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- Advanced Probability Theory 高等概率论
- Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
- (Generalized) Linear Models 广义线性模型
- Statistical Machine Learning 统计机器学习
- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
- Foundations of Data Science 数据科学基础
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Early Exercise of an American Call Option
When there are no dividends, it is never optimal to exercise an American call option before maturity and its value will be the same as a European call option. To see why, note that an American call option is a European call option with the additional feature that it can be exercised before maturity. Therefore, it must be as valuable as a European call option, i.e.,
$$
C_{\text {American }}(t, s) \geq C_{\text {European }}(t, s) \text {, }
$$
where $C_{\text {American }}(t, s)$ and $C_{E u r o p e a n}(t, s)$ are respectively American and European call options on the same underlying asset with the same strike price and maturity. Now, we can rewrite the put-call parity relationship (1.6) as
$$
\begin{aligned}
C_{\text {European }}(t, s) &=s-K e^{-r(T-t)}+\tilde{C}{\text {European }}(t, s) \ &=s-K+K\left{1-e^{-r(T-t)}\right}+\tilde{C}{\text {Éuropean }}(t, s)>s-K
\end{aligned}
$$
Putting these two observations together and remarking that $C(t, s)>0$, one obtains that
$$
C_{\text {American }}(t, s) \geq C_{\text {European }}(t, s)>\max (s-K, 0)
$$
Therefore, the value of an American call option prior to maturity is always higher than its immediate exercise value.
A similar reasoning shows that this is not true for put options. In this case, if the underlying price falls enough and the call option’s value is low enough, then it might become optimal to exercise a put option prior to maturity.
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Partial Differential Equation for Option Values
In Black and Scholes $[1973]$ and Merton [1974], it is shown that the value $C$ of a European call option with maturity $T$ satisfies the following partial differential equation:
$$
\frac{\partial C}{\partial t}+r s \frac{\partial C}{\partial s}+\sigma^{2} \frac{s^{2}}{2} \frac{\partial^{2} C}{\partial s^{2}}=r C
$$
with boundary condition $C(T, s)=\max (s-K, 0)$, for all $s \geq 0$ and for all $t \in(0, T)$. It can also be shown that the equation also holds for a general payoff $\Phi$.
A popular method for proving the validity of (1.7) is to construct a selffinancing portfolio $\Pi_{t}=\psi_{t 1} S_{t}+\psi_{t 0} e^{r t}$, so that at maturity $\Pi_{T}=\Phi{S(T)}$, where $\Phi{S(T)}$ is the payoff. In fact, $\psi_{t 1}=\left.\frac{\partial}{\partial s} C(t, s)\right|{s=S{t}}$. The justification of $(1.7)$ is given in Appendix 1.A.
In simple cases, numerical methods used for solving partial differential equations can be used to solve $(1.7)$; see, e.g., Wilmott [2006]. However, as we will see in later chapters, derivatives can depend on several risk factors or even depend on the path taken by the underlying asset. In such cases, numerical solution to partial differential equation can become cumbersome. Therefore, we now turn to a representation of the derivative’s price which is easier to handle.
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Option Value as an Expectation
Under the absence of arbitrage, there exists an equivalent probability measure under which the discounted value of an option is a martingale (see Appendix 1.B). Such a measure is called an equivalent martingale measure ${ }^{7}$ or risk-neutral measure, and one can show that it is unique for the BlackScholes model. In this case, the actual value of an option is simply the expected discounted value of the option at a later date, for example at maturity, under the equivalent martingale measure $Q$. The value of the option at time $t$ is thus given by
$$
C(t, s)=e^{-r(T-t)} E[\Phi{\tilde{S}(T)} \mid \tilde{S}(t)=s]
$$
where, under $Q, \tilde{W}$ is a Brownian motion and
$$
\tilde{S}(u)=s e^{\left(r-\frac{a^{2}}{2}\right)(u-t)+\sigma{\tilde{W}(u)-\tilde{W}(t)}}, u \in[t, T]
$$
Equivalently, one has
$$
d \bar{S}(u)=r \bar{S}(u) d u+\sigma \tilde{S}(u) d \tilde{W}(u), \quad t \leq u \leq T
$$
with $\tilde{S}(t)=s$.
Note that the law of $\tilde{S}$ is not the same as the law of $S, \mu$ being replaced by $r$. In practice, only the process $S$ is observed, not $S$.
Using the Feynman-Kac formula in Proposition 7.4.1, one can show that (1.8) is the solution of the partial differential equation (1.7).
Example 1.5.1 For example, for a European call option with strike price $K$, we have $\Phi(s)=\max (s-K, 0)$. One can then recover the Black-Scholes formula (1.4) using Proposition A.6.3 and the expectation formula (1.8).
