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金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Joint Distribution of Returns
Proposition 1.2.1 Under the Black-Scholes model, for $h>0$ given, the returns $X_{i}=\ln {S(i h)}-\ln [S{(i-1) h}], i \in{1, \ldots, n}$, are independent and $X_{i} \sim N\left(\mu h-\frac{\sigma^{2}}{2} h, \sigma^{2} h\right)$, i.e., $X_{i}$ has a Gaussian distribution with mean $\left(\mu-\frac{\sigma^{2}}{2}\right) h$ and variance $\sigma^{2} h$.
PROOF. For $i \in{1, \ldots, n}$, one has
$$
\begin{aligned}
S(i h) / S{(i-1) h} &=\frac{s e^{\mu i h-\frac{i h \sigma^{2}}{2}}+\sigma W(i h)}{s e^{\mu(i-1) h-\frac{(i-1) h \sigma^{2}}{2}+\sigma W{(i-1) h}}} \
&=e^{\mu h-\frac{h \sigma^{2}}{2}+\sigma{W(i h)-W{(i-1) h}}}
\end{aligned}
$$
so
$$
\begin{aligned}
X_{i} &=\ln [S(i h) / S{(i-1) h}] \
&=\mu h-\frac{\sigma^{2}}{2} h+\sigma{W(i h)-W{(i-1) h}} \
& \sim N\left(\mu h-\frac{\sigma^{2}}{2} h, \sigma^{2} h\right)
\end{aligned}
$$
The increments $W(i h)-W{(i-1) h}, i \in{1 \ldots n}$, being independent, by definition of Brownian motion, it follows that the returns $X_{i}, i \in{1 \ldots n}$, are also independent.
Remark 1.2.2 Since $\sigma$ appears to be a measure of variability, it is also called volatility in financial applications and it is often reported in percentage. For example, a volatility of $20 \%$ per annum means that $\sigma=0.2$, on an annual time scale.
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Joint Law of Prices
One of the most efficient method for estimating parameters is the maximum likelihood principle, described in Appendix B.1. As shown in Remark B.1.2, the maximum likelihood principle can be used with prices or returns. Since the returns are independent and identically distributed in the BlackScholes model, we will estimate the parameters using the returns instead of the prices.
However, for sake of completeness, we also give the conditional law of the prices, together with their joint law.
Proposition 1.2.2 The conditional distribution of $S{(i+1) h}$, given $S(0)=$ $s, \ldots, S(i h)=s_{i}$, depends only on $S(i h)$, and its density is
$$
f_{S{(i+1) h} \mid S(i h)}\left(x \mid s_{i}\right)=\frac{e^{-\frac{1}{2 \sigma^{2} h}\left{\ln \left(x / s_{i}\right)-\left(\mu-\sigma^{2} / 2\right) h\right}^{2}}}{x \sigma \sqrt{2 \pi h}} \mathbb{I}(x>0), \quad x \in \mathbb{R} .
$$
PROOF. It follows from Proposition $1.2 .1$ that for all $i \geq 0, S{(i+1) h}=$ $S(i h) e^{X_{i+1}}$, and $S(i h)=s e^{X_{1}+\cdots+X_{i}}$ is independent of $e^{X_{i+1}}$. Therefore, the conditional distribution of $S{(i+1) h}$ given $S(0)=s_{0}, \ldots, S(i h)=s_{i}$, is a log-normal distribution (see A.6.8), being the exponential of a Gaussian variate with mean $\ln \left(s_{i}\right)+\left(\mu-\sigma^{2} / 2\right) h$ and variance $\sigma^{2} h$.
