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Vasicek利率模型一词是指一种对利率的运动和演变进行建模的数学方法。它是一种基于市场风险的单因素短利率模型。瓦西克利率模型常用于经济学中，以确定利率在未来的移动方向。
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Let $W(t)$ and $\tilde{W}(t)$ be two Brownian motions under the probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. We say that $W(t)$ and $\tilde{W}(t)$ are correlated if
$$
\operatorname{Cov}[\Delta W(t), \Delta \bar{W}(t)]=\rho \Delta t, \quad \rho \neq 0
$$
Equivalently, we can write
$$
\begin{aligned}
&W(t)=W_{1}(t) \
&\tilde{W}(t)=\rho W_{1}(t)+\sqrt{1-\rho^{2}} W_{2}(t)
\end{aligned}
$$
where $W_{1}(t)$ and $W_{2}(t)$ are independent Brownian motions. We have the following additional operation rule for correlated Brownian motions:
$$
\mathrm{d} W(t) \mathrm{d} \tilde{W}(t)=\rho \mathrm{d} t .
$$
With the help of the above operation rule, we can derive the processes of the product and quotient of two Ito’s processes. The following results are very useful for financial modeling, and for this reason we call them the product rule and the quotient rule, respectively.
Product rule: Let $X(t)$ and $Y(t)$ be two Ito’s processes such that
$$
\begin{aligned}
&\mathrm{d} X(t)=\sigma_{X}(t) \mathrm{d} W(t)+u_{X}(t) \mathrm{d} t \
&\mathrm{~d} Y(t)=\sigma_{Y}(t) \mathrm{d} W(t)+u_{Y}(t) \mathrm{d} t
\end{aligned}
$$
where $\mathrm{d} W(t) \mathrm{d} \tilde{W}(t)=\rho \mathrm{d} t$. Then,
$$
\begin{aligned}
\mathrm{d}(X(t) Y(t)) &=X(t) \mathrm{d} Y(t)+Y(t) \mathrm{d} X(t)+\mathrm{d} X(t) \mathrm{d} Y(t) \
&=X(t) \mathrm{d} Y(t)+Y(t) \mathrm{d} X(t)+\sigma_{X}(t) \sigma_{Y}(t) \rho \mathrm{d} t
\end{aligned}
$$
Quotient rule: Let $X(t)$ and $Y(t)$ be two Ito’s processes. Then,
$$
\mathrm{d}\left(\frac{X(t)}{Y(t)}\right)=\frac{\mathrm{d} X(t)}{Y(t)}-\frac{X(t) \mathrm{d} Y(t)}{(Y(t))^{2}}-\frac{\mathrm{d} X(t) \mathrm{d} Y(t)}{(Y(t))^{2}}+\frac{X(t)(\mathrm{d} Y(t))^{2}}{(Y(t))^{3}}
$$
The proofs for both rules are left as exercises.
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|The Multi-Factor Lognormal Model
As an important area of application for the multi-factor Ito’s lemma, we now introduce the classic model of a financial market with multiple assets. This financial market consists of a money market account (also called a savings account), $B_{t}$, and $n$ risky assets, $\left{S_{t}^{i}\right}_{i=1}^{n}$. The price evolutions of these $n+1$ assets are governed by the following equations:
$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} B_{t} &=r_{t} B_{t} \mathrm{~d} t \
\mathrm{~d} S_{t}^{i} &=S_{t}^{i}\left(\mu_{t}^{i} \mathrm{~d} t+\sigma_{i}^{\mathrm{T}}(s) \mathrm{d} \mathbf{W}{t}\right), \quad i=1,2, \ldots, n . \end{aligned} $$ Here $r{t}$ is the risk-free interest rate, $\mu_{t}^{i}$ and $\sigma_{i}(s)$ the rate of return and volatility of the $i$ th asset, and
$$
\boldsymbol{\sigma}{i}(t)=\left(\begin{array}{c} \sigma{i 1}(t) \
\sigma_{i 2}(t) \
\vdots \
\sigma_{i n}(t)
\end{array}\right) \quad \text { and } \quad \mathbf{W}{t}=\left(\begin{array}{c} W{1}(t) \
W_{2}(t) \
\vdots \
W_{n}(t)
\end{array}\right)
$$
Driving the market are $n$ independent Brownian motions. We therefore call the above model an $n$-factor model. Note that the savings account is considered a riskless asset so that it is not driven by any Brownian motion.
