)\right}$. By Proposition 3.3.4(a) and the local Lipschitz continuity of $u, S$ is a compact set. Then we define
$$
F(y, p, x)=u(y)+\langle p, x-y\rangle+|y-x| \omega_{1}(|y-x|)
$$
Then $F$ has the required regularity properties. In addition $F(y, p, x) \geq u(x)$ for all $(y, p, x) \in S \times K$ by Proposition 3.3.1. On the other hand, if $x \in K$, then $D+u(x)$ is nonempty and so thêré exists at lesast a vectō $p$ such that $(x, p) \in S$. Since $F(x, p, x)=u(x)$, we obtain $(3.35)$.
If $u$ is semiconcave with a linear modulus, then it admits another representation as the infimum of regular functions by a procedure that is very similar to the Legendre transformation.
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Inf-convolutions
Given $g: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ and $\varepsilon>0$, the functions
$$
x \rightarrow \inf {y \in \mathbb{R}^{n}}\left(g(y)+\frac{|x-y|^{2}}{2 \varepsilon}\right) \quad x \rightarrow \sup {y \in \mathbb{R}^{n}}\left(g(y)-\frac{|x-y|^{2}}{2 \varepsilon}\right)
$$
are called inf- and sup-convolutions of $g$ respectively, due to the formal analogy with the usual convolution. They have been used in various contexts as a way to approximate $g$; one example is the uniqueness theory for viscosity solutions of HamiltonJacobi equations. In some cases it is useful to consider more general expressions, where the quadratic term above is replaced by some other coercive function. In this section we analyze such general convolutions, showing that their regularity properties are strictly related with the properties of semiconcave functions studied in the previous sections.
Definition 3.5.1 Let $g \in C\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ satisfy
$$
|g(x)| \leq K(1+|x|)
$$
for some $K>0$ and let $\phi \in C\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ be such that
$$
\lim {|q| \rightarrow+\infty} \frac{\phi(q)}{|q|}=+\infty . $$ The inf-convolution of $g$ with kernel $\phi$ is the function $$ g \phi(x)=\inf {y \in \mathbb{R}^{a}}[g(y)+\phi(x-y)],
$$
while the sup-convolution of $g$ with kernel $\phi$ is defined by
$$
g^{\phi}(x)=\sup {y \in \mathbb{R}^{n}}[g(y)-\phi(x-y)] . $$ We observe that the function $u$ given by Hopf’s formula (1.10) is an infconvolution with respect to the $x$ variable for any fixed $t$. In addition, inf-convolutions are a particular case of the marginal functions introduced in the previous section. We give below some regularity properties of the inf-convolutions. The corresponding statements about the sup-convolutions are easily obtained observing that $g^{\phi}=-\left((-g){\phi}\right)$.
最优控制代考
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Superdifferential of a semiconcave function
半凹函数的超微分具有许多对一般 Lipschitz 连续函数无效的性质，可以看作是凹函数类似性质的扩展。我们从以下基本估计开始。在整个部分一种⊂Rn是开集。
命题 3.3.1 让在:一种→R是一个带模的半凹函数ω然后让X∈一种. 然后，一个向量p∈Rn属于D+在(X)当且仅当
在(是的)−在(X)−⟨p,是的−X⟩≤|是的−X|ω(|是的−X|)
Jor 任何 pont y EA 使得[是的,r⌋s。−
证明——如果p∈Rn满足 (3.18)，然后，根据超微分的定义，p∈D+在(X). 为了证明相反，让p∈D+在(X). 然后，划分半凹不等式(2.1)经过(1−λ)|X−是的|， 我们有
在(是的)−在(X)|是的−X|≤在(X+(1−λ)(是的−X))−在(X)(1−λ)|是的−X|+λω(|X−是的|),∀λ∈]0,1].
因此，取极限为λ→1−， 我们获得
在(是的)−在(X)|是的−X|≤⟨p,是的−X⟩|是的−X|+ω(|X−是的|),
自从p∈D+在(X). 估计（3.18）如下。
备注 3.3.2 特别是，如果在在凸集上是凹的一种. 我们发现p∈ D+在(X)当且仅当
在(是的)≥在(X)+⟨p,是的−X⟩,∀是的∈一种.
