金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Palm Theory in Discrete Time

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已知过去某一时刻s以及之前所有时刻的观测值,若某一时刻t的观测值的条件期望等于过去某一时刻s的观测值,则称这一随机过程是鞅论

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金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Palm Theory in Discrete Time

金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Palm Theory in Discrete Time

The Palm theory in continuous time has a counterpart in discrete time which can be developed in very elementary terms. In the present section, we shall briefly sketch this discrete time version, leaving the details to the reader. For this, we shall first adapt the notation and definitions used in continuous time to the discrete time situation.

In discrete time, a simple point process on $\mathbb{Z}$ is just a sequence $\left{U_{n}\right}, n \in \mathbb{Z}$, where $U_{n}=0$ or 1 . It is called stationary if the sequence $\left{U_{n}\right}$ is strictly stationary, and its intensity is then defined by
$$
\lambda_{U}=E\left[U_{0}\right]
$$
Observe that $0 \leq \lambda_{U} \leq 1$.
The canonical framework in discrete time is the following: $(\Omega, \mathcal{F})$ is a measurable space endowed with an invertible measurable map $\theta_{1}:(\Omega, \mathcal{F}) \rightarrow$ $(\Omega, \mathcal{F})$ such that $\theta_{1}^{-1}$ is measurable (we can think of $\theta_{1}$ as the shift to the left, although this is not necessary). Define $\theta_{n}=\theta_{1}^{n}$ for all $n \in \mathbb{Z}$. A probability $P$ on $(\Omega, \mathcal{F})$ such that
$$
P \circ \theta_{1}^{-1}=P
$$
( $P$ is $\theta_{1}$-invariant) is called a stationary probability.
A sequence $\left{Z_{n}\right}, n \in \mathbb{Z}$, of random elements with values in an arbitrary measurable space $(E, \mathcal{E})$ is said to be compatible with $\left{\theta_{n}\right}$ if
$$
Z_{n}(\omega)=Z_{0}\left(\theta_{n} \omega\right)
$$
for all $n \in \mathbb{Z}$ (with the convention that $\theta_{1}^{0}$ is the identity). The sequence $\left{Z_{n}\right}$ is then strictly stationary (with respect to $P$ ). Thus, if the point process $\left{U_{n}\right}$ is compatible with $\left{\theta_{n}\right}$, it is stationary. We shall assume it is so. The Palm probability $P_{U}$ associated with $\left{U_{n}\right}$ is defined by the formula.

金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Stochastic Intensity

Roughly speaking, Palm probability tells us what happens when there is a point at time $t$. The concept of stochastic intensity introduced in the present chapter represents in some way a complementary point of view: it is concerned with the expectation of seeing a point at time $t$ (in a small interval after $t$ ) knowing the past history of the point process.

The connection between the two points of view will be formalized in $\S$ 1.9. Before giving the definition of stochastic intensity, we must spend some time introducing notation and a few definitions from the theory of stochastic processes. For all the statements announced without proof in the following sections, the reader is referred to the monograph: Brémaud (1981) Point Processes and Queues, Springer-Verlag, New York.

金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Stochastic Intensity Kernel

Let $N$ be a simple point process, not necessarily stationary, let $\left{\mathcal{F}{t}\right}$ be a history of $N$, and let ${\lambda(t)}$ be a non-negative measurable process adapted to $\left{\mathcal{F}{t}\right}$. The process ${\lambda(t)}$ is called an $\mathcal{F}{t}$-intensity of $N$ if it is locally integrable (i.e. $\int{C} \lambda(s) d s<\infty$, for all bounded Borel sets $C$ ) and if
$$
E\left[N((a, b]) \mid \mathcal{F}{a}\right]=E\left[\int{a}^{b} \lambda(s) d s \mid \mathcal{F}{a}\right], $$ for all $(a, b] \in \mathcal{B}$. Without loss of generality, the stochastic intensity ${\lambda(t)}$ can be assumed to be $\mathcal{F}{t}$-predictable (cf. Brémaud (1981), Chapter II, T12, p. 31).

