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已知过去某一时刻s以及之前所有时刻的观测值，若某一时刻t的观测值的条件期望等于过去某一时刻s的观测值，则称这一随机过程是鞅论。
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- Foundations of Data Science 数据科学基础
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Two Properties of Stationary Point Processes
Property 1.1.1. Independent stationary point processes have a.s. no common points
Proof: Consider the situation described in Example $1.1 .2$ with $k=2$. It will be shown that $N_{1}$ and $N_{2}$ have almost surely no common point. The proof is given when one of them (say $N_{1}$ ) has a finite intensity, i.e. $E\left[N_{1}(0,1]\right]<\infty$. Then $E\left[N_{1}{t}\right]=0$ for all $t \in \mathbb{R}$, by stationarity. Therefore, by Fubini’s theorem
$$
\begin{aligned}
E\left[\int_{\mathbb{R}} N_{1}({s}) N_{2}(d s)\right] &=\int_{M_{1}} \int_{M_{2}} \int_{\mathbb{R}} m_{1}({s}) m_{2}(d s) \mathcal{P}{1}\left(d m{1}\right) \mathcal{P}{2}\left(d m{2}\right) \
&=\int_{M_{2}} \int_{\mathbb{R}}\left[\int_{M_{1}} m_{1}({s}) \mathcal{P}{1}\left(d m{1}\right)\right] m_{2}(d s) \mathcal{P}{2}\left(d m{2}\right) \
&=0
\end{aligned}
$$
and this implies $\int_{\mathbb{R}} N_{1}({s}) N_{2}(d s)=0$, P-a.s.
Property 1.1.2. Let $\left(N, \theta_{t}, P\right)$ be a stationary point process, then
$$
P({N(\mathbb{R})=0} \cup{N((0, \infty))=N((-\infty, 0))=+\infty})=1
$$
Proof: Let $H_{t}={N((t, \infty))=0} . H_{t}$ increases with $t$ and
$$
H=\bigcap_{n=0}^{\infty} H_{-n}={N(\mathbb{R})=0} \subset{N((0, \infty))<\infty}=\bigcup_{n=0}^{\infty} H_{n}=G
$$
In addition $\theta_{t} H_{s}=H_{s-t}$ for all $s, t \in \mathbb{R}{\text {, so that }} P\left(H{n}\right)=$ constant, for all $n \in \mathbb{Z}$. Hence $P(G)=\lim {n \rightarrow \infty} P\left(H{n}\right)=\lim {n \rightarrow-\infty} P\left(H{n}\right)=P(H)$, which together with $H \subset G$ imply $P(G-H)=0$. A similar reasoning based on $\widetilde{H}_{s}={N((-\infty, s))=0}$ leads to $P\left(G^{\prime}-H\right)=0$, where $G^{\prime}={N((-\infty, 0))<$ $\infty}$. Therefore $P\left(\left(G \cup G^{\prime}\right)-H\right)=0$.
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Intensity of a Stationary Point Process
Let $\left(N, \theta_{t}, P\right)$ be a stationary point process. The non-negative (possibly infinite) number
$$
\lambda=E[N((0,1])]
$$
is called the intensity of $\left(N, \theta_{t}, P\right)$. More generally, define for all $C \in \mathcal{B}$
$$
\lambda(C)=E[N(C)]
$$
From the stationarity of $\left(N, \theta_{t}, P\right), \lambda(C+t)=\lambda(C)$ for all $t \in \mathbb{R}$, and therefore $\lambda$ defines a translation invariant, measure on $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$. It is therefore proportional to the Lebesgue measure $l$ so that
$$
\lambda(C)=\lambda \times l(C), \quad C \in \mathcal{B} .
$$
Hypothesis 1.1.1. In this book we shall assume that the stationary point processes under consideration:
- have a non-null and finste intensity;
- are simple, i.e. $\left.P\left(N\left{T_{n}\right}\right)>1\right)=0$ for all $n \in \mathbb{Z}$;
- are such that $P(N(0, \infty)=N(-\infty, 0)=+\infty)=1$.
