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Vasicek利率模型一词是指一种对利率的运动和演变进行建模的数学方法。它是一种基于市场风险的单因素短利率模型。瓦西克利率模型常用于经济学中，以确定利率在未来的移动方向。
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- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
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金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|The Martingale Representation Theorem
The martingale representation theorem plays a critical role in the so-called martingale approach to derivatives pricing. This theorem has two important
consequences. First, it leads to a general principle for derivatives pricing. Second, it implies a replication or hedging strategy of a derivative using its underlying security. We first present a simple version of the theorem based on a single Brownian filtration, $\mathcal{F}{t}=\sigma\left(W{s}, 0 \leq s \leq t\right)$. We begin with a martingale process, $M_{t}$, such that
$$
\mathrm{d} M_{t}=\sigma_{t} \mathrm{~d} W_{t},
$$
and we call $\sigma_{t}$ the volatility of $M_{t}$.
Theorem 2.3.1 (The Martingale Representation Theorem). Suppose that $N_{t}$ is a $\mathbb{Q}$-martingale process that is adaptive to $\mathcal{F}{t}$ and satisfies $E^{\mathbb{Q}}\left[N{T}^{2}\right]<$ $\infty$ for some T. If the volatility of $M_{t}$ is non-zero almost surely, then there exists a unique $\mathcal{F}{t}-$ adaptive process, $\varphi{t}$, such that $E^{Q}\left[\int_{0}^{T} \varphi_{t}^{2} \sigma_{t}^{2} d t\right]<\infty$ almost surely, and
$$
N_{t}=N_{0}+\int_{0}^{t} \varphi_{s} d M_{s}, \quad t \leq T
$$
or, in differential form,
$$
d N_{t}=\varphi_{t} d M_{t}
$$
The proof combining the techniques of Steele $(2000)$ and $Ø k s e n d a l ~(2003)$ is provided in the appendix of this chapter. A different proof can be found in Korn and Korn (2000).
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|A Complete Market with Two Securities
We consider the first “complete market” in continuous time, which consists of a money market account and a risky security. The price processes for the two securities, $B_{t}$ and $S_{t}$, are assumed to be
$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} B_{t} &=r_{t} B_{t} \mathrm{~d} t, & & B_{0}=1 \
\mathrm{~d} S_{t} &=S_{t}\left(\mu_{t} \mathrm{~d} t+\sigma_{t} \mathrm{~d} W_{t}\right), & S_{0} &=S_{0}
\end{aligned}
$$
Here, the volatility of the risky asset is $\sigma_{t} \neq 0$ almost surely, and the short rate, $r_{t}$, can be stochastic. Denote the discounted price of the risky asset as $Z_{t}=B_{t}^{-1} S_{t}$, which can be shown to follow the process
$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} Z_{t} &=Z_{t}\left(\left(\mu_{t}-r_{t}\right) \mathrm{d} t+\sigma_{t} \mathrm{~d} W_{t}\right) \
&=Z_{t} \sigma_{t} \mathrm{~d}\left(W_{t}+\int_{0}^{t} \frac{\left(\mu_{s}-r_{s}\right)}{\sigma_{s}} \mathrm{~d} s\right)
\end{aligned}
$$
By introducing
$$
\gamma_{t}=\frac{\mu_{t}-r_{t}}{\sigma_{t}}
$$
which is $\mathcal{F}{t}$-adaptive, and by defining a new measure, Q, according to Equation $2.36$, we have $$ \tilde{W}{t}=W_{t}+\int_{0}^{t} \gamma_{s} \mathrm{~d} s,
$$
which is a Q-Brownian motion. In terms of $\tilde{W}{t}, Z{t}$ satisfies
$$
\mathrm{d} Z_{t}=\sigma_{t} Z_{t} \mathrm{~d} \tilde{W}_{t},
$$
which is a lognormal Q-martingale. Recall that in the binomial model for option pricing, we also derived the martingale measure for the underlying security.
