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利率模型是指一种对利率的运动和演变进行建模的数学方法。它是一种基于市场风险的单因素短利率模型。瓦西克利率模型常用于经济学中，以确定利率在未来的移动方向。
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- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
- Foundations of Data Science 数据科学基础
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Simple Random Walks
Simple random walks are discrete time series, $\left{X_{i}\right}$, defined as
$$
\begin{aligned}
X_{0} &=0, \
X_{n+1} &= \begin{cases}X_{n}-\sqrt{\Delta t}, & p=\frac{1}{2} \
X_{n}+\sqrt{\Delta t}, & 1-p=\frac{1}{2}\end{cases}
\end{aligned}
$$
where $\Delta t>0$ stands for the interval of time for stepping forward. One can verify that $\left{X_{i}\right}$ have the following properties:
- The increment of $X_{n+1}-X_{n}$ is independent of $\left{X_{i}\right}, \forall i \leq n$.
- $E\left[X_{n} \mid X_{m}\right]=X_{m}, m \leq n$.
- $\operatorname{Var}\left[X_{n} \mid X_{m}\right]=(n-m) \Delta t, m \leq n$.
An interesting feature of the simple random walk is the linearity of $X_{i}$ ‘s variance in time: given $X_{0}$, the variance of $X_{i}$ is equal to $i \Delta t$, the time it takes the time series to evolve from $X_{0}$ to $X_{i}$.
Out of the simple Brownian random walk, we can construct a continuous-time process through linear interpolation:
$$
\bar{X}(t)=X_{i}+\frac{t-i \Delta t}{\Delta t}\left(X_{i+1}-X_{i}\right), \quad t \in[i \Delta t,(i+1) \Delta t]
$$
We are interested in the limiting process of $\bar{X}(t)$ as $\Delta t \rightarrow 0$, in the hope that the limit remains a meaningful stochastic process. The next theorem confirms just that.
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Brownian Motion
A continuous stochastic process is a collection of real-valued random variables, ${X(t, \omega), 0 \leq t \leq T}$ or $\left{X_{t}(\omega), 0 \leq t \leq T\right}$, that are defined on a probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. Here $\Omega$ is the collection of all $\omega$ s, which are so-called sample points, $\mathcal{F}$ the smallest $\sigma$-algebra that contains $\Omega$, and $\mathbb{P}$ a probability measure on $\Omega$. Each random outcome, $\omega \in \Omega$, corresponds to an entire time series
$$
t \rightarrow X_{t}(\omega), \quad t \in T
$$
which is called a path of $X_{t}$. In view of Equation 1.7, we can regard $X_{t}(\omega)$ as a function of two variables, $\omega$ and $t$. For notational simplicity, however, we often suppress the $\omega$ variable when its explicit appearance is not necessary.
In the context of financial modeling, we are particularly interested in the Brownian motion introduced earlier. Its formal definition is given below.
Definition 1.1 A Brownian motion or a Wiener process is a realvalued stochastic process, $W_{t}$ or $W(t), 0 \leq t \leq \infty$, that has the following properties:
- $W(0)=0$.
- $W(t+s)-W(t)$ is independent of ${W(u), 0 \leq u \leq t}$.
- For $t \geq 0$ and $s>0$, the increment $W(t+s)-W(t) \sim N(0, s)$.
- $W(t)$ is continuous almost surely (a.s.).
Here $N(0, s)$ stands for a normal distribution with mean zero and variance s. Note that in some literature, property 4 is not part of the definition, as it can be proved to be implied by the first three properties (Varadhan, $1980 \mathrm{a}$ or Ikeda and Watanabe, 1989). A sample path of $W(t)$ is shown in Figure $1.1$, which is generated with a step size of $\Delta t=2^{-10}$.
Brownian motion plays a major role in continuous time stochastic modeling in physics, engineering and finance. In finance, it has been used to model the random behavior of asset returns. Several major properties of Brownian motion are listed below.
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|STOCHASTIC INTEGRALS
Stochastic calculus considers the integration and differentiation of general $\mathcal{F}{t}$-adaptive functions. The purpose of developing such a stochastic calculus is to model financial time series (with random dynamics) with either integral or differential equations. According to Lemma 1.1, a Brownian motion, $W(t)$, is nowhere differentiable in the usual sense of differentiation for deterministic functions. To define differentials of stochastic processes in a proper sense, we must first study the notion of stochastic integrals. Stochastic integrals can be defined for functions in the square-integrable space, $H^{2}[0, T]=L^{2}(\Omega \times[0, T], \mathrm{d} \mathbb{P} \times \mathrm{d} t)$, which is defined to be the collection of functions satisfying $$ E\left[\int{0}^{T}|f(t, \omega)|^{2} \mathrm{~d} t\right]<\infty
$$
Note that, without indicated otherwise, $E[\cdot]$ means $E^{\mathbb{P}}[\cdot]$, the unconditional expectation under $\mathbb{P}$. The definition consists of a three-step procedure. First, we make the definition for elementary or piecewise constant functions in an intuitive way. Second, we define the integrals of a bounded continuous function as a limit of integrals of elementary functions. Finally, we define the integral of a general square-integrable function as a limit of integrals of bounded continuous functions. The key in this three-step procedure is of course to ensure the convergence of the limits in $L^{2}(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$, the Hilbert space of random variables satisfying
$$
E\left[X^{2}(\omega)\right]<\infty
$$
This definition approach is taken by Oksendal (1992). Alternative treatments of course also exist; see, for example, Mikosch (1998).
