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Vasicek利率模型一词是指一种对利率的运动和演变进行建模的数学方法。它是一种基于市场风险的单因素短利率模型。瓦西克利率模型常用于经济学中，以确定利率在未来的移动方向。
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金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Multi-Factor Extensions
In derivatives pricing, we often need to model simultaneously the dynamics of multiple risky securities, using multiple risk factors. Because of that, we must extend several major results established so far to the setting of multiple risk sources or assets. These results include the CMG theorem, the martingale representation theorem, and the option pricing formula, as in Equation 2.52. The proofs are parallel to those for the one-dimensional case and thus are omitted for brevity. Hereafter, we use a superscript “T” to denote the transposition of a matrix.
Theorem 2.6.1 (The CMG Theorem). Let $\mathbf{W}{t}=\left(W{1}(t), W_{2}(t), \ldots\right.$,
$\left.W_{n}(t)\right)^{\mathrm{T}}$ be an $n$-dimensional $\mathbb{P}$-Brownian motion, and let $\gamma_{t}=\left(\gamma_{1}(t)\right.$, $\left.\gamma_{2}(t), \ldots, \gamma_{n}(t)\right)^{\mathrm{T}}$ be an $n$-dimensional $\mathcal{F}{t}$-adaptive process, such that $$ E^{P}\left[\exp \left(\frac{1}{2} \int{0}^{T}\left|\gamma_{t}\right|_{2}^{2} d t\right)\right]<\infty
$$
Define a new measure, Q1, with a Radon-Nikodym derivative
$$
\left.\frac{d \mathbb{Q}}{d \mathbb{P}}\right|{\mathcal{F}{t}}=\exp \left(\int_{0}^{t}-\gamma_{s}^{\mathrm{T}} d \mathbf{W}{s}-\frac{1}{2} \int{0}^{t}\left|\gamma_{s}\right|_{2}^{2} d s\right) \text {. }
$$
Then $\mathbb{Q}$ is equivalent to $\mathbb{P}$, and
$$
\tilde{\mathbf{W}}{t}=\mathbf{W}{t}+\int_{0}^{t} \gamma_{s} d s
$$
is an n-dimensional (1-Brownian motion.
Theorem 2.6.2 (The Martingale Representation Theorem). Let $\mathbf{W}{t}$ be an $n$-dimensional Brownian motion and suppose that $\mathbf{M}{t}$ is an $n$-dimensional Q-martingale process, $\mathbf{M}{t}=\left(M{1}(t), M_{2}(t), \ldots, M_{n}(t)\right)^{\mathrm{T}}$, such that
$$
d M_{i}(t)=\sum_{j=1}^{n} a_{i j}(t) d W_{j}(t) .
$$
Let $\mathbf{A}=\left(a_{i j}\right)$ be a non-singular matrix. If $N_{t}$ is any one-dimensional $\mathbb{Q}$ martingale with $E^{Q}\left[N_{t}^{2}\right]<\infty$, there exists an $n$-dimensional $\mathcal{F}{t}$-adaptive process, $\Phi{t}=\left(\varphi_{1}(t), \varphi_{2}(t), \ldots, \varphi_{n}(t)\right)^{\mathrm{T}}$, such that
$$
E^{Q}\left[\int_{0}^{t}\left(\sum_{j} a_{i j}^{2}(s) \varphi_{j}^{2}(s) d s\right)\right]<\infty, \quad \forall i,
$$
and
$$
\begin{aligned}
N_{t} &=N_{0}+\sum_{j=1}^{n} \int_{0}^{t} \varphi_{j}(s) d M_{j}(s) \
& \triangleq N_{0}+\int_{0}^{t} \Phi^{\mathrm{T}}(s) d \mathbf{M}(s) .
\end{aligned}
$$
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Existence of a Martingale Measure
We consider a standard model of a complete financial market with a money market account and $n$ risky securities. Let the time $t$ prices be $B_{t}$ and $S_{t}^{i}$, $1 \leq i \leq n$, respectively. We assume lognormal price processes for all assets:
$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} B_{t} &=r_{t} B_{t} \mathrm{~d} t \
\mathrm{~d} S_{t}^{i} &=S_{t}^{i}\left(\mu_{t}^{i} \mathrm{~d} t+\sum_{j=1}^{n} \sigma_{i j} \mathrm{~d} W_{j}(t)\right) \
&=S_{t}^{i}\left(\mu_{t}^{i} \mathrm{~d} t+\sigma_{i}^{\mathrm{T}}(t) \mathrm{d} \mathbf{W}{t}\right), \quad i=1,2, \ldots, n . \end{aligned} $$ Here, $$ \sigma{i}^{\mathrm{T}}(t)=\left(\sigma_{i, 1}, \sigma_{i, 2}, \ldots, \sigma_{i, n}\right) .
