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金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Methodologies
While it is generally impossible to find explicit expressions for the option value, we can however fairly easily estimate them with a Monte Carlo approximation of the expected value in (1.8). On a similar note, expressions for the greeks are often not available. An easy way to circumvent this problem, which is often used in practice, is to estimate them with a finite difference approximation. For example, the delta could be approximated as
$$
\Delta \approx \frac{C(t, s+\epsilon)-C(t, s)}{\epsilon}
$$
where $\epsilon$ is a small positive scalar. However, such procedures are plagued by an inevitable tradeoff; a large $\epsilon$ will produce biased estimations of the greeks, while small $\epsilon$ values will results in high estimation variance.
Fortunately, Broadie and Glasserman [1996] proposed methods to estimate an option’s value, together with unbiased estimations of the greeks. They considered several models, including the Black-Scholes model.
According to formula (1.8), the value of a European option with payoff $\Phi$ at maturity is
$$
\begin{aligned}
C(t, s) &=e^{-r \tau} E\left[\Phi\left{s e^{\left(r-\frac{\alpha^{2}}{2}\right) \tau+\sigma \sqrt{\tau} Z}\right}\right] \
&=e^{-r \tau} \int_{-\infty}^{+\infty} \Phi\left{s e^{\left(r-\frac{\sigma^{2}}{2}\right) \tau+\sigma \sqrt{\tau} z}\right} \frac{e^{-z^{2} / 2}}{\sqrt{2 \pi}} d z \
&=e^{-r \tau} \int_{0}^{+\infty} \Phi(x) \frac{e^{-\frac{1}{2 \sigma^{2} \tau}\left{\ln (x / s)-\left(r-\frac{a^{2}}{2}\right) \tau\right}^{2}}}{x \sigma \sqrt{2 \pi \tau}} d x
\end{aligned}
$$
where $Z \sim N(0,1)$ and $\tau=T-t$ is the time to maturity.
Suppose that one generates $Z_{1}, \ldots, Z_{N} \sim N(0,1)$, with $N$ large enough. Further set $\bar{S}{i}=s e^{\left(r-\frac{a^{2}}{2}\right) \tau+\sigma \sqrt{\tau} Z{i}}, i \in{1 \ldots, N}$.
Then, an unbiased and consistent estimation of $C(t, s)$ is given by
$$
\hat{C}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} e^{-r \tau} \Phi\left(\bar{S}_{i}\right)
$$
This Monte Carlo approach was proposed a long time ago by Boyle [1977]. However, no unbiased estimation of the greeks was proposed until Broadie and Glasserman [1996]. In their article, the authors proposed in fact two methodologies to estimate greeks, based respectively on representations (1.19) and $(1.20)$. These methodologies have the advantage of being computed in parallel with the option price, not sequentially.
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Pathwise Method
The first methodology, called pathwise method, is based on representation (1.19). To be applicable, one has to assume that the payoff function $\Phi$ is differentiable “almost everywhere,” i.e., everywhere but possibly at a countable set of points ${ }^{11}$. However, note that the partial derivatives of any order for $\tilde{S}_{i}$ exist for any possible parameter $\theta \in{s, r, t, \sigma}$.
Proposition 1.7.1 Suppose that $\Phi$ is differentiable almost everywhere. Then simultaneous unbiased estimations of the option value and its first order derivatives are given respectively by
$$
\hat{C}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} e^{-r \tau} \Phi\left(\tilde{S}_{i}\right)
$$
Remark 1.7.1 Since these estimations are averages of independent and identically distributed random vectors $X_{1}, \ldots, X_{N}$ with mean $\mathcal{G} \in \mathbb{R}^{p}$, one can determine the asymptotic behavior of the estimation errors. In fact, the central limit theorem (Theorem B.4.1) applies to yield
$$
\sqrt{N}(\bar{X}-\mathcal{G}) \leftrightarrow N_{p}(0, V),
$$
where $V$ is estimated by
$$
\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{\top}
$$
Example 1.7.1 For a European call option, $\Phi(s)=\max (s-K, 0)$, so $\Phi^{\prime}(s)=$ $\mathbb{I}(s>K)$ almost everywhere. As a result,
$$
\hat{\Delta}=e^{-r \tau} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{\tilde{S}{i}}{s} \mathbb{I}\left(\bar{S}{i}>K\right)
$$
and
$$
\hat{\mathcal{V}}=e^{-r \tau} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\left(Z_{i} \sqrt{\tau}-\sigma \tau\right) \tilde{S}{i} \mathbb{I}\left(\tilde{S}{i}>K\right) .