Example 1.8.2. The Poisson process. Let $N$ be a Poisson process with associated intensity measure
$$
E[N(C)]=\int_{C} \lambda(s) d s,
$$
where ${\lambda(t)}$ is a deterministic locally integrable function. Then clearly, in view of the independence of the increments of a Poisson process, ${\lambda(t)}$ is the $\mathcal{F}_{t}^{N}$-intensity of $N$.

Example 1.8.3. Markov chains. Let ${X(t)}, t \in \mathbb{R}{+}$, be a regular jump Markov chain ([39]) taking its values in a countable state space $\mathcal{E}$ and corlol sample paths. Then the following limits exist and belong to $\mathbb{R}{+}$:
$$
q_{i}=\lim {h \rightarrow 0} \frac{1-p{i i}(h)}{h} \text { and } q_{i j}=\lim {h \rightarrow 0} \frac{p{i j}(h)}{h}, i \neq j .
$$
Moreover
$$
q_{i}<\infty \text { and } \sum_{\substack{j \in \mathcal{E} \ j \neq i}} q_{i j}=q_{i} .
$$
Let $N_{i j}$ be the point process counting the transitions from $i$ to $j$, i.e. for $C \in \mathcal{B}, N_{i j}(C)=\sum_{s \in C} 1_{X(s-)=i, X(s)=j}$. It can be shown (this is essentially Lévy’s formula for Markov chains (see [36]) that $N_{i j}$ admits the $\mathcal{F}{t}^{X}$-intensity $\left{\lambda{i j}(t)\right}=\left{q_{i j} 1_{X(t)=i}\right}$.

Let $N$ be a point process compatible with the flow $\left{\theta_{t}\right}$ and let $\left{Z_{n}\right}$ be a sequence of marks of $\left(N, \theta_{t}\right),(K, \mathcal{K})$ being the corresponding mark space. Let $\left{\mathcal{F}{t}\right}$ be a history of the marked point process $\left(N,\left{Z{n}\right}\right)$. Let $\lambda(t, \omega, L), t \in$ $\mathbb{R}, \omega \in \Omega, L \in \mathcal{K}$, be a stochastic intensity kernel, that is:

  • For all $t, \omega, \lambda(t, \omega, .)$ is a measure on $(K, \mathcal{K})$.
  • For all $L \in \mathcal{K},{\lambda(t, L)}$ is adapted to $\left{\mathcal{F}_{t}\right}$, where $\lambda(t, L)(\omega) \stackrel{\text { def }}{=} \lambda(t, \omega, L)$.
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鞅论及其在金融中的应用代写

金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Palm Theory in Discrete Time

连续时间中的棕榈理论在离散时间中有对应物,可以用非常基本的术语来发展。在本节中,我们将简要概述这个离散时间版本,将细节留给读者。为此,我们首先要使连续时间中使用的符号和定义适应离散时间的情况。

在离散时间,一个简单的点过程从只是一个序列\left{U_{n}\right}, n \in \mathbb{Z}\left{U_{n}\right}, n \in \mathbb{Z}, 在哪里在n=0或 1 。如果该序列称为平稳的\left{U_{n}\right}\left{U_{n}\right}是严格平稳的,然后它的强度定义为
λ在=和[在0]
请注意0≤λ在≤1.
离散时间的规范框架如下:(Ω,F)是一个具有可逆可测图的可测空间θ1:(Ω,F)→ (Ω,F)这样θ1−1是可测量的(我们可以想到θ1作为向左移动,尽管这不是必需的)。定义θn=θ1n对全部n∈从. 一个概率磷在(Ω,F)这样
磷∘θ1−1=磷
( 磷是θ1-invariant) 称为平稳概率。
一个序列\left{Z_{n}\right}, n \in \mathbb{Z}\left{Z_{n}\right}, n \in \mathbb{Z}, 在任意可测量空间中具有值的随机元素(和,和)据说兼容\left{\theta_{n}\right}\left{\theta_{n}\right}如果
从n(ω)=从0(θnω)
对全部n∈从(根据约定θ10是身份)。序列\left{Z_{n}\right}\left{Z_{n}\right}然后是严格静止的(相对于磷)。因此,如果点过程\left{U_{n}\right}\left{U_{n}\right}兼容\left{\theta_{n}\right}\left{\theta_{n}\right},它是静止的。我们假设是这样。手掌概率磷在有关联\left{U_{n}\right}\left{U_{n}\right}由公式定义。