These assumptions will generally not be recalled in the text.
Example 1.1.7. Rate of arrivals into a queueing system. In queueing theory $\left{T_{n}\right}$ is the sequence of arrival times of customers into a queueing system; the intensity $\lambda$ of $\left{T_{n}\right}$ is called the arrival rate. .
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|The Campbell Measure
Let $\left((N, Z), \theta_{t}, P\right)$ be a stationary marked point process with marks in $(K, \mathcal{K})$. Define the random counting measure $N_{Z}$ on $(\mathbb{R} \times K, \mathcal{B} \otimes \mathcal{K})$ by
$$
N_{Z}(C \times L)=\int_{C} 1_{L}\left(Z_{0} \circ \theta_{s}\right) N(d s)=\sum_{n \in Z} 1_{L}\left(Z_{n}\right) 1_{C}\left(T_{n}\right),
$$
where $C \in \mathcal{B}, L \in \mathcal{K}$. For all $t$,
$$
N_{Z}\left(\theta_{t} \omega, C \times L\right)=N_{Z}\left(\omega_{1}(C+t) \times L\right) .
$$
The intensity measure $\lambda_{Z}$ associated with the stationary marked point process $\left((N, Z), \theta_{t}, P\right)$ is the measure on $(\mathbb{R} \times K, \mathcal{B} \otimes \mathcal{K})$ defined by
$$
\lambda_{Z}(C \times L)=E\left[N_{Z}(C \times L)\right],
$$
where $C \in \mathcal{B}, L \in \mathcal{K}$. It is called the Campbell measure of $(N, Z)$. Since the intensity $\lambda$ of $\left(N, \theta_{t}, P\right)$ is finite by assumption, $\lambda_{Z}$ is a $\sigma$-finite measure. Indeed, $N_{Z}(C \times L) \leq N(C)$ implies $\lambda_{Z}(C \times L) \leq \lambda(C)$. From the $\theta_{t}$-stationarity of $P$, we have
$$
\lambda_{Z}((C+t) \times L)=\lambda_{Z}(C \times L) .
$$
Thus, for fixed $L \in \mathcal{K}, \lambda_{Z}(. \times L)$ is a translation invariant, $\sigma$-finite measure on $\mathbb{R}$ and it must therefore be proportional to the Lebesgue measure and necessarily
$$
\lambda_{Z}(C \times L)=\lambda_{Z}((0,1] \times L) l(C) .
$$
Let $\nu_{Z}$ be the measure on $(K, \mathcal{K})$ defined by
$$
\nu_{Z}(L)=\frac{1}{\lambda} \lambda_{Z}((0,1] \times L) .
$$
Then, summarizing the above results and definitions
$$
\lambda_{Z}(C \times L)=\lambda l(C) \nu_{Z}(L) .
$$
The probability measure $\nu_{Z}$ is called the Palm probability distribution of the marks $Z_{n}$.
Note that $\nu_{Z}(L)$ is the average number of points $T_{n}$ in $C \in \mathcal{B}$ such that $Z_{n}$ belongs to $L$, divided by the average number of points $T_{n}$ in $C$. This characterization does not depend upon $C \in \mathcal{B}$ provided $l(C)>0$.