$$
Therefore $\mathcal{G}=(C, \Delta, \mathcal{V})^{\top}$ can be estimated as the mean of the 3dimensional random vectors
$$
X_{i}=e^{-r \tau} \mathbb{I}\left(\bar{S}{i}>K\right)\left(\bar{S}{i}-K, \frac{\bar{S}{i}}{s}, \bar{S}{i}\left(Z_{i} \sqrt{\tau}-\sigma \tau\right)\right)^{\top}
$$
$i \in{1, \ldots, N} .$
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Likelihood Ratio Method
The second method proposed by Broadie and Glasserman $[1996]$ is based on representation $(1.20)$. For $x>0$, set
$$
f(x)=\frac{e^{-\frac{1}{2 \sigma^{2} \tau}\left{\ln (x / s)-\left(r-\frac{a^{2}}{2}\right) \tau\right}^{2}}}{x \sigma \sqrt{2 \pi \tau}} .
$$
Then $f$ is the density of $\tilde{S}(T)$ given $\tilde{S}(t)=s$. Note that $f$ is differentiable with respect to every parameter $\theta \in{s, r, \sigma, t}$.
Proposition 1.7.2 Simultaneous unbiased estimations of the value of the option and derivatives of order 1 are given by
$$
\hat{C}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} e^{-r \tau} \Phi\left(\tilde{S}{i}\right) $$ and $$ \widetilde{\partial{\theta} C}=-\hat{C} \partial_{\theta}(r \tau)+\left.e^{-r \tau} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \Phi\left(\tilde{S}{i}\right) \partial{\theta}[\ln {f(x)}]\right|{x=\tilde{S}{i}}
$$
In particular
$$
\hat{\Delta}=e^{-r \tau} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{Z_{i}}{s \sigma \sqrt{\tau}} \Phi\left(\tilde{S}{i}\right) $$ and $$ \hat{\mathcal{V}}=e^{-r \tau} \frac{1}{N} \sum{i=1}^{N} \frac{\left(Z_{i}^{2}-1-Z_{i} \sigma \sqrt{\tau}\right)}{\sigma} \Phi\left(\tilde{S}{i}\right) . $$ Moreover, an unbiased estimation of the gamma is given by $$ \hat{\Gamma}=e^{-r \tau} \frac{1}{N} \sum{i=1}^{N} \frac{\left(Z_{i}^{2}-1-Z_{i} \sigma \sqrt{\tau}\right)}{s^{2} \sigma^{2} \tau} \Phi\left(\bar{S}_{i}\right)=\frac{\hat{\mathcal{V}}}{s^{2} \sigma \tau} .
$$
金融工程代写
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虽然通常不可能找到期权价值的明确表达式，但是我们可以很容易地用 (1.8) 中期望值的蒙特卡罗近似来估计它们。同样，希腊语的表达方式通常不可用。一个在实践中经常使用的解决这个问题的简单方法是用有限差分近似来估计它们。例如，增量可以近似为
Δ≈C(吨,s+ε)−C(吨,s)ε
在哪里ε是一个小的正标量。然而，这样的程序受到不可避免的权衡的困扰。一个大的ε将产生对希腊人的有偏见的估计，而小ε值将导致高估计方差。
幸运的是，Broadie 和 Glasserman [1996] 提出了估计期权价值的方法，以及对希腊人的无偏估计。他们考虑了几个模型，包括 Black-Scholes 模型。
根据公式（1.8），有收益的欧式期权的价值披成熟时是
\begin{aligned} C(t, s) &=e^{-r \tau} E\left[\Phi\left{s e^{\left(r-\frac{\alpha^{2}}{2 }\right) \tau+\sigma \sqrt{\tau} Z}\right}\right] \ &=e^{-r \tau} \int_{-\infty}^{+\infty} \Phi\left {s e^{\left(r-\frac{\sigma^{2}}{2}\right) \tau+\sigma \sqrt{\tau} z}\right} \frac{e^{-z^{ 2} / 2}}{\sqrt{2 \pi}} d z \ &=e^{-r \tau} \int_{0}^{+\infty} \Phi(x) \frac{e^{- \frac{1}{2 \sigma^{2} \tau}\left{\ln (x / s)-\left(r-\frac{a^{2}}{2}\right) \tau\对}^{2}}}{x \sigma \sqrt{2 \pi \tau}} d x \end{对齐}\begin{aligned} C(t, s) &=e^{-r \tau} E\left[\Phi\left{s e^{\left(r-\frac{\alpha^{2}}{2 }\right) \tau+\sigma \sqrt{\tau} Z}\right}\right] \ &=e^{-r \tau} \int_{-\infty}^{+\infty} \Phi\left {s e^{\left(r-\frac{\sigma^{2}}{2}\right) \tau+\sigma \sqrt{\tau} z}\right} \frac{e^{-z^{ 2} / 2}}{\sqrt{2 \pi}} d z \ &=e^{-r \tau} \int_{0}^{+\infty} \Phi(x) \frac{e^{- \frac{1}{2 \sigma^{2} \tau}\left{\ln (x / s)-\left(r-\frac{a^{2}}{2}\right) \tau\对}^{2}}}{x \sigma \sqrt{2 \pi \tau}} d x \end{对齐}
在哪里从∼ñ(0,1)和τ=吨−吨是成熟的时间。
假设一个生成从1,…,从ñ∼ñ(0,1)， 和ñ足够大。进一步设置小号¯一世=s和(r−一种22)τ+στ从一世,一世∈1…,ñ.