By the multi-factor Ito’s lemma, we can derive the equations for the log of asset prices:
$$
\mathrm{d} \ln S_{t}^{i}=\left(\mu_{t}^{i}-\frac{1}{2}\left|\sigma_{i}(t)\right|^{2}\right) \mathrm{d} t+\sigma_{i}^{\mathrm{T}}(t) \mathrm{d} \mathbf{W}{t} $$ The above equation readily allows us to solve for the asset price: $$ S{t}^{i}=S_{0}^{i} \exp \left(\int_{0}^{t} \sigma_{i}^{\mathrm{T}}(s) \mathrm{d} \mathbf{W}{s}+\left(\mu{s}^{i}-\frac{1}{2}\left|\sigma_{i}(s)\right|^{2}\right) \mathrm{d} s\right)
$$
for $i=1,2, \ldots, n$. The value of the money market account, meanwhile, is simply
$$
B_{t}=\exp \left(\int_{0}^{t} r_{s} \mathrm{~d} s\right)
$$
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Martingales
We finish this chapter with the introduction of martingales, which is a key concept in derivatives modeling. The definition is given below.
Definition 1.5.1. A stochastic process, $M_{t}$, is called a $\mathbb{P}$-martingale if and only if it has the following properties:
- $E^{\mathbb{P}}\left[\mid M_{t} |<\infty, \quad \forall t\right.$.
- $E^{\mathbb{P}}\left[M_{t} \mid \mathcal{F}{s}\right]=M{s}, \quad \forall s \leq t$.
The martingale properties are associated with fair games in investments or speculations. Let us think of $M_{t}-M_{s}$ as the profit or loss $(\mathrm{P} \& \mathrm{~L})$ of a gamble between two parties over the time period $(s, t)$. Then the game is considered fair if the expected P\&L is zero. Daily life examples of fair games include the coin tossing game and futures investments in financial markets. In mathematics, there are plenty of examples as well. In fact, we have already seen several of them so far, of which we remind readers below.
Example 1.4 - The simple random walk, $X_{n}$, is a martingale because $E\left[\left|X_{n}\right|\right]<n \sqrt{\Delta t}$ and $E\left[X_{n} \mid \mathcal{F}{m}\right]=X{m}, m \leq n$.
- A P-Brownian motion, $W_{t}$, is a martingale by definition.
- The stochastic integral $X_{t}=\int_{0}^{t} f(u) \mathrm{d} W_{u}$ is a martingale, since
$$
\begin{aligned}
E^{\mathrm{P}}\left[X_{t} \mid \mathcal{F}{s}\right] &=E^{\mathrm{P}}\left[\int{0}^{s}+\int_{s}^{t} f(u) \mathrm{d} W_{u} \mid \mathcal{F}{s}\right] \ &=\int{0}^{s} f(u) \mathrm{d} W_{u}=X_{s}, \quad \forall s \leq t
\end{aligned}
$$
Here, we have applied the first property of stochastic integrals (see page 11). - The process $M_{t}=\exp \left(\int_{0}^{t} \sigma_{s} \mathrm{~d} W_{s}-\frac{1}{2} \sigma_{s}^{2} \mathrm{~d} s\right)$ is an exponential martingale. In fact, using the Ito’s lemma, we can show that
$$
\mathrm{d} M_{t}=\sigma_{t} M_{t} \mathrm{~d} W_{t}
$$
which is an Ito’s process without drift. It follows that
$$
M_{t}=M_{s}+\int_{s}^{t} M_{u} \sigma_{u} \mathrm{~d} W_{u} .
$$
Based on the conclusion of the last example, we know that $M_{t}$ is a martingale.
We emphasize here that an Ito’s process is a martingale process if and only if its drift term is zero. Finally, we present two additional examples.
- $M_{t}=W_{t}^{2}-t$ is a martingale. Here is the verification: for $s \leq t$,
$$
\begin{aligned}
E^{\mathbb{P}}\left[W_{t}^{2}-t \mid \mathcal{F}{s}\right]=& E^{\mathbb{P}}\left[\left(W{t}-W_{s}+W_{s}\right)^{2}-t \mid \mathcal{F}{s}\right] \ =& E^{P}\left[\left(W{t}-W_{s}\right)^{2}+2 W_{s}\left(W_{t}-W_{s}\right)\right.\
&\left.+W_{s}^{2}-t \mid \mathcal{F}{s}\right] \ =&(t-s)+0+W{s}^{2}-t=W_{s}^{2}-s
\end{aligned}
$$
利率建模代考
让在(吨)和在~(吨)是概率空间下的两个布朗运动(Ω,F,磷). 我们说在(吨)和在~(吨)是相关的，如果
这[Δ在(吨),Δ在¯(吨)]=ρΔ吨,ρ≠0
等效地，我们可以写
在(吨)=在1(吨) 在~(吨)=ρ在1(吨)+1−ρ2在2(吨)
在哪里在1(吨)和在2(吨)是独立的布朗运动。对于相关布朗运动，我们有以下附加运算规则：
d在(吨)d在~(吨)=ρd吨.
