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利率模型是指一种对利率的运动和演变进行建模的数学方法。它是一种基于市场风险的单因素短利率模型。瓦西克利率模型常用于经济学中，以确定利率在未来的移动方向。
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- Statistical Machine Learning 统计机器学习
- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
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金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|One-factor model
The covariance VaR model assumes that the portfolio value is linear to the risk factor and normally distributed. Then, the key parameters are the mean and variance of the $\mathrm{P} \& \mathrm{~L}$ distribution, which are measured from historical data.
Let us consider a portfolio with a single risk factor $x$, the value of which is denoted by $p(x)$. From the linearity assumption, we can model $p(x)$ as $p(x)=a+b x$ for some positive constants $a$ and $b$. Let $\mu$ and $\sigma^{2}$ be, respectively, the mean and variance of $x$. For convenience, we assume that $p(\mu)$ is equal to the current value of the portfolio. It is known from the normality of the distribution that the $95 \%$ confidence level of $x$ is $\mu-1.645 \sigma$, and the $99 \%$ confidence level is $\mu-2.326 \sigma$. From this, we can see that the $95 \% \mathrm{VaR}$ is given by
$$
\begin{aligned}
95 \% V a R &={a+\mu b}-{a+b(\mu-1.645 \sigma)} \
&=1.645 \sigma b .
\end{aligned}
$$
Fig. $1.7$ may help in understanding this scheme. Similarly, we have
$$
99 \% V a R=2.326 \sigma b .
$$
When $p(x)$ is not linear but almost linear, that is, when $p(x) \approx a+b x$, we can approximate the VaR from (1.42) and (1.43).
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Historical Simulation Models
In historical simulation models, the empirical distribution of the P\&L is directly constructed from historical data.
For simplicity, we consider a portfolio consisting of two assets, $A$ and $B$. For a holding period $\Delta T$, let $t_{1}, \cdots, t_{J+1}$ be a sequence of past days with $t_{i}-t_{i+1}=\Delta T$ and $t_{1}=0$. We let $p_{A}(i)$ and $p_{B}(i)$ denote the prices of $A$ and $B$, respectively, at $t_{i}$. Let $r_{A}(i)$ and $r_{B}(i)$ be the rates of return for $A$ and $B$, respectively. These are defined by
$$
\begin{aligned}
&r_{A}(i)=\frac{p_{A}(i)-p_{A}(i+1)}{p_{A}(i+1)} \
&r_{B}(i)=\frac{p_{B}(i)-p_{B}(i+1)}{p_{B}(i+1)}
\end{aligned}
$$
for $i=1, \cdots, J$.
For the present values $p_{A}(0)$ and $p_{B}(0)$, the $\mathrm{P} \& \mathrm{~L}$ distribution of the portfolio is built from the set
$$
\left{p_{A}(0) r_{A}(i)+p_{B}(0) r_{B}(i)\right}_{i=1, \cdots, J}
$$
as shown in Fig. 1.6. From this distribution, we obtain the VaR, with the process working according to the idea shown in Fig. 1.6. Even for a very large portfolio, we can measure the VaR in the same way.
It is a point in favor of this model that it does not require assumptions about neither the distribution of prices nor the linearity of assets. However, it is difficult to collect the sufficient historical data for this method. Even when there are sufficiently many data points from a long period of observation, some data might be too old to reasonably reflect future risk, which is needed for measuring VaR.
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Monte Carlo Simulation Models
A Monte Carlo method is a simulation technique that uses randomly generated numbers for simulation. Here, distribution functions of risk factors are created by using a sequence of random numbers.
Let $T$ be a holding period. For simplicity, we assume a single risk factor and let $p(x)$ and $x$ denote, respectively, the value of the portfolio and the value of the risk factor at $T$. We assume that $x$ is normally distributed with mean $\mu$ and variance $\sigma^{2}$, and that the current value of the portfolio is equal to $p(\mu)$.
Let $z_{i}, i=1, \cdots, J$ be a sequence of numbers generated randomly according to a standard normal distribution, where $J$ is the number of simulation runs. Then, we can assign $x_{i}=\mu+\sigma z_{i}$. By regarding generated sequences $x_{i}, i=$ $1, \cdots, J$ as scenarios for the risk factor $x$, we can obtain a distribution $p\left(x_{i}\right)$, where the probability of each scenario is $1 / J$. Next we rearrange $\left{p\left(x_{i}\right)\right}_{i=1, \cdots, J}$ to $\left{q_{k}\right}_{k=1, \cdots, J}$ such that
$$
\left{p\left(x_{i}\right) ; i=1, \cdots, J\right}=\left{q_{k} ; k=1, \cdots, J\right}
$$
with $q_{k} \leq q_{k+1}$ for all $k$.
To obtain a confidence level $1-\alpha$, we set $k_{\alpha}=\alpha J$. Then, $(1-\alpha) 100 \%$ VaR is given by
$$
V a R_{\alpha}=\frac{-1}{2}\left(q_{k_{\alpha}}+q_{k_{\alpha}+1}\right) .
$$
It is advantageous that Monte Carlo simulation models are applicable to nonlinear assets and path-dependent assets. This makes it possible to consider a great many scenarios. Moreover, we can employ this technique to the arbitrage-free model, which we will introduce in Chapter 3 . The disadvantages of Monte Carlo simulation are high computational time and increased model risk.