然后，一个无偏且一致的估计C(吨,s)是（谁）给的
C^=1ñ∑一世=1ñ和−rτ披(小号¯一世)
这种蒙特卡罗方法是很久以前由 Boyle [1977] 提出的。然而，直到 Broadie 和 Glasserman [1996] 才提出对希腊人的无偏估计。在他们的文章中，作者实际上提出了两种估计希腊语的方法，分别基于表示（1.19）和(1.20). 这些方法的优点是与期权价格并行计算，而不是顺序计算。
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Pathwise Method
第一种方法，称为路径方法，基于表示（1.19）。为了适用，必须假设支付函数披是“几乎处处”可微的，即处处但可能在一组可数的点上11. 但是，请注意，任何订单的偏导数小号~一世存在任何可能的参数θ∈s,r,吨,σ.
命题 1.7.1 假设披几乎处处可微。然后分别给出期权价值及其一阶导数的同时无偏估计
C^=1ñ∑一世=1ñ和−rτ披(小号~一世)
备注 1.7.1 由于这些估计是独立且同分布的随机向量的平均值X1,…,Xñ平均G∈Rp，可以确定估计误差的渐近行为。事实上，中心极限定理（定理 B.4.1）适用于收益率
ñ(X¯−G)↔ñp(0,在),
在哪里在估计为
1ñ−1∑一世=1ñ(X一世−X¯)(X一世−X¯)⊤
示例 1.7.1 对于欧式看涨期权，披(s)=最大限度(s−ķ,0)， 所以披′(s)= 一世(s>ķ)几乎无处不在。因此，
Δ^=和−rτ1ñ∑一世=1ñ小号~一世s一世(小号¯一世>ķ)
和
在^=和−rτ1ñ∑一世=1ñ(从一世τ−στ)小号~一世一世(小号~一世>ķ).
所以G=(C,Δ,在)⊤可以估计为 3 维随机向量的平均值
X一世=和−rτ一世(小号¯一世>ķ)(小号¯一世−ķ,小号¯一世s,小号¯一世(从一世τ−στ))⊤
一世∈1,…,ñ.
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Likelihood Ratio Method
Broadie 和 Glasserman 提出的第二种方法[1996]是基于表示(1.20). 为了X>0， 放
f(x)=\frac{e^{-\frac{1}{2 \sigma^{2} \tau}\left{\ln (x / s)-\left(r-\frac{a^{ 2}}{2}\right) \tau\right}^{2}}}{x \sigma \sqrt{2 \pi \tau}} 。f(x)=\frac{e^{-\frac{1}{2 \sigma^{2} \tau}\left{\ln (x / s)-\left(r-\frac{a^{ 2}}{2}\right) \tau\right}^{2}}}{x \sigma \sqrt{2 \pi \tau}} 。
然后F是密度小号~(吨)给定小号~(吨)=s. 注意F对每个参数都是可微的θ∈s,r,σ,吨.
命题 1.7.2 对期权价值和 1 阶导数的同时无偏估计由下式给出
C^=1ñ∑一世=1ñ和−rτ披(小号~一世)和∂θC~=−C^∂θ(rτ)+和−rτ1ñ∑一世=1ñ披(小号~一世)∂θ[lnF(X)]|X=小号~一世
尤其
Δ^=和−rτ1ñ∑一世=1ñ从一世sστ披(小号~一世)和在^=和−rτ1ñ∑一世=1ñ(从一世2−1−从一世στ)σ披(小号~一世).此外，伽马的无偏估计由下式给出Γ^=和−rτ1ñ∑一世=1ñ(从一世2−1−从一世στ)s2σ2τ披(小号¯一世)=在^s2στ.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。