金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Stochastic Intensity

粗略地说,Palm 概率告诉我们当有一个时间点时会发生什么吨. 本章介绍的随机强度的概念在某种程度上代表了一种互补的观点:它与看到某个时间点的期望有关吨(在一小段时间后吨) 知道点过程的过去历史。

两种观点之间的联系将在§§1.9。在给出随机强度的定义之前,我们必须花一些时间来介绍符号和随机过程理论中的一些定义。对于以下部分中未经证实的所有声明,请读者参考专着:Brémaud (1981) Point Processes and Queues, Springer-Verlag, New York。

金融代写|鞅论及其在金融中的应用代写Martingale theory代考|Stochastic Intensity Kernel

让ñ是一个简单的点过程,不一定是平稳的,让\left{\mathcal{F}{t}\right}\left{\mathcal{F}{t}\right}成为历史ñ, 然后让λ(吨)是一个非负的可测量过程,适用于\left{\mathcal{F}{t}\right}\left{\mathcal{F}{t}\right}. 过程λ(吨)被称为F吨- 强度ñ如果它是局部可积的(即∫Cλ(s)ds<∞, 对于所有有界 Borel 集C) 而如果
和[ñ((一种,b])∣F一种]=和[∫一种bλ(s)ds∣F一种],对全部(一种,b]∈乙. 不失一般性,随机强度λ(吨)可以假设为F吨- 可预测的(参见 Brémaud (1981),第二章,T12,第 31 页)。

示例 1.8.2。泊松过程。让ñ是具有相关强度度量的泊松过程
和[ñ(C)]=∫Cλ(s)ds,
在哪里λ(吨)是确定性的局部可积函数。那么显然,鉴于泊松过程增量的独立性,λ(吨)是个F吨ñ- 强度ñ.

示例 1.8.3。马尔可夫链。让X(吨),吨∈R+,是一个常规的跳转马尔可夫链([39]),在可数状态空间中取值和和 corlol 样本路径。那么存在以下限制并且属于R+:
q一世=林H→01−p一世一世(H)H 和 q一世j=林H→0p一世j(H)H,一世≠j.
而且
q一世<∞ 和 ∑j∈和 j≠一世q一世j=q一世.
让ñ一世j是计算从一世到j,即对于C∈乙,ñ一世j(C)=∑s∈C1X(s−)=一世,X(s)=j. 可以证明(这本质上是 Lévy 的马尔可夫链公式(参见 [36])ñ一世j承认 $\mathcal{F} {t}^{X}−一世n吨和ns一世吨是\left{\lambda {ij}(t)\right}=\left{q_{ij} 1_{X(t)=i}\right}$。

让ñ是与流兼容的点过程\left{\theta_{t}\right}\left{\theta_{t}\right}然后让\left{Z_{n}\right}\left{Z_{n}\right}是一系列的标记(ñ,θ吨),(ķ,ķ)是对应的标记空间。让\left{\mathcal{F}{t}\right}\left{\mathcal{F}{t}\right}成为标记点过程的历史\left(N,\left{Z{n}\right}\right)\left(N,\left{Z{n}\right}\right). 让λ(吨,ω,大号),吨∈ R,ω∈Ω,大号∈ķ,是一个随机强度核,即:

  • 对全部吨,ω,λ(吨,ω,.)是衡量(ķ,ķ).
  • 对全部大号∈ķ,λ(吨,大号)适应\left{\mathcal{F}_{t}\right}\left{\mathcal{F}_{t}\right}, 在哪里λ(吨,大号)(ω)= 定义 λ(吨,ω,大号).
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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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