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Replicating and Pricing of Contingent Claims
Let $X_{T}$ be a contingent claim (or option) with payoff day or maturity $T$. The claim is an $\mathcal{F}{T}$-adaptive function whose value depends on $\left{S{t}, 0 \leq t \leq T\right}$. Define first a $\mathbb{Q}$-martingale with the discounted payoff:
$$
N_{t}=E^{Q}\left(B_{T}^{-1} X_{T} \mid \mathcal{F}{t}\right) . $$ Without loss of generality, we assume that $E^{\mathrm{Q}}\left[N{t}^{2}\right]<\infty$. According to the martingale representation theorem, there exists an $\mathcal{F}{t}$-adaptive function, $\varphi{t}$, such that
$$
\mathrm{d} N_{t}=\varphi_{t} \mathrm{~d} Z_{t},
$$
where $Z_{t}$, defined in the last section, is the discounted price of $S_{t}$. Next, we define
$$
\psi_{t}=N_{t}-\varphi_{t} Z_{t} .
$$
Consider now the portfolio with $\varphi_{t}$ units of the stock and $\psi_{t}$ units of the money market account, denoted as $\left(\varphi_{t}, \psi_{t}\right)$. According to the definition of $\psi_{t}$, the discount value of the replication portfolio is
$$
\tilde{V}{t}=\varphi{t} Z_{t}+\psi_{t}=N_{t}
$$
This portfolio has two important properties. First, at time $T$, when the option matures,
$$
\tilde{V}{T}=N{T}=B_{T}^{-1} X_{T}
$$
which suggests that the (discounted) value of the portfolio equals that of the option. In other words, the portfolio replicates the payoff of the contingent claim. Second, the replicating portfolio is a self-financing one, meaning that it can track the asset allocation, $\left(\varphi_{t}, \psi_{t}\right)$, without the need for either capital
infusion or capital withdrawal. In fact, based on Equations $2.45$ and $2.47$, we have
$$
\mathrm{d} \tilde{V}{t}=\mathrm{d} N{t}=\varphi_{t} \mathrm{~d} Z_{t}
$$
In terms of the spot value, $B_{t}$ and $S_{t}$, Equation $2.49$ becomes
$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} V_{t} &=\mathrm{d}\left(\tilde{V}{t} B{t}\right) \
&=B_{t} \mathrm{~d} \tilde{V}{t}+\tilde{V}{t} \mathrm{~d} B_{t} \
&=B_{t} \varphi_{t} \mathrm{~d} Z_{t}+\left(\varphi_{t} Z_{t}+\psi_{t}\right) \mathrm{d} B_{t} \
&=\varphi_{t}\left(B_{t} \mathrm{~d} Z_{t}+Z_{t} \mathrm{~d} B_{t}\right)+\psi_{t} \mathrm{~d} B_{t} \
&=\varphi_{t} \mathrm{~d}\left(B_{t} Z_{t}\right)+\psi_{t} \mathrm{~d} B_{t} \
&=\varphi_{t} \mathrm{~d} S_{t}+\psi_{t} \mathrm{~d} B_{t}
\end{aligned}
$$
A direct consequence of the above equation is the equality
$$
\begin{aligned}
\varphi_{t+d t} S_{t+d t}+\psi_{t+d t} B_{t+d t} &=\varphi_{t} S_{t}+\psi_{t} B_{t}+\varphi_{t} \mathrm{~d} S_{t}+\psi_{t} \mathrm{~d} B_{t} \
&=\varphi_{t} S_{t+d t}+\psi_{t} B_{t+d t},
\end{aligned}
$$
利率建模代考
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|The Martingale Representation Theorem
鞅表示定理在衍生品定价的所谓鞅方法中起着关键作用。这个定理有两个重要的
结果。首先，它引出了衍生品定价的一般原则。其次，它意味着使用其基础证券的衍生品的复制或对冲策略。我们首先提出一个基于单个布朗过滤的简单版本的定理，F吨=σ(在s,0≤s≤吨). 我们从鞅过程开始，米吨, 这样
d米吨=σ吨 d在吨,
我们打电话给σ吨的波动性米吨.