For a more advanced treatment of Monte Carlo simulation in financial engineering, interested readers are recommended to consult Glasserman (2004).
利率建模代考
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|One-factor model
协方差 VaR 模型假设投资组合价值与风险因子成线性关系且呈正态分布。然后，关键参数是均值和方差磷& 大号分布，这是从历史数据中测得的。
让我们考虑一个具有单一风险因素的投资组合X，其值表示为p(X). 根据线性假设，我们可以建模p(X)作为p(X)=一个+bX对于一些正常数一个和b. 让μ和σ2分别是的均值和方差X. 为方便起见，我们假设p(μ)等于投资组合的当前价值。由分布的正态性可知，95%置信水平X是μ−1.645σ, 和99%置信水平是μ−2.326σ. 由此我们可以看出，95%在一个R是（谁）给的
95%在一个R=一个+μb−一个+b(μ−1.645σ) =1.645σb.
如图。1.7可能有助于理解这个方案。同样，我们有
99%在一个R=2.326σb.
什么时候p(X)不是线性的而是几乎是线性的，也就是说，当p(X)≈一个+bX，我们可以从（1.42）和（1.43）近似VaR。
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Historical Simulation Models
在历史模拟模型中，损益的经验分布是直接从历史数据构建的。
为简单起见，我们考虑由两种资产组成的投资组合，一个和乙. 持有期Δ吨， 让吨1,⋯,吨Ĵ+1是过去几天的序列吨一世−吨一世+1=Δ吨和吨1=0. 我们让p一个(一世)和p乙(一世)表示价格一个和乙，分别在吨一世. 让r一个(一世)和r乙(一世)是回报率一个和乙， 分别。这些定义为
r一个(一世)=p一个(一世)−p一个(一世+1)p一个(一世+1) r乙(一世)=p乙(一世)−p乙(一世+1)p乙(一世+1)
为了一世=1,⋯,Ĵ.
对于现值p一个(0)和p乙(0)， 这磷& 大号投资组合的分布是从集合中构建的
\left{p_{A}(0) r_{A}(i)+p_{B}(0) r_{B}(i)\right}_{i=1, \cdots, J}\left{p_{A}(0) r_{A}(i)+p_{B}(0) r_{B}(i)\right}_{i=1, \cdots, J}
如图 1.6 所示。从这个分布中，我们得到 VaR，过程按照图 1.6 所示的思路工作。即使对于非常大的投资组合，我们也可以用同样的方式衡量 VaR。
支持该模型的一点是，它不需要对价格分布和资产线性度进行假设。但是，这种方法很难收集到足够的历史数据。即使有足够多的长期观察数据点，一些数据可能太旧而无法合理反映未来风险，这是衡量 VaR 所必需的。
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Monte Carlo Simulation Models
蒙特卡罗方法是一种使用随机生成的数字进行模拟的模拟技术。在这里，风险因素的分布函数是通过使用一系列随机数创建的。
让吨是一个持有期。为简单起见，我们假设一个风险因素并让p(X)和X分别表示投资组合的价值和风险因子的价值吨. 我们假设X正态分布，均值μ和方差σ2，并且投资组合的当前价值等于p(μ).
让和一世,一世=1,⋯,Ĵ是根据标准正态分布随机生成的数字序列，其中Ĵ是模拟运行的次数。然后，我们可以赋值X一世=μ+σ和一世. 通过考虑生成的序列X一世,一世= 1,⋯,Ĵ作为风险因素的情景X，我们可以得到一个分布p(X一世)，其中每个场景的概率是1/Ĵ. 接下来我们重新排列\left{p\left(x_{i}\right)\right}_{i=1, \cdots, J}\left{p\left(x_{i}\right)\right}_{i=1, \cdots, J}至\left{q_{k}\right}_{k=1, \cdots, J}\left{q_{k}\right}_{k=1, \cdots, J}这样
\left{p\left(x_{i}\right) ; i=1, \cdots, J\right}=\left{q_{k} ; k=1, \cdots, J\right}\left{p\left(x_{i}\right) ; i=1, \cdots, J\right}=\left{q_{k} ; k=1, \cdots, J\right}
和qķ≤qķ+1对所有人ķ.
获得置信水平1−一个， 我们设置ķ一个=一个Ĵ. 然后，(1−一个)100%VaR 由下式给出
在一个R一个=−12(qķ一个+qķ一个+1).
蒙特卡罗模拟模型适用于非线性资产和路径相关资产是有利的。这使得可以考虑很多场景。此外，我们可以将这种技术应用于无套利模型，我们将在第 3 章中介绍。蒙特卡罗模拟的缺点是计算时间长和模型风险增加。
有关金融工程中蒙特卡罗模拟的更高级处理，建议感兴趣的读者参考 Glasserman (2004)。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。