在凸分析中（见附录 A.1），这个性质通常被视为超微分的定义。因此，在凹（或凸）函数的情况下，Fréchet 超微分和次微分与凸分析的经典半微分一致。
在进一步研究超微分的性质之前，让我们展示命题 3.3.1 如何轻松地为半凹函数产生紧致性质。
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Marginal functions
一个函数在:一种→R如果可以写成以下形式，则称为边际函数
在(X)=信息s∈小号F(s,X),
在哪里小号是一些拓扑空间和函数F:小号×一种→R顺利地依赖于X. 这类函数经常出现在文献中，有时有不同的名称（例如，见下Cķ-[123] 中的函数）。
在适当的规律性假设下F，边际函数是半凹的。
例如，推论2.1.6立即暗示以下内容。
命题 3.4.1 让一种⊂Rn敞开心扉小号⊂R米紧凑。如果F=F(s,X)是连续的C(小号×一种)连同它的偏导数DXF，则(3.34)中定义的函数u属于小号Cl这C(一种). 如果DXX2F也存在并且连续小号×一种， 然后在∈小号C大号l这C(一种). 我们现在证明反之亦然。定理 3.4.2 让在:一种→R是一个半凹函数。然后在可以在本地写为类的函数的最小值C1. 更准确地说，对于任何ķ⊂一种紧，存在紧集小号⊂R2n和一个连续函数F:小号×ķ→ R这样F(s,⋅)是C1对于任何s∈小号, 梯度DXF(s,⋅)是等连续的，并且
在(X)=分钟s∈小号F(s,X),∀X∈ķ.
如果半凹模量为在是线性的，那么F可以这样选择F(s,−)是C2对于任何s, 一致有界C2规范。
证明——让ω是半凹模量在然后让ω1是一个函数，使得ω1(0)=0， 那ω1(r)≥ω(r)并且函数X→|X|ω1(|X|)属于C1(Rn). 这样的存在ω1已在引理 3.1.8 中证明。如果ω是线性的，我们简单地取ω1≡ω.
让我们设置S=\left{(y, p): y \in K, p \in D^{+} u(y)\right}S=\left{(y, p): y \in K, p \in D^{+} u(y)\right}. 由命题 3.3.4(a) 和局部 Lipschitz 连续性在,小号是紧集。然后我们定义
F(是的,p,X)=在(是的)+⟨p,X−是的⟩+|是的−X|ω1(|是的−X|)
然后F具有所需的规律性。此外F(是的,p,X)≥在(X)对全部(是的,p,X)∈小号×ķ根据提案 3.3.1。另一方面，如果X∈ķ， 然后D+在(X)是非空的，所以 thêré 至少存在一个 vectōp这样(X,p)∈小号. 自从F(X,p,X)=在(X)， 我们获得(3.35).
如果在是具有线性模量的半凹的，那么它通过与勒让德变换非常相似的过程承认另一种表示为正则函数的下确界。
统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Inf-convolutions
给定G:Rn→R和e>0, 函数
X→信息是的∈Rn(G(是的)+|X−是的|22e)X→支持是的∈Rn(G(是的)−|X−是的|22e)
被称为 inf 和 sup 卷积G分别是由于与通常的卷积的形式类比。它们已在各种情况下用作近似G; 一个例子是 HamiltonJacobi 方程粘度解的唯一性理论。在某些情况下，考虑更一般的表达式是有用的，其中上面的二次项被其他一些强制函数替换。在本节中，我们分析了此类一般卷积，表明它们的规律性与前几节中研究的半凹函数的性质密切相关。
定义 3.5.1 让G∈C(Rn)满足
|G(X)|≤ķ(1+|X|)
对于一些ķ>0然后让φ∈C(Rn)是这样的林|q|→+∞φ(q)|q|=+∞.inf-卷积G带内核φ是函数Gφ(X)=信息是的∈R一种[G(是的)+φ(X−是的)],
而上卷积G带内核φ定义为
Gφ(X)=支持是的∈Rn[G(是的)−φ(X−是的)].我们观察到函数在Hopf 的公式 (1.10) 给出的是关于X任何固定的变量吨. 此外，inf-convolutions 是上一节介绍的边缘函数的一个特例。我们在下面给出了 inf 卷积的一些规律性属性。观察到关于上卷积的相应陈述很容易获得Gφ=−((−G)φ).
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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