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随机控制或随机最优控制是控制理论的一个子领域，它涉及到观察中或驱动系统演变的噪声中存在的不确定性。
随机控制或随机最优控制是控制理论的一个子领域，它涉及到观察中或驱动系统进化的噪声中存在的不确定性。系统设计者以贝叶斯概率驱动的方式假设，具有已知概率分布的随机噪声会影响状态变量的演变和观察。随机控制的目的是设计受控变量的时间路径，以最小的成本执行所需的控制任务，尽管存在这种噪声，但以某种方式定义。
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统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Uniform ergodic properties
We recall some important definitions used in [3, Section 2.3].
Definition 1. We fix some convex function $\psi \in C^{2}(\mathbb{R})$ with the property that $\psi(t)$ is constant for $t \leq-1$, and $\psi(t)=t$ for $t \geq 0$. The particular form of this function is not important. But to aid some calculations we fix this function as
$$
\psi(t):= \begin{cases}-\frac{1}{2}, & t \leq-1 \ (t+1)^{3}-\frac{1}{2}(t+1)^{4}-\frac{1}{2} & t \in[-1,0], \ t & t \geq 0 .\end{cases}
$$
Let $\mathcal{J}={1, \ldots, m}$. With $\delta$ and $p$ positive constants, we define
$$
\Psi(x):=\sum_{i \in \mathcal{J}} \frac{\psi\left(x_{i}\right)}{\mu_{i}}, \quad \text { and } \quad V_{p}(x):=\left(\delta \Psi(-x)+\Psi(x)+\frac{m}{\min {i \in \mathcal{J}} \mu{i}}\right)^{p} .
$$
Note that the term inside the parenthesis in the definition of $V_{p}$, or in other words $V_{1}$, is bounded away from 0 uniformly in $\delta \in(0,1]$. The function $V_{p}$ also depends on the parameter $\delta$ which is suppressed in the notation.
For $x \in \mathbb{R}^{m}$ we let $x^{\pm}:=\left(x_{1}^{\pm}, \ldots, x_{m}^{\pm}\right)$. The results which follows is a corollary of Lemma $2.1$ in [3], but we sketch the proof for completeness.
Lemma 1. Assume $\beta>0$, and let $\delta \in(0,1]$ satisfy
$$
\left(\max {i \in \mathcal{J}} \frac{\eta{i}}{\mu_{i}}-1\right)^{+} \delta \leq 1 .
$$
Then, the function $V_{p}$ in Definition 1 satisfies, for any $p>1$ and for all $u \in \Delta$,
$$
\begin{aligned}
&\left\langle b(x, u), \nabla V_{p}(x)\right\rangle \leq p\left(\delta \beta+\frac{m}{2}(1+\delta)-\delta|x|_{1}\right) V_{p-1}(x) \quad \forall x \in \mathcal{K}{-} \ &\left\langle b(x, u), \nabla V{\tilde{p}}(x)\right\rangle \leq-p\left(\frac{\beta}{m}-\delta \beta-\delta \frac{m}{2}+\delta\left|x^{-}\right|_{1}\right) V_{\tilde{p}-1}(x) \quad \forall x \in \mathcal{K}_{+}
\end{aligned}
$$
统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Ergodic properties of the limiting SDEs arising from queueing models with service interruptions
The limiting equations of multiclass $G / M / n+M$ queues with asymptotically negligible service interruptions under the $\sqrt{n}$-scaling in the Halfin-Whitt regime are Lévy-driven SDEs of the form
$$
\mathrm{d} X_{t}=b\left(X_{t}, U_{t}\right) \mathrm{d} t+\sigma \mathrm{d} W_{t}+\mathrm{d} L_{t}, \quad X_{0}=x \in \mathbb{R}^{m}
$$
Here, the drift $b$ is as in Section $2, \sigma$ is a nonsingular diagonal matrix, and $\left{L_{t}\right}_{t \geq 0}$ is a compound Poisson process, with a drift $\vartheta$, and a finite Lévy measure $\eta(\mathrm{d} y)$ which is supported on a half-line of the form ${t w: t \in[0, \infty)}$, with $\left\langle e, M^{-1} w\right\rangle>0$. This can be established as in Theorem 6 in Section 5, assuming that the control is of the form $U_{t}=v\left(X_{t}\right)$ for a map $v: \mathcal{K}{+} \rightarrow \Delta$, such that $b{v}(x)$ is locally Lipschitz, when the scaling is of order $\sqrt{n}$ (see also Section $4.2$ of [4]).
As we explain later, under any stationary Markov control, the SDE in (29) has a unique strong solution which is an open-set irreducible and aperiodic strong Feller process. Therefore, as far as the study of the process $\left{X_{t}\right}_{t \geq 0}$ is concerned, we do not need to impose a local Lipschitz continuity condition on the drift, but can allow the control to be any element of $\mathfrak{U}_{\mathrm{sm}}$.
