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统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Classical Deterministic Dynamical Systems
The following considerations, due to Koopman, constitute the basis of the algebraic approach to dynamical systems which reduces the study of such systems to the study of 1-parameter groups of unitary operators or of
*-automorphisms of appropriate commutative *-algebras or, at infinitesimal level, to the study of appropriate Schrödinger or Heisenberg equations.
To every ordinary differential equation in $\mathbb{R}^{d}$
$$
d x_{t}=b\left(x_{t}\right) d t ; \quad x(0)=x_{0} \in \mathbb{R}^{d}
$$
such that the initial value problem admits a unique solution for every initial data $x_{0}$ and for every $t \geq 0$ : one associates the 1-parameter family of maps
$$
T_{t}: \mathbb{R}^{d} \rightarrow \mathbb{R}^{d}
$$
characterized by the property that the image of $x_{0}$ under $T_{t}$ is the value of the solution at time $t$ :
$$
x_{t}\left(x_{0}\right)=: T_{t} x_{0} ; \quad T_{0}=i d
$$
Uniqueness then implies the semigroup property:
$$
T_{t} T_{s}=T_{t+s}
$$
If the above properties hold not only for every $t \geq 0$, but for every $t \in \mathbb{R}$, then the system is called reversible. In this case each $T_{t}$ is invertible and
$$
T_{t}^{-1}=T_{-t}
$$
Typical examples of these systems are the classical Hamiltonian systems. They have the additional property that the maps $T_{t}$ preserve the Lebesgue measure (Liouville’s theorem).
Abstracting the above notion to an arbitrary measure space leads to the notion of (deterministic) dynamical system:
Definition 3. Let $(S, \mu)$ be a measure space. A classical, reversible, deterministic dynamical system is a pair:
$$
\left{(S, \mu) ;\left(T_{t}\right) t \in \mathbb{R}\right}
$$
where $T_{t}: S \rightarrow S$ ( $\left.t \in \mathbb{R}\right)$ is a 1 -parameter group of invertible bi-measurable maps of $(S, \mu)$ admitting $\mu$ as a quasi-invariant measure:
$$
\mu \circ T_{t} \sim \mu
$$
The quasi-invariance of $(S, \mu)$ is equivalent to the existence of a $\mu$-almost everywhere invertible Radon-Nikodym derivative:
$$
\begin{gathered}
\frac{d\left(\mu \circ T_{t}\right)}{d \mu}=: p_{\mu, t} \in L^{1}(S, \mu) \
p_{\mu, t}>0 ; \mu-\text { a.e.; } \quad \int_{S} p_{\mu, t}(s) d \mu(s)=1
\end{gathered}
$$
统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Stochastic Extension of Koopman’s Approach
In the present section we will replace, in the above Koopman’s argument, the deterministic trajectory $\left(x_{t}\left(x_{0}\right)\right)$ by a stochastic process $\left(X_{t}\right)$ and show how the general algebraization procedure described in Section (8), when applied to the simple and important example of a classical diffusion flow $\left(X_{t}\right)$, naturally leads to a classical stochastic generalization of the Heisenberg equation.
Let $\left(X_{t}\right)$ denote the real valued solution of the classical stochastic differential equation
$$
d X_{t}=l d t+a d W_{t} ; X(0)=X_{0}
$$
driven by classical Brownian motion $\left(W_{t}\right)$ and with adapted coefficients $l, a$ which guarantee the existence and uniqueness of a strong solution for all initial data $X_{0}$ in $L^{2}(\mathbb{R})$ and for all times. The initial value $X_{0}$ is a random variable independent of $\left(W_{t}\right)$. By Itô’s formula equation (10.1) is equivalent to
$$
d f\left(X_{t}\right)=\left(l \partial_{x} f+\frac{1}{2} a^{2} \partial_{x}^{2} f\right) d t+a \partial_{x} f d W_{t}
$$
where $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ varies in a space of sufficiently smooth functions.