Remark 1.5.2 Formula (1.8) can be extended to path-dependent options like Asian options, lookback options, etc. One has to estimate or evaluate the discounted payoff of the option under the dynamics $\tilde{S}$. Monte Carlo methods are then more than appropriate in this context since a Brownian motion is easy to simulate.
金融工程代写
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Early Exercise of an American Call Option
当没有股息时，在到期前行使美式看涨期权永远不是最佳选择，其价值将与欧式看涨期权相同。要了解原因，请注意美式看涨期权是欧式看涨期权，具有可以在到期前行使的附加功能。因此，它必须与欧式看涨期权一样有价值，即
C美国人 (吨,s)≥C欧洲的 (吨,s),
在哪里C美国人 (吨,s)和C和在r这p和一种n(吨,s)分别是具有相同执行价格和期限的相同标的资产的美式和欧式看涨期权。现在，我们可以将 put-call 奇偶校验关系 (1.6) 重写为
\begin{aligned} C_{\text {欧洲}}(t, s) &=sK e^{-r(Tt)}+\tilde{C}{\text {欧洲}}(t, s) \ & =s-K+K\left{1-e^{-r(Tt)}\right}+\tilde{C}{\text {Éuropean }}(t, s)>sK \end{aligned}\begin{aligned} C_{\text {欧洲}}(t, s) &=sK e^{-r(Tt)}+\tilde{C}{\text {欧洲}}(t, s) \ & =s-K+K\left{1-e^{-r(Tt)}\right}+\tilde{C}{\text {Éuropean }}(t, s)>sK \end{aligned}
将这两个观察结果放在一起并指出C(吨,s)>0, 得到
C美国人 (吨,s)≥C欧洲的 (吨,s)>最大限度(s−ķ,0)
因此，美式看涨期权在到期前的价值总是高于其即时行使价值。
类似的推理表明，这不适用于看跌期权。在这种情况下，如果标的价格下跌得足够多，而看涨期权的价值也足够低，那么在到期前行使看跌期权可能会成为最佳选择。
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Partial Differential Equation for Option Values
在布莱克和斯科尔斯[1973]和 Merton [1974]，表明值C到期的欧式看涨期权吨满足以下偏微分方程：
∂C∂吨+rs∂C∂s+σ2s22∂2C∂s2=rC
有边界条件C(吨,s)=最大限度(s−ķ,0)， 对全部s≥0并为所有人吨∈(0,吨). 还可以证明，该等式也适用于一般收益披.
证明（1.7）有效性的一种流行方法是构建一个自筹资金的投资组合圆周率吨=ψ吨1小号吨+ψ吨0和r吨，所以在成熟时圆周率吨=披小号(吨)， 在哪里披小号(吨)是回报。事实上，$\psi_{t 1}=\left.\frac{\partial}{\partial s} C(t, s)\right| {s=S {t}}.吨H和j在s吨一世F一世C一种吨一世这n这F(1.7)$ 在附录 1.A 中给出。
在简单的情况下，用于求解偏微分方程的数值方法可用于求解(1.7); 例如，参见 Wilmott [2006]。然而，正如我们将在后面的章节中看到的那样，衍生品可能取决于几个风险因素，甚至取决于标的资产所采取的路径。在这种情况下，偏微分方程的数值解会变得很麻烦。因此，我们现在转向更容易处理的衍生品价格表示。
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Option Value as an Expectation
在没有套利的情况下，存在一个等价的概率测度，在该测度下，期权的贴现值是一个鞅（见附录 1.B）。这种测度称为等价鞅测度7或风险中性度量，可以证明它对于 BlackScholes 模型是独一无二的。在这种情况下，期权的实际价值只是期权在以后日期的预期贴现值，例如在到期时，在等价鞅测度下问. 期权当时的价值吨因此由下式给出
C(吨,s)=和−r(吨−吨)和[披小号~(吨)∣小号~(吨)=s]
在哪里，在问,在~是布朗运动并且
小号~(在)=s和(r−一种22)(在−吨)+σ在~(在)−在~(吨),在∈[吨,吨]
等效地，一个有
d小号¯(在)=r小号¯(在)d在+σ小号~(在)d在~(在),吨≤在≤吨
和小号~(吨)=s.
请注意，法律小号~不等于法律小号,μ被取代r. 在实践中，只有过程小号被观察到，而不是小号.
使用命题 7.4.1 中的 Feynman-Kac 公式，可以证明 (1.8) 是偏微分方程 (1.7) 的解。
示例 1.5.1 例如，对于具有执行价格的欧式看涨期权ķ， 我们有披(s)=最大限度(s−ķ,0). 然后可以使用命题 A.6.3 和期望公式 (1.8) 恢复 Black-Scholes 公式 (1.4)。
备注 1.5.2 公式（1.8）可以推广到路径依赖的期权，如亚洲期权、回溯期权等。必须在动态下估计或评估期权的贴现收益小号~. 蒙特卡洛方法在这种情况下非常合适，因为布朗运动很容易模拟。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。