利率建模代考
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Simple Random Walks
简单的随机游走是离散的时间序列， left{X_{i}}right }， 定义为
$$
X_{0}=0, X_{n+1} \quad=\left{X_{n}-\sqrt{\Delta t}, \quad p=\frac{1}{2} X_{n}+\sqrt{\Delta t}, \quad 1-p=\frac{1}{2}\right.
$$
在哪里 $\Delta t>0$ 代表前进的时间间隔。可以验证 lleft{X_{i}}right} $}$ 具有以下属性:
- 的增量 $X_{n+1}-X_{n}$ 独立于⿴left $\left{X_{-}{i} \backslash\right.$ Iight}, Iforall i leq n.
- $E\left[X_{n} \mid X_{m}\right]=X_{m}, m \leq n$.
- $\operatorname{Var}\left[X_{n} \mid X_{m}\right]=(n-m) \Delta t, m \leq n$.
简单随机游走的一个有趣特征是 $X_{i}$ 的时间变化: 给定 $X_{0}$, 的方差 $X_{i}$ 等于 $i \Delta t$, 时间序列从 $X_{0}$ 至 $X_{i}$.
从简单的布朗随机游走中，我们可以通过线性揷值构造一个连续时间的过程:
$$
\bar{X}(t)=X_{i}+\frac{t-i \Delta t}{\Delta t}\left(X_{i+1}-X_{i}\right), \quad t \in[i \Delta t,(i+1) \Delta t]
$$
我们对限制过程感兴趣 $\bar{X}(t)$ 作为 $\Delta t \rightarrow 0$ ，希望极限仍然是一个有意义的随机过程。下一个定理证实了这一点。
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Brownian Motion
连续随机过程是实值随机变量的集合， $X(t, \omega), 0 \leq t \leq T$ 或者 Ueft $\left{X_{-} \mathrm{~ { t } (}\right.$ 间上定义 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. 这里 $\Omega$ 是所有的集合 $\omega \mathrm{s}$ ，即所谓的样本点， $\mathcal{F}$ 最小的 $\sigma$-代数包含 $\Omega$ ，和 $\mathbb{P}$ 概率测度 $\Omega$. 每个随 机结果， $\omega \in \Omega$ ，对应于整个时间序列
$$
t \rightarrow X_{t}(\omega), \quad t \in T
$$
这被称为路径 $X_{t}$. 鉴于公式 1.7，我们可以认为 $X_{t}(\omega)$ 作为两个变量的函数， $\omega$ 和 $t$. 然而，为了符号的简单性，我 们经常抑制 $\omega$ 不需要显式外观时的变量。
在金融建模的背景下，我们对前面介绍的布朗运动特别感兴趣。其正式定义如下。
定义 $1.1$ 布朗运动或维纳过程是实值随机过程， $W_{t}$ 或者 $W(t), 0 \leq t \leq \infty$ ，具有以下性质:
- $W(0)=0$.
- $W(t+s)-W(t)$ 独立于 $W(u), 0 \leq u \leq t$.
- 为了 $t \geq 0$ 和 $s>0$, 增量 $W(t+s)-W(t) \sim N(0, s)$.
- $W(t)$ 几平肯定是连续的 (as)。
这里 $N(0, s)$ 代表均值为零且方差为 $\mathrm{s}$ 的正态分布。请注意，在某些文献中，属性 4 不是定义的一部分，因 为可以证明前三个属性暗示了它 (Varadhan，1980a或池田和渡边，1989) 。一个示例路径 $W(t)$ 如图1.1 ，它的生成步长为 $\Delta t=2^{-10}$.
布朗运动在物理学、工程和金融领域的连续时间随机建模中发挥着重要作用。在金融领域，它已被用于模拟资产回 报的随机行为。下面列出了布朗运动的几个主要性质。
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|STOCHASTIC INTEGRALS
随机微积分考虑一般的积分和微分 $\mathcal{F} t$ – 自适应功能。开发这种随机微积分的目的是用积分或微分方程对金融时间序 列 (具有随机动力学) 进行建模。根据引理 1.1，布朗运动， $W(t)$ ，在确定性函数的通常微分意义上是不可微的。 为了正确定义随机过程的微分，我们必须首先研究随机积分的概念。可以为平方可积空间中的函数定义随机积分， $H^{2}[0, T]=L^{2}(\Omega \times[0, T], \mathrm{d} \mathbb{P} \times \mathrm{d} t)$ ，它被定义为满足的函数的集合
$$
E\left[\int 0^{T}|f(t, \omega)|^{2} \mathrm{~d} t\right]<\infty
$$
请注意，在没有另外说明的情况下， $E[\cdot]$ 方法 $E^{\mathbb{P}}[\cdot]$, 下的无条件期望 $\mathbb{P}$. 该定义包括一个三步程序。首先，我们以 直观的方式定义基本或分段常数函数。其次，我们将有界连续函数的积分定义为初等函数积分的极限。最后，我们 将一般平方可积函数的积分定义为有界连续函数积分的极限。这个三步程序的关键当然是确保在 $L^{2}(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ ，随 机变量的希尔伯特空间满足
$$
E\left[X^{2}(\omega)\right]<\infty
$$
Oksendal (1992) 采用了这种定义方法。当然也存在替代疗法；例如，参见 Mikosch (1998)。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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