Remark 1.2.3 As a by-product of Proposition 1.2.2 and the multiplication formula (A.19), the joint law of $S(h), \ldots, S(n h)$, given $S(0)=s$, is
$$
\begin{aligned}
f_{S(h), \ldots, S(n h) \mid S(0)}\left(s_{1}, \ldots, s_{n} \mid s\right) &=\prod_{i=1}^{n} f_{S((i h) \mid S(0), \ldots, S((i-1) h)}\left(s_{i} \mid s, \ldots, s_{i-1}\right) \
&=\prod_{i=1}^{n} f_{S(i h) \mid S((i-1) h)}\left(s_{i} \mid s_{i-1}\right) \
&=\prod_{i=1}^{n} \frac{e^{-\frac{\left(\ln \left(x_{i}\right)-\ln \left(x_{i-1}\right)-\left(\mu-\sigma^{2} / 2\right)^{h}\right)^{2}}{2 \sigma^{2} h}}}{s_{i} \sqrt{2 \pi \sigma^{2} h}}
\end{aligned}
$$
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Estimation of Parameters
The maximum likelihood principle described in Appendix B.1 will now be used to estimate parameters $\mu$ and $\sigma$, using the returns as the observations. Usually this method of estimation is more precise than any other one. Since the data are Gaussian, the method of moments, described in Appendix B.8, could also be used. However these two methods yield different results in general.
Recall that the original data set are the prices $S(0)=s_{0}, S(h)=$ $s_{1}, \ldots, S(n h)=s_{n}$, from which we compute the returns $x_{i}=\ln \left(s_{i}\right)-\ln \left(s_{i-1}\right)$, $i \in{1, \ldots, n} .$
Proposition 1.3.1 The estimations of $\mu$ and $\sigma$, obtained by the maximum likelihood principle, are given by
$$
\begin{aligned}
\hat{\mu}{n} &=\frac{\bar{x}}{h}+\frac{s{x}^{2}}{2 h}, \
\hat{\sigma}{n} &=\frac{s{x}}{\sqrt{h}}
\end{aligned}
$$
where $\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}$ and $s_{x}^{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}$.
The proof is given in Appendix 1.C.1.
Remark 1.3.1 In practice, $\sigma^{2}$ is estimated by
$$
\frac{1}{(n-1) h} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}
$$
the reason being that this estimator is unbiased, while being also quite close to $\frac{s^{2}}{h}$. For example, with MATLAB, the function std $(x)$ returns
$$
\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}
$$
instead of
$$
\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}
$$
Remark 1.3.2 When parameters are estimated using the maximum likelihood principle and the observations are not Gaussian, one rarely finds explicit expressions for the estimators. Therefore, one has to use numerical algorithms to maximize the likelihood. In this case, domain constraints on the parameters must be taken into account. For example, in the Black-Scholes model, $\sigma>0$. One can easily replace this sign constraint by setting $\sigma=e^{\alpha}$, with $\alpha \in \mathbb{R}$.
金融工程代写
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Joint Distribution of Returns
命题 1.2.1 在 Black-Scholes 模型下，对于H>0给定，回报X一世=ln小号(一世H)−ln[小号(一世−1)H],一世∈1,…,n, 是独立的并且X一世∼ñ(μH−σ22H,σ2H)， IE，X一世具有均值的高斯分布(μ−σ22)H和方差σ2H.