Since $X_{t}$ depends also on the initial condition $x \in \mathbb{R}, f\left(X_{t}\right)$ is realized as multiplication operator on
$$
L^{2}(\mathbb{R}) \otimes L^{2}(\Omega, \mathcal{F}, P)
$$
where $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ is the probability space of the increment process of the Brownian motion. In the following we shall simply write $f\left(\right.$ or $f\left(X_{t}\right)$ ) to mean the multiplication operator by $f\left(\right.$ or $\left.f\left(X_{t}\right)\right)$. When confusion can arise we shall write $M_{f}$ or $M_{f\left(X_{t}\right)}$. With these notations one has:
$$
\left[\partial_{x}, f\right]=\left[\partial_{x}, M_{f}\right]=\partial_{x} \cdot f-f \cdot \partial_{x}=\partial_{x} f=M_{\partial_{x} f}
$$
Therefore
$$
\left[\partial_{x},\left[\partial_{x}, f\right]\right]=\left[\partial_{x},\left[\partial_{x}, M_{f}\right]\right]=M_{\partial_{x}^{2} f}=\Delta f=M_{\Delta f}
$$
Introducing the momentum operator on $L^{2}(\mathbb{R})$ :
$$
p:=\frac{1}{i} \partial_{x}
$$
defined on those functions in $L^{2}(\mathbb{R})$ with a derivative also in $L^{2}(\mathbb{R})$, we can write
$$
\partial_{x} f=i[p, f] ; \quad \partial_{x}^{2} f=-[p,[p, f]]
$$
More generally, interpreting both $f$ and $l$ as multiplication operators and using the fact that $f$ commutes with $l$, one finds:
$$
\begin{aligned}
l f^{\prime}=& l \partial_{x} f=l i[p, f]=\frac{i}{2} l[p, f]+\frac{i}{2}[p, f] l=\frac{i}{2} l p f \
&-\frac{i}{2} l f p+\frac{i}{2} p f l-\frac{i}{2} f p l=i\left[\frac{1}{2} l p+\frac{1}{2} p l, f\right]=: i[p(l), f]
\end{aligned}
$$
and therefore:
$$
a^{2} \partial_{x}^{2} f=a \partial_{x} a \partial_{x} f-a\left(\partial_{x} a\right) \partial_{x} f=-\left[p(a),[p(a), f]-i\left[p\left(a \partial_{x} a\right), f\right]\right.
$$
统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Quantum Stochastic Schrödinger and Heisenberg Equations
The transition from classical to quantum stochastic Schrödinger and Heisenberg equations is now accomplished by using the quantum decomposition of the classical Brownian motion $d W_{t}=d B_{t}^{+}+d B_{t}$ and allowing for different coefficients of the quantum stochastic differentials $d B_{t}^{+}$and $d B_{t}$.
Differentiating the unitarity conditions for $U_{t}$ and using the HudsonParthasarathy Itô table, we deduce a relation between the coefficients of $d B_{t}^{+}$, $d B_{t}$ and $d t$. The final form of the equation is then:
$$
d U_{t}=\left(D d B_{t}^{+}-D^{+} d B_{t}-\left[\frac{1}{2} D^{+} D+i H\right] d t\right) U_{t}
$$
where $D$ and $H$ are arbitrary, say bounded, operators and $H=H^{}$. The same argument, applied to a more general equation, including also the number differential $d N_{t}$ leads to the most general Hudson-Parthasarathy stochastic Schrödinger equation: $$ d U_{t}=\left(S D d B_{t}^{+}-D^{} d B_{t}+(S-1) d N_{t}+\left(-\frac{1}{2} D^{+} D+i H\right) d t\right) U_{t}
$$
where $D$ and $H$ are as above and $S$ must be a unitary operator. Notice that, contrary to the diffusion case (11.1), here the Hamiltonian nature of the equation is lost even at the level of the martingale term: the non Hamiltonian nature of equation (11.2) is not due only to the presence of the dissipative term $D^{+} D / 2$ but also of the unitary operator $S$. The deep meaning of this apparently strange structure can only be understood in terms of quantum white noise calculus (see Section (13) below).