借助上述运算规则，我们可以推导出两个伊藤过程的乘积和商。以下结果对财务建模非常有用，因此我们分别称它们为乘积规则和商规则。
产品规则：让X(吨)和是(吨)是两个伊藤过程使得
dX(吨)=σX(吨)d在(吨)+在X(吨)d吨 d是(吨)=σ是(吨)d在(吨)+在是(吨)d吨
在哪里d在(吨)d在~(吨)=ρd吨. 然后，
d(X(吨)是(吨))=X(吨)d是(吨)+是(吨)dX(吨)+dX(吨)d是(吨) =X(吨)d是(吨)+是(吨)dX(吨)+σX(吨)σ是(吨)ρd吨
商规则：让X(吨)和是(吨)是两个伊藤的过程。然后，
d(X(吨)是(吨))=dX(吨)是(吨)−X(吨)d是(吨)(是(吨))2−dX(吨)d是(吨)(是(吨))2+X(吨)(d是(吨))2(是(吨))3
两条规则的证明留作练习。
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|The Multi-Factor Lognormal Model
作为多因素伊藤引理的一个重要应用领域，我们现在介绍多资产金融市场的经典模型。该金融市场由货币市场账户（也称为储蓄账户）组成，乙吨， 和n风险资产，\left{S_{t}^{i}\right}_{i=1}^{n}\left{S_{t}^{i}\right}_{i=1}^{n}. 这些产品的价格演变n+1资产由以下等式控制：
d乙吨=r吨乙吨 d吨 d小号吨一世=小号吨一世(μ吨一世 d吨+σ一世吨(s)d在吨),一世=1,2,…,n.这里r吨是无风险利率，μ吨一世和σ一世(s)收益率和波动率一世资产，以及
σ一世(吨)=(σ一世1(吨) σ一世2(吨) ⋮ σ一世n(吨)) 和 在吨=(在1(吨) 在2(吨) ⋮ 在n(吨))
推动市场的是n独立布朗运动。因此，我们称上述模型为n因子模型。请注意，储蓄账户被视为无风险资产，因此它不受任何布朗运动的驱动。
通过多因素伊藤引理，我们可以推导出资产价格对数的方程：
dln小号吨一世=(μ吨一世−12|σ一世(吨)|2)d吨+σ一世吨(吨)d在吨上面的等式很容易让我们求解资产价格：
小号吨一世=小号0一世经验(∫0吨σ一世吨(s)d在s+(μs一世−12|σ一世(s)|2)ds)
为了一世=1,2,…,n. 与此同时，货币市场账户的价值很简单
乙吨=经验(∫0吨rs ds)
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Martingales
本章最后介绍了鞅，这是导数建模中的一个关键概念。定义如下。
定义 1.5.1。一个随机过程，米吨, 称为磷-martingale 当且仅当它具有以下属性：
- 和磷[∣米吨|<∞,∀吨.
- 和磷[米吨∣Fs]=米s,∀s≤吨.
鞅属性与投资或投机中的公平游戏有关。让我们想想米吨−米s作为损益(磷& 大号)在一段时间内两方之间的博弈(s,吨). 如果预期盈亏为零，则认为该游戏是公平的。日常生活中公平游戏的例子包括抛硬币游戏和金融市场的期货投资。在数学中，也有很多例子。事实上，到目前为止，我们已经看到了其中的几个，我们在下面提醒读者。
示例 1.4 - 简单的随机游走，Xn, 是鞅，因为和[|Xn|]<nΔ吨和和[Xn∣F米]=X米,米≤n.
- P-布朗运动，在吨, 根据定义是鞅。
- 随机积分X吨=∫0吨F(在)d在在是鞅，因为
和磷[X吨∣Fs]=和磷[∫0s+∫s吨F(在)d在在∣Fs] =∫0sF(在)d在在=Xs,∀s≤吨
在这里，我们应用了随机积分的第一个性质（参见第 11 页）。 - 过程米吨=经验(∫0吨σs d在s−12σs2 ds)是指数鞅。事实上，使用伊藤引理，我们可以证明
d米吨=σ吨米吨 d在吨
这是一个没有漂移的伊藤工艺。它遵循
米吨=米s+∫s吨米在σ在 d在在.
根据上一个例子的结论，我们知道米吨是鞅。
我们在此强调，Ito 过程是鞅过程当且仅当其漂移项为零。最后，我们提出两个额外的例子。
- 米吨=在吨2−吨是鞅。这是验证：对于s≤吨,
和磷[在吨2−吨∣Fs]=和磷[(在吨−在s+在s)2−吨∣Fs] =和磷[(在吨−在s)2+2在s(在吨−在s) +在s2−吨∣Fs] =(吨−s)+0+在s2−吨=在s2−s
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。