There are two important parameters to consider. The first is the parameter $\theta_{c}$, which is defined by
$$
\theta_{c}:=\sup \left{\theta \in \Theta_{c}\right}, \quad \text { with } \quad \Theta_{c}:=\left{\theta>0: \int_{\mathcal{B}^{c}}|y|^{\theta} \eta(\mathrm{d} y)<\infty\right}
$$
The second is the effective spare capacity, defined as
$$
\widetilde{\beta}:=-\left\langle e, M^{-1} \tilde{\ell}\right\rangle
$$
where
$$
\tilde{\ell}:= \begin{cases}\ell+\vartheta+\int_{\mathcal{B} c} y \eta(\mathrm{d} y), & \text { if } \int_{\mathcal{B} c}|y| \eta(\mathrm{d} y)<\infty \ \ell+\vartheta, & \text { otherwise. }\end{cases}
$$
随机控制代写
统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Uniform ergodic properties
我们回顾了 [3, Section 2.3] 中使用的一些重要定义。
定义 1. 我们固定一些凸函数 $\psi \in C^{2}(\mathbb{R})$ 与财产 $\psi(t)$ 是恒定的 $t \leq-1$ ，和 $\psi(t)=t$ 为了 $t \geq 0$. 这个函数的具 体形式并不重要。但是为了帮助进行一些计算，我们将这个函数修复为
$$
\psi(t):=\left{-\frac{1}{2}, \quad t \leq-1(t+1)^{3}-\frac{1}{2}(t+1)^{4}-\frac{1}{2} \quad t \in[-1,0], t \quad t \geq 0 .\right.
$$
让 $\mathcal{J}=1, \ldots, m .$ 和 $\delta$ 和 $p$ 正常数，我们定义
$$
\Psi(x):=\sum_{i \in \mathcal{J}} \frac{\psi\left(x_{i}\right)}{\mu_{i}}, \quad \text { and } \quad V_{p}(x):=\left(\delta \Psi(-x)+\Psi(x)+\frac{m}{\min i \in \mathcal{J} \mu i}\right)^{p}
$$
请注意，定义中括号内的术语 $V_{p}$ ，或者换句话说 $V_{1}$ ，均匀地从 0 有界 $\delta \in(0,1]$. 功能 $V_{p}$ 也取决于参数 $\delta$ 这在符号 中被抑制。
为了 $x \in \mathbb{R}^{m}$ 我们让 $x^{\pm}:=\left(x_{1}^{\pm}, \ldots, x_{m}^{\pm}\right)$. 下面的结果是引理的推论 $2.1$ 在 [3] 中，但我们为完整性草绘了证 明。
引理 1. 假设 $\beta>0$ ， 然后让 $\delta \in(0,1]$ 满足
$$
\left(\max i \in \mathcal{J} \frac{\eta i}{\mu_{i}}-1\right)^{+} \delta \leq 1 .
$$
然后，函数 $V_{p}$ 在定义 1 中满足，对于任何 $p>1$ 并为所有人 $u \in \Delta$ ，
$$
\left\langle b(x, u), \nabla V_{p}(x)\right\rangle \leq p\left(\delta \beta+\frac{m}{2}(1+\delta)-\delta|x|{1}\right) V{p-1}(x) \quad \forall x \in \mathcal{K}-\quad\langle b(x, u), \nabla V \tilde{p}(x)\rangle \leq-p
$$
统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Ergodic properties of the limiting SDEs arising from queueing models with service interruptions
多类极限方程 $G / M / n+M$ 在 $\sqrt{n}$-Halfin-Whitt 制度中的标度是 Lévy 驱动的 SDE，形式为
$$
\mathrm{d} X_{t}=b\left(X_{t}, U_{t}\right) \mathrm{d} t+\sigma \mathrm{d} W_{t}+\mathrm{d} L_{t}, \quad X_{0}=x \in \mathbb{R}^{m}
$$
在这里，漂移 $b$ 就像在第 $2, \sigma$ 是一个非奇异对角矩阵，并且 $\backslash$ left {L_{t}}right}_{t \geq 0} 是一个复合泊松过程，有一 个漂移 $\vartheta$ ，和有限 Lévy 测度 $\eta(\mathrm{d} y)$ 它在表格的半线上得到支持 $t w: t \in[0, \infty)$ ，和 $\left\langle e, M^{-1} w\right\rangle>0$. 这可以在 第 5 节中的定理 6 中建立，假设控制的形式为 $U_{t}=v\left(X_{t}\right)$ 地图 $v: \mathcal{K}+\rightarrow \Delta$, 这样 $b v(x)$ 是局部 Lipschitz，当 缩放是有序的 $\sqrt{n}$ (另见部分 $4.2[4]$ )。
正如我们稍后解释的，在任何平稳的马尔可夫控制下，(29) 中的 SDE 有一个独特的强解，它是一个开集不可约且 非周期性的强 Feller 过程。因此，只要研究过程认left {X__{t}\right}_{t \geq 0$}$ 就漂移而言，我们不需要对漂移施加局 部 Lipschitz 连续性条件，但可以允许控制是 $\mathfrak{U}{\mathrm{sm}}$. 有两个重要的参数需要考虑。第一个是参数 $\theta{c}$ ，其定义为
第二个是有效备用容量，定义为
$$
\tilde{\beta}:=-\left\langle e, M^{-1} \tilde{\ell}\right\rangle
$$
在哪里
$$
\tilde{\ell}:=\left{\ell+\vartheta+\int_{\mathcal{B} c} y \eta(\mathrm{d} y), \quad \text { if } \int_{\mathcal{B} c}|y| \eta(\mathrm{d} y)<\infty \ell+\vartheta, \quad\right. \text { otherwise. }
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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