随机分析代考
统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Classical Deterministic Dynamical Systems
由于 Koopman，以下考虑构成了动力系统的代数方法的基础，该方法将此类系统的研究简化为研究 1 参数组的酉算子或
适当的交换*-代数的*-自同构，或者在无穷小的水平上，研究适当的薛定谔或海森堡方程。
对每一个常微分方程Rd
dX吨=b(X吨)d吨;X(0)=X0∈Rd
使得初始值问题允许每个初始数据的唯一解X0并且对于每个吨≥0: 一个关联 1 参数的地图族
吨吨:Rd→Rd
其特征是图像的属性X0在下面吨吨是时间解的值吨 :
X吨(X0)=:吨吨X0;吨0=一世d
唯一性则意味着半群性质：
吨吨吨s=吨吨+s
如果上述性质不仅适用于每个吨≥0, 但对于每个吨∈R，则该系统称为可逆系统。在这种情况下，每个吨吨是可逆的并且
吨吨−1=吨−吨
这些系统的典型例子是经典的哈密顿系统。它们具有映射的附加属性吨吨保留勒贝格测度（刘维尔定理）。
将上述概念抽象到任意测量空间会导致（确定性）动力系统的概念：
定义 3. 让(小号,μ)成为测度空间。一个经典的、可逆的、确定性的动力系统是一对：
\left{(S, \mu) ;\left(T_{t}\right) t \in \mathbb{R}\right}\left{(S, \mu) ;\left(T_{t}\right) t \in \mathbb{R}\right}
在哪里吨吨:小号→小号 ( 吨∈R)是一个 1 参数组的可逆双可测图(小号,μ)承认μ作为准不变测度：
μ∘吨吨∼μ
的准不变性(小号,μ)相当于存在一个μ- 几乎处处可逆的 Radon-Nikodym 导数：
d(μ∘吨吨)dμ=:pμ,吨∈大号1(小号,μ) pμ,吨>0;μ− ae; ∫小号pμ,吨(s)dμ(s)=1
统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Stochastic Extension of Koopman’s Approach
在本节中，我们将在上述 Koopman 的论证中替换确定性轨迹(X吨(X0))通过随机过程(X吨)并展示第 (8) 节中描述的一般代数化过程如何应用于经典扩散流的简单而重要的例子(X吨)，自然导致海森堡方程的经典随机推广。
让(X吨)表示经典随机微分方程的实值解
dX吨=ld吨+一种d在吨;X(0)=X0
由经典布朗运动驱动(在吨)并具有适应的系数l,一种保证所有初始数据的强解的存在性和唯一性X0在大号2(R)并且永远。初始值X0是一个独立于的随机变量(在吨). 由Itô的公式方程（10.1）等价于
dF(X吨)=(l∂XF+12一种2∂X2F)d吨+一种∂XFd在吨
在哪里F:R→R在足够平滑函数的空间中变化。
自从X吨也取决于初始条件X∈R,F(X吨)被实现为乘法运算符
大号2(R)⊗大号2(Ω,F,磷)
在哪里(Ω,F,磷)是布朗运动增量过程的概率空间。下面我们就简单写F(或者F(X吨)) 表示乘法运算符F(或者F(X吨)). 当可能出现混乱时，我们将写米F或者米F(X吨). 有了这些符号，一个有：
[∂X,F]=[∂X,米F]=∂X⋅F−F⋅∂X=∂XF=米∂XF
所以
[∂X,[∂X,F]]=[∂X,[∂X,米F]]=米∂X2F=ΔF=米ΔF
介绍动量算子大号2(R) :
p:=1一世∂X
在这些函数上定义大号2(R)与导数也在大号2(R)，我们可以写
∂XF=一世[p,F];∂X2F=−[p,[p,F]]
更一般地，解释两者F和l作为乘法运算符并使用以下事实F通勤l, 一发现：
lF′=l∂XF=l一世[p,F]=一世2l[p,F]+一世2[p,F]l=一世2lpF −一世2lFp+一世2pFl−一世2Fpl=一世[12lp+12pl,F]=:一世[p(l),F]
因此：
一种2∂X2F=一种∂X一种∂XF−一种(∂X一种)∂XF=−[p(一种),[p(一种),F]−一世[p(一种∂X一种),F]
统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Quantum Stochastic Schrödinger and Heisenberg Equations
现在通过使用经典布朗运动的量子分解来完成从经典到量子随机薛定谔和海森堡方程的转换d在吨=d乙吨++d乙吨并允许量子随机微分的不同系数d乙吨+和d乙吨.
区分单一性条件在吨并使用 HudsonParthasarathy Itô 表，我们推导出系数之间的关系d乙吨+, d乙吨和d吨. 那么方程的最终形式是：
d在吨=(Dd乙吨+−D+d乙吨−[12D+D+一世H]d吨)在吨
在哪里D和H是任意的，比如说有界的，算子和H=H. 同样的论点，适用于更一般的方程，也包括数微分dñ吨导致最一般的 Hudson-Parthasarathy 随机薛定谔方程：d在吨=(小号Dd乙吨+−Dd乙吨+(小号−1)dñ吨+(−12D+D+一世H)d吨)在吨
在哪里D和H如上和小号必须是幺正运算符。请注意，与扩散情况（11.1）相反，这里方程的哈密顿性质即使在鞅项的水平上也丢失了：方程（11.2）的非哈密顿性质不仅仅是由于耗散项的存在D+D/2也是酉算子的小号. 这种看似奇怪的结构的深层含义只能从量子白噪声演算的角度来理解（见下文第（13）节）。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。