定理 2.3.1（鞅表示定理）。假设ñ吨是一个问- 适应于鞅过程F吨并满足和问[ñ吨2]< ∞对于一些 T。如果米吨几乎肯定是非零的，那么存在唯一的F吨−适应过程，披吨, 这样和问[∫0吨披吨2σ吨2d吨]<∞几乎可以肯定，并且
ñ吨=ñ0+∫0吨披sd米s,吨≤吨
或者，以微分形式，
dñ吨=披吨d米吨
结合斯蒂尔技术的证明(2000)和ØØķs和nd一个l (2003)在本章的附录中提供。在 Korn and Korn (2000) 中可以找到不同的证明。
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|A Complete Market with Two Securities
我们考虑连续时间的第一个“完整市场”，它由货币市场账户和风险证券组成。两种证券的价格过程，乙吨和小号吨, 假设为
d乙吨=r吨乙吨 d吨,乙0=1 d小号吨=小号吨(μ吨 d吨+σ吨 d在吨),小号0=小号0
在这里，风险资产的波动率为σ吨≠0几乎可以肯定，短期利率，r吨, 可以是随机的。将风险资产的折现价格表示为从吨=乙吨−1小号吨, 可以显示遵循该过程
d从吨=从吨((μ吨−r吨)d吨+σ吨 d在吨) =从吨σ吨 d(在吨+∫0吨(μs−rs)σs ds)
通过介绍
C吨=μ吨−r吨σ吨
这是F吨-自适应，并通过定义一个新的度量，Q，根据方程2.36， 我们有
在~吨=在吨+∫0吨Cs ds,
这是一个Q-布朗运动。按照在~吨,从吨满足
d从吨=σ吨从吨 d在~吨,
这是一个对数正态 Q-鞅。回想一下，在期权定价的二项式模型中，我们还推导出了基础证券的鞅测度。
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Replicating and Pricing of Contingent Claims
让X吨是具有支付日或到期日的或有债权（或期权）吨. 索赔是一个F吨- 自适应函数，其值取决于\left{S{t}, 0 \leq t \leq T\right}\left{S{t}, 0 \leq t \leq T\right}. 首先定义一个问- 贴现收益的鞅：
ñ吨=和问(乙吨−1X吨∣F吨).不失一般性，我们假设和问[ñ吨2]<∞. 根据鞅表示定理，存在一个F吨-自适应功能，披吨, 这样
dñ吨=披吨 d从吨,
在哪里从吨，在最后一节中定义，是折扣价小号吨. 接下来，我们定义
ψ吨=ñ吨−披吨从吨.
现在考虑投资组合披吨股票的单位和ψ吨货币市场账户的单位，表示为(披吨,ψ吨). 根据定义ψ吨，复制组合的折现值为
在~吨=披吨从吨+ψ吨=ñ吨
这个投资组合有两个重要的属性。首先，在时间吨，当期权到期时，
$$
\tilde{V} {T}=N {T}=B_{T}^{-1} X_{T}
$$
这表明投资组合的（贴现）价值等于的选项。换言之，投资组合复制了或有债权的回报。其次，复制投资组合是一种自筹资金的投资组合，这意味着它可以跟踪资产配置，(披吨,ψ吨), 不需要任何资本
注入或撤资。事实上，基于方程2.45和2.47， 我们有
d在~吨=dñ吨=披吨 d从吨
从现货价值来看，乙吨和小号吨, 方程2.49变成
d在吨=d(在~吨乙吨) =乙吨 d在~吨+在~吨 d乙吨 =乙吨披吨 d从吨+(披吨从吨+ψ吨)d乙吨 =披吨(乙吨 d从吨+从吨 d乙吨)+ψ吨 d乙吨 =披吨 d(乙吨从吨)+ψ吨 d乙吨 =披吨 d小号吨+ψ吨 d乙吨
上述等式的直接结果是等式
披吨+d吨小号吨+d吨+ψ吨+d吨乙吨+d吨=披吨小号吨+ψ吨乙吨+披吨 d小号吨+ψ吨 d乙吨 =披吨小号吨+d吨+ψ吨乙吨+d吨,
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。