鞅论及其在金融中的应用代写
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Two Properties of Stationary Point Processes
财产 1.1.1。独立的驻点过程没有共同点
证明：考虑示例中描述的情况1.1.2和ķ=2. 这将表明ñ1和ñ2几乎可以肯定没有共同点。当其中一个（比如说ñ1) 有一个有限的强度，即和[ñ1(0,1]]<∞. 然后和[ñ1吨]=0对全部吨∈R，通过平稳性。因此，由 Fubini 定理
和[∫Rñ1(s)ñ2(ds)]=∫米1∫米2∫R米1(s)米2(ds)磷1(d米1)磷2(d米2) =∫米2∫R[∫米1米1(s)磷1(d米1)]米2(ds)磷2(d米2) =0
这意味着∫Rñ1(s)ñ2(ds)=0, 帕斯
财产 1.1.2。让(ñ,θ吨,磷)是一个驻点过程，那么
磷(ñ(R)=0∪ñ((0,∞))=ñ((−∞,0))=+∞)=1
证明：让H吨=ñ((吨,∞))=0.H吨随着增加吨和
H=⋂n=0∞H−n=ñ(R)=0⊂ñ((0,∞))<∞=⋃n=0∞Hn=G
此外θ吨Hs=Hs−吨对全部s,吨∈R， 以便 磷(Hn)=恒定的，对所有人n∈从. 因此磷(G)=林n→∞磷(Hn)=林n→−∞磷(Hn)=磷(H), 与H⊂G意味着磷(G−H)=0. 基于类似的推理H~s=ñ((−∞,s))=0导致磷(G′−H)=0， 在哪里G′=ñ((−∞,0))<$$∞. 所以磷((G∪G′)−H)=0.
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Intensity of a Stationary Point Process
让(ñ,θ吨,磷)是一个驻点过程。非负数（可能无限）
λ=和[ñ((0,1])]
被称为强度(ñ,θ吨,磷). 更一般地，为所有人定义C∈乙
λ(C)=和[ñ(C)]
从平稳性(ñ,θ吨,磷),λ(C+吨)=λ(C)对全部吨∈R，因此λ定义一个平移不变量，测量(R,乙). 因此它与勒贝格测度成正比l以便
λ(C)=λ×l(C),C∈乙.
假设 1.1.1。在本书中，我们将假设所考虑的驻点过程：
- 具有非零和finste强度；
- 很简单，即\left.P\left(N\left{T_{n}\right}\right)>1\right)=0\left.P\left(N\left{T_{n}\right}\right)>1\right)=0对全部n∈从;
- 是这样的磷(ñ(0,∞)=ñ(−∞,0)=+∞)=1.
这些假设通常不会在文本中被召回。
例 1.1.7。进入排队系统的到达率。在排队论中\left{T_{n}\right}\left{T_{n}\right}是顾客进入排队系统的时间序列；强度λ的\left{T_{n}\right}\left{T_{n}\right}称为到达率。.
金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|The Campbell Measure
让((ñ,从),θ吨,磷)是一个带有标记的静止标记点过程(ķ,ķ). 定义随机计数度量ñ从在(R×ķ,乙⊗ķ)经过
ñ从(C×大号)=∫C1大号(从0∘θs)ñ(ds)=∑n∈从1大号(从n)1C(吨n),
在哪里C∈乙,大号∈ķ. 对全部吨,
ñ从(θ吨ω,C×大号)=ñ从(ω1(C+吨)×大号).
强度测量λ从与静止标记点过程相关((ñ,从),θ吨,磷)是关于(R×ķ,乙⊗ķ)被定义为
λ从(C×大号)=和[ñ从(C×大号)],
在哪里C∈乙,大号∈ķ. 它被称为坎贝尔测度(ñ,从). 由于强度λ的(ñ,θ吨,磷)是有限的假设，λ从是一个σ- 有限的措施。确实，ñ从(C×大号)≤ñ(C)暗示λ从(C×大号)≤λ(C). 来自θ吨- 平稳性磷， 我们有
λ从((C+吨)×大号)=λ从(C×大号).
因此，对于固定大号∈ķ,λ从(.×大号)是翻译不变量，σ- 有限测量R因此它必须与勒贝格测度成正比，并且必然
λ从(C×大号)=λ从((0,1]×大号)l(C).
让ν从成为衡量标准(ķ,ķ)被定义为
ν从(大号)=1λλ从((0,1]×大号).
然后，总结上述结果和定义
λ从(C×大号)=λl(C)ν从(大号).
概率测度ν从称为标记的 Palm 概率分布从n.
注意ν从(大号)是平均点数吨n在C∈乙这样从n属于大号, 除以平均点数吨n在C. 这种表征不依赖于C∈乙假如l(C)>0.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
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