$$
Let $Z_{t}^{i}=B_{t}^{-1} S_{t}^{i}$ denote the discounted asset price of the $i$ th asset. It then follows that
$$
\mathrm{d} Z_{t}^{i}=Z_{t}^{i}\left[\boldsymbol{\sigma}{i}^{\mathrm{T}}(t) \mathrm{d} \mathbf{W}{t}+\left(\mu_{t}^{i}-r_{t}\right) \mathrm{d} t\right], \quad i=1,2, \ldots, n
$$
To construct a martingale measure for $Z_{t}^{i}, \forall i$, we must “absorb” the drift terms in Equation $2.62$ into the Brownian motion. For that reason, we define an $\mathcal{F}{t}$-adaptive function, $\gamma{t}$, via the following equations:
$$
\boldsymbol{\sigma}{i}^{\mathrm{T}}(t) \gamma{t}=\mu_{t}^{i}-r_{t}, \quad i=1,2, \ldots, n .
$$
Suppose that $\gamma_{t}$, the solution to Equation 2.63, exists and satisfies
$$
E^{2}\left[\exp \left(\int_{0}^{T}\left|\gamma_{t}\right|^{2} \mathrm{~d} t\right)\right]<\infty $$ for some $T>0$. We then can define a new measure, $\mathbb{Q}$, according to Equation 2.59. Under this newly defined $\mathbb{Q}$,
$$
\overline{\mathbf{W}}{t}=\mathbf{W}{t}+\int_{0}^{t} \gamma_{s} \mathrm{~d} s
$$
is a multi-dimensional Brownian motion, with which we can rewrite the price processes for the discounted assets into
$$
\mathrm{d} Z_{t}^{i}=Z_{t}^{i} \sigma_{i}^{\mathrm{T}}(t) \mathrm{d} \hat{\mathbf{W}}{t}, \quad i=1,2, \ldots, n, $$ and $Z{t}^{i}, i=1,2, \ldots, n$ are lognormal $\mathbb{Q}$-martingales.
We now study the existence of $\gamma_{t}$ and condition 2.64. In matrix form, Equation $2.63$ can be recast into
$$
\boldsymbol{\Sigma} \gamma_{t}=\boldsymbol{\mu}{t}-r{t} \mathbf{I}
$$
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Pricing Contingent Claims
Now we are ready to address the pricing of a contingent claim depending on the prices of multiple underlying securities. Having found the martingale measure, $\mathbb{Q}$, for the underlying securities, we define a $\mathbb{Q}$-martingale as
$$
N_{t}=E^{Q}\left(B_{T}^{-1} X_{T} \mid \mathcal{F}{t}\right), $$ using the discounted value of $X{T}$, the payoff function of the claim at time $T$. Without loss of generality, we assume that the volatility matrix of the underlying risky securities, $\Sigma$, is non-singular. ${ }^{2}$ According to the
martingale representation theorem, there exists an $\mathcal{F}{t}$-adaptive function, $\Phi{t}=\left(\varphi_{1}(t), \ldots, \varphi_{n}(t)\right)^{\mathrm{T}}$, such that
$$
\mathrm{d} N_{t}=\Phi_{t}^{\mathrm{T}} \mathrm{d} \mathbf{Z}{t} $$ where $\mathbf{Z}{t}$ is the vector of the discounted prices. We now define another process,
$$
\psi_{t}=N_{t}-\boldsymbol{\Phi}{t}^{\mathrm{T}} \mathbf{Z}{t}
$$
and form a portfolio with $\psi_{t}$ units of the money market account and $\phi_{i}(t)$ units of the $i$ th risky security, $i=1, \ldots, n$. The discounted value of the portfolio is
$$
\tilde{V}{t}=\Phi{t}^{\mathrm{T}} \mathbf{Z}{t}+\psi{t}=N_{t}
$$
The last equation implies replication of the payoff of the contingent portfolio. Furthermore, from Equation 2.70, we can derive
$$
\mathrm{d} V_{t}=\Phi_{t}^{\mathrm{T}} \mathrm{d} \mathbf{S}{t}+\psi{t} \mathrm{~d} B_{t}
$$
which implies that the replication strategy is a self-financing one. So, we conclude that the value of the contingent claim equals that of the portfolio and thus is given by
$$
V_{t}=B_{t} E^{\mathbb{Q}}\left[B_{T}^{-1} X_{T} \mid \mathcal{F}{t}\right]=E^{Q}\left[\mathrm{e}^{-\int{t}^{T} r_{x} \mathrm{~d}{s}} X{T} \mid \mathcal{F}_{t}\right]
$$
Formally, Equation $2.71$ is identical to Equation $2.52$, the formula for options on a single underlying security.