证明。为了一世∈1,…,n, 一个有
小号(一世H)/小号(一世−1)H=s和μ一世H−一世Hσ22+σ在(一世H)s和μ(一世−1)H−(一世−1)Hσ22+σ在(一世−1)H =和μH−Hσ22+σ在(一世H)−在(一世−1)H
所以
X一世=ln[小号(一世H)/小号(一世−1)H] =μH−σ22H+σ在(一世H)−在(一世−1)H ∼ñ(μH−σ22H,σ2H)
增量在(一世H)−在(一世−1)H,一世∈1…n, 是独立的, 根据布朗运动的定义, 回报X一世,一世∈1…n, 也是独立的。
备注 1.2.2 自σ似乎是一种可变性的度量，它也被称为金融应用中的波动性，通常以百分比报告。例如，波动率20%每年意味着σ=0.2, 在每年的时间尺度上。
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Joint Law of Prices
估计参数的最有效方法之一是附录 B.1 中描述的最大似然原则。如备注 B.1.2 所示，最大似然原则可用于价格或收益。由于在 BlackScholes 模型中收益是独立且同分布的，我们将使用收益而不是价格来估计参数。
但是，为了完整起见，我们也给出了价格的条件规律，以及它们的联合规律。
命题 1.2.2 的条件分布小号(一世+1)H, 给定小号(0)= s,…,小号(一世H)=s一世, 仅取决于小号(一世H), 其密度为
f_{S{(i+1) h} \mid S(i h)}\left(x \mid s_{i}\right)=\frac{e^{-\frac{1}{2 \sigma^{ 2} h}\left{\ln \left(x / s_{i}\right)-\left(\mu-\sigma^{2} / 2\right) h\right}^{2}}}{ x \sigma \sqrt{2 \pi h}} \mathbb{I}(x>0), \quad x \in \mathbb{R} 。f_{S{(i+1) h} \mid S(i h)}\left(x \mid s_{i}\right)=\frac{e^{-\frac{1}{2 \sigma^{ 2} h}\left{\ln \left(x / s_{i}\right)-\left(\mu-\sigma^{2} / 2\right) h\right}^{2}}}{ x \sigma \sqrt{2 \pi h}} \mathbb{I}(x>0), \quad x \in \mathbb{R} 。
证明。它遵循命题1.2.1为所有人一世≥0,小号(一世+1)H= 小号(一世H)和X一世+1， 和小号(一世H)=s和X1+⋯+X一世独立于和X一世+1. 因此，条件分布小号(一世+1)H给定小号(0)=s0,…,小号(一世H)=s一世, 是对数正态分布（见 A.6.8），是具有均值的高斯变量的指数ln(s一世)+(μ−σ2/2)H和方差σ2H.
备注 1.2.3 作为命题 1.2.2 和乘法公式 (A.19) 的副产品，联合定律小号(H),…,小号(nH), 给定小号(0)=s， 是
F小号(H),…,小号(nH)∣小号(0)(s1,…,sn∣s)=∏一世=1nF小号((一世H)∣小号(0),…,小号((一世−1)H)(s一世∣s,…,s一世−1) =∏一世=1nF小号(一世H)∣小号((一世−1)H)(s一世∣s一世−1) =∏一世=1n和−(ln(X一世)−ln(X一世−1)−(μ−σ2/2)H)22σ2Hs一世2圆周率σ2H
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Estimation of Parameters
现在将使用附录 B.1 中描述的最大似然原理来估计参数μ和σ，使用回报作为观察。通常这种估计方法比任何其他方法都更精确。由于数据是高斯数据，因此也可以使用附录 B.8 中描述的矩量法。然而，这两种方法通常会产生不同的结果。
回想一下，原始数据集是价格小号(0)=s0,小号(H)= s1,…,小号(nH)=sn, 我们从中计算回报X一世=ln(s一世)−ln(s一世−1), 一世∈1,…,n.
命题 1.3.1 的估计μ和σ，通过最大似然原理获得，由下式给出
μ^n=X¯H+sX22H, σ^n=sXH
在哪里X¯=1n∑一世=1nX一世和sX2=1n∑一世=1n(X一世−X¯)2.
证明在附录 1.C.1 中给出。
备注 1.3.1 在实践中，σ2估计为
1(n−1)H∑一世=1n(X一世−X¯)2
原因是这个估计量是无偏的，同时也非常接近s2H. 例如，对于 MATLAB，函数 std(X)返回
1n−1∑一世=1n(X一世−X¯)2
代替
1n∑一世=1n(X一世−X¯)2
备注 1.3.2 当使用最大似然原理估计参数并且观测值不是高斯分布时，很少会找到估计量的明确表达式。因此，必须使用数值算法来最大化可能性。在这种情况下，必须考虑参数的域约束。例如，在 Black-Scholes 模型中，σ>0. 可以通过设置轻松替换此符号约束σ=和一种， 和一种∈R.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。