利率建模代考
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Multi-Factor Extensions
在衍生品定价中，我们经常需要使用多个风险因素同时对多个风险证券的动态进行建模。正因为如此，我们必须将迄今为止建立的几个主要结果扩展到多个风险源或资产的设置。这些结果包括 CMG 定理、鞅表示定理和期权定价公式，如公式 2.52 所示。证明与一维情况的证明是平行的，因此为简洁起见省略。此后，我们使用上标“T”来表示矩阵的转置。
定理 2.6.1（CMG 定理）。让在吨=(在1(吨),在2(吨),…,
在n(吨))吨豆n维磷-布朗运动，让C吨=(C1(吨),C2(吨),…,Cn(吨))吨豆n维F吨-自适应过程，使得
和磷[经验(12∫0吨|C吨|22d吨)]<∞
使用 Radon-Nikodym 导数定义新的度量 Q1
d问d磷|F吨=经验(∫0吨−Cs吨d在s−12∫0吨|Cs|22ds).
然后问相当于磷， 和
在~吨=在吨+∫0吨Csds
是一个 n 维（1-布朗运动。
定理 2.6.2（鞅表示定理）。让在吨豆n维布朗运动并假设米吨是一个n-维Q-鞅过程，米吨=(米1(吨),米2(吨),…,米n(吨))吨, 这样
d米一世(吨)=∑j=1n一个一世j(吨)d在j(吨).
让一个=(一个一世j)是一个非奇异矩阵。如果ñ吨是任何一维的问鞅和问[ñ吨2]<∞, 存在一个n维F吨- 自适应过程，披吨=(披1(吨),披2(吨),…,披n(吨))吨, 这样
和问[∫0吨(∑j一个一世j2(s)披j2(s)ds)]<∞,∀一世,
和
ñ吨=ñ0+∑j=1n∫0吨披j(s)d米j(s) ≜ñ0+∫0吨披吨(s)d米(s).
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Existence of a Martingale Measure
我们考虑一个具有货币市场账户的完整金融市场的标准模型，n风险证券。让时间吨价格是乙吨和小号吨一世, 1≤一世≤n， 分别。我们假设所有资产的对数正态价格过程：
d乙吨=r吨乙吨 d吨 d小号吨一世=小号吨一世(μ吨一世 d吨+∑j=1nσ一世j d在j(吨)) =小号吨一世(μ吨一世 d吨+σ一世吨(吨)d在吨),一世=1,2,…,n.这里，
σ一世吨(吨)=(σ一世,1,σ一世,2,…,σ一世,n).
让从吨一世=乙吨−1小号吨一世表示资产折现价格一世资产。然后它遵循
d从吨一世=从吨一世[σ一世吨(吨)d在吨+(μ吨一世−r吨)d吨],一世=1,2,…,n
构造一个鞅测度从吨一世,∀一世，我们必须“吸收”方程中的漂移项2.62进入布朗运动。为此，我们定义一个F吨-自适应功能，C吨，通过以下等式：
σ一世吨(吨)C吨=μ吨一世−r吨,一世=1,2,…,n.
假设C吨, 方程 2.63 的解存在并且满足
和2[经验(∫0吨|C吨|2 d吨)]<∞对于一些吨>0. 然后我们可以定义一个新的度量，问，根据公式 2.59。在这个新定义的问,
在¯吨=在吨+∫0吨Cs ds
是一个多维布朗运动，我们可以用它把贴现资产的价格过程改写为
d从吨一世=从吨一世σ一世吨(吨)d在^吨,一世=1,2,…,n,和从吨一世,一世=1,2,…,n是对数正态的问- 鞅。
我们现在研究存在C吨和条件 2.64。以矩阵形式，方程2.63可以重铸成
ΣC吨=μ吨−r吨我
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Pricing Contingent Claims
现在我们已经准备好根据多个标的证券的价格来解决或有债权的定价问题。找到鞅测度后，问，对于标的证券，我们定义一个问- 鞅为
ñ吨=和问(乙吨−1X吨∣F吨),使用贴现值X吨, 索赔在时间的支付函数吨. 不失一般性，我们假设基础风险证券的波动率矩阵，Σ, 是非奇异的。2根据
鞅表示定理，存在一个F吨-自适应功能，披吨=(披1(吨),…,披n(吨))吨, 这样
dñ吨=披吨吨d从吨在哪里从吨是折扣价格的向量。我们现在定义另一个过程，
ψ吨=ñ吨−披吨吨从吨
并与ψ吨货币市场账户单位和φ一世(吨)的单位一世危险的安全性，一世=1,…,n. 投资组合的折现值为
在~吨=披吨吨从吨+ψ吨=ñ吨
最后一个等式意味着复制或有投资组合的收益。此外，从方程 2.70，我们可以推导出
d在吨=披吨吨d小号吨+ψ吨 d乙吨
这意味着复制策略是一种自筹资金的策略。因此，我们得出结论，或有债权的价值等于投资组合的价值，因此由下式给出
在吨=乙吨和问[乙吨−1X吨∣F吨]=和问[和−∫吨吨rX dsX吨∣F吨]
正式地，方程2.71与方程相同2.52, 单一基